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初三数学辅导资料３
函数及图象
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一、学习的目标：把握正、反比例、一次函数、二次函数的图象及性质
二 、知识点归纳：
1、平面直角坐标系：平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，坐标平面内一点对应的有序实数对叫做这点的坐标。在平面内建立了直角坐标系，就可以把“形”（平面内的点）和“数”（有序实数对）紧密结合起来。
2、函数的概念：设在某个变化过程中有两个变量x、y,假如对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它相对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量。
3、自变量的取值范围：对于实际问题，自变量取值必须使实际问题有意义。对于纯数学问题，自变量取值应保证数学式子有意义。
4、正比例函数： 假如y=kx(k是常数，k≠0)，那么，y叫做x的正比例函数．
5、、正比例函数y=kx的图象：
过（0，0），（1，K）两点的一条直线．
6、正比例函数y=kx的性质
(1)当k>0时，y随x的增大而增大
(2)当k<0时，y随x的增大而减小
7、反比例函数及性质
（1）当k>0时，在每个象限内分别是y随x的增大而减小；
（2）当k<0时，在每个象限内分别是y随x的增大而增大．
8、一次函数 假如y=kx b(k,b是 常数，k≠0),那么y叫做x的一次函数．
9、一次函数y=kx b的图象
10、一次函数y=kx b的性质
（1）当k>0时，y随x的增大而增大；
（2）当k<0时，y随x的增大而减小．
9、二次函数的性质
（1）函数y=ax 
bx c(其中a、b、c是常数，且a 
0)叫做的二次函数。
（2）利用配方，可以把二次函数表示成y=a(x 
)
或y=a(x-h)
k的形式
（3）二次函数的图象是抛物线，当a＞0时抛物线的开口向上，当a＜0时抛物线开口向下。
抛物线的对称轴是直线x=-
或x=h
抛物线的顶点是(-
, 
)或(h,k)
三、学习的过程：
分层练习（A组）
一、选择题：
1．函数  中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x＞1 C．x≥1 D．x≠1
2．在函数 中，自变量的取值范围是（ ）
A.  B.  C.  D. 
3．在函数 
中，自变量x的取值范围是
（A）x≥3 （B）x≠3 （C）x>3 （D）x<3
4. 点P（-1，2）关于y轴对称的点的坐标是（ ）．
A．（1，2） B．（-1，2） C．（1，-2） D．（-1，-2）
5. 点M（1，2）关于x轴对称点的坐标为（ ）
A、（－1，2） B、（－1，－2） C、（1，－2） D、（2，－1）
6．在直角坐标系中，点  一定在（ ）
A. 抛物线  上 B. 双曲线  上
C. 直线  上 D. 直线  上
7. 若反比例函数 
的图象经过点（-1，2），则k的值为
A．-2 B． 
C．2 D． 
8． 函数y=-x 3的图象经过（ ）
（A）第一、二、三象限 （B）第一、三、四象限
（C）第二、三、四象限 （D）第一、二、四象限
9．函数y＝2x-1的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10、如图所示，函数 
的图象最可能是（ ）
(A) (B) (C) (D)
11．为解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价。若设平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是m元，降价后的价格是y元，则y与x的函数关系式是（ ）
（A）y＝2m(1－x) （B）y＝2m(1＋x) （C）y＝m(1－x)2 （D）y＝m(1＋x)2
13．一辆汽车由淮安匀速驶往南京，下列图象中，能大致反映汽车距南京的路程s（千米）和行驶时间t（小时）的关系的是( )
  
14． 8、某小工厂现在年产值150万元，计划今后每年增加20万元，年产值 
（万元）与年数 
的函数关系式是（ ）
A． 
B． 
C． 
D． 
15．关于函数 
，下列结论正确的是（ ）
（A）图象必经过点（﹣2，1） （B）图象经过第一、二、三象限
 （C）当 
时， 
（D）
随
的增大而增大
16．一次函数y=ax b的图像如图所示，
则下面结论中正确的是（ ）
A．a＜0,b＜0 B．a＜0,b＞0
C．a＞0,b＞0 D．a＞0,b＜0
17．若反比例函数 
的图象在每一象限内，y随x的增大而增大，则有( )
A.k≠0 B.k≠3 C.k<3 D.k>3
18． 函数 
的图象与坐标轴围成的三角形的面积是（ ）
A．2 B．1 C．4 D．3
19．抛物线 
的对称轴是（ ）
A、x＝－2 B、x＝2 C、x＝－4 D、x＝4
20．抛物线y=2(x-3)2的顶点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上
二、填空题：
1.抛物线  与x轴分别交A、B两点，则AB的长为________．
2．直线  不经过第_______象限．
3．若反比例函数 
图象经过点A(2，－1)，则k＝_______．
4．若将二次函数y=x2-2x 3配方为y=(x-h)2 k的形式，则y= .
5．若反比例函数 
的图象过点（3，-4），则此函数的解析式为 .
6．函数 
的自变量x的取值范围是 。
7．写出一个图象经过点(1，一1)的函数解析式： ．
8．已知一次函数  ，当 =3时， =1，则b=__________
9．已知点P（－2，3），则点P关于x轴对称的点坐标是（ , ）。
10．函数 
的图像如图所示，则y随
的增大  而 。
11．反比例函数 
的图像在 象限。
12．函数 
中自变量x的取值范围是______________。
13．当k = ________时,反比例函数 
的图象在第一象限．（只需填一个数）
14．函数y=  中自变量x的取值范围是_____.
15．若正比例函数y=mx (m≠0)和反比例函数y= 
(n≠0)的图象都经过点(2,3)，则
m =______， n =_________ .
三、解答题：
1、求下列函数中自变量x的取值范围：
（1）y=
； （2）y=x2-x-2；
（3）y= 
； （4）y= 
解：
（1）
（2）
（3）
（4）
2、分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围：
（1）某市民用电费标准为每度0.50元，求电费y（元）关于用电度数x的函数关系式；
（2）已知等腰三角形的面积为20cm2，设它的底边长为x（cm），求底边上的高y（cm）关于x的函数关系式；
（3）在一个半径为10 cm的圆形纸片中剪去一个半径为r（cm）的同心圆，得到一个圆环.设圆环的面积为S（cm2），求S关于r的函数关系式.
3.已知弹簧的长度 y（厘米）在一定的限度内是所挂重物质量 x（千克）的一次函数．现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米。求这个一次函数的关系式。
分析 已知y与x的函数关系是一次函数，则解析式必是 
的形式，所以要求的就是 和b的值。而两个已知条件就是x和y的两组对应值，也就是当x＝ 时，y＝6，即得到点（ ，6）；当x＝4时，y＝7.2，即得到点（4，7.2）。可以分别将两个点的坐标代入函数式，得到一个关于k,b的方程组，进而求得 和b的值。
解 设所求函数的关系式是y＝kx＋b，根据题意，得
解这个方程组，得 
所以所求函数的关系式是 。
运用待定系数法求解下题
4.已知一次函数的图象如下图，写出它的关系式。
分析：由图可知直线经过两点（ ， ）、（ ， ）
 解：
5、一次函数中，当 
时， 
；当 
时，
，求出相应的函数关系式。
解：设所求一次函数为 ，则依题意得
∴解方程组得
∴所求一次函数为
6、已知一次函数y= kx b的图象经过点（-1，1）和点（1，-5），求
（1）函数的解析式 （2）当x=5时，函数y的值。
四．综合题：（3分 2分 3分 4分）
已知一个二次函数的图象经过A(-2, 
)、B(0,
)和C(1,-2)三点。
（1）求出这个二次函数的解析式；
（2）通过配方，求函数的顶点P的坐标；
（3）若函数的图象与x轴相交于点E、F，（E在F的左边），求出E、F两点的坐标。
（4）作出函数的图象并根据图象回答：当x取什么时，y＞0,y＜0,y=0
函数及图象答案
分层练习（A组）
一．选择题：C B C A C D A D B C C B C D A C C B C
二．填空题：
1．4 2. 三 3. –2
4.y=(x-1) 2 5. y= - 
6. x
7. y=-x等 8.7 9. (-2,-3) 10. 减小 11. 二、四 13. -1等 14.x＞
且x
1
15.
6
三．解答题：
1．（1）一切实数 （2）一切实数 （3）x
2 (4)x＞-3
2． (1)y =0.5x (x＞0) (2)y= 
(3)s=100 
-
r
(0＜r＜10)
3.分析：kx b k 0 0 k
解： 
y=0.3x 6
4.分析：（2，0） （0，-3）
解：y=kx b 
y=
x-3
5.解：y=kx b 
y=-2x 5
5．（1） 
y=-3x-2
(2) y=-17
四. = 1 \* GB3 ① y=0.5x2-x-1.5 = 2 \* GB3 ② y=0.5(x-1)2-2 p(1,-2)
= 3 \* GB3 ③ E( -1,0 ) F(3,0) = 4 \* GB3 ④ 图略。当X＜-1或X＞3时y＞0 .当-1＜X＜3时y＜0
当X=-1，X=3时y=0
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