1.理解并把握二次函数的概念.
3.会求二次函数的顶点坐标,对称轴方程及最大值或最小值.
3. 
和 
,通过解析式我们得知,对于同一个自变量 
的值,
的值总比
的值大或小| 
|个单位.(如 
.对于每一个
的值, 
的值总比 
的值小于3个单位.而 
,对于同一个
的值 
的值大3个单位)这一特点反映在函数图象上就是将
的图象上的各点向上平移|
|个单位.( 
)此时
的对称轴仍是 
轴,而顶点坐标是(0,
),它的开口方向与
的图象的开口一样, 
；而 
的图象与
的图象各点具有对于同一个
值,
值不同,譬如
列表:
|
|
… |
-6 |
-5 |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
… |
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
2 |
|
|
|
… |
|
2 |
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
对于同一个 
,在
中,
对应的
是-3和3,在 
中,
对应的
值是-6和0.而-6比-3小3个单位,0比3小3个单位,这说明:对于同一个 
所对应的
值,总比
所对应的
值小3个单位.
y
x
这些特性反映在图象上就是将
图象上各点向左平移3个单位得到函数 
的图象上的点,函数
的图象整个向左平移3个单位得到
的图象.同理,将
的图象向右平移2个单位得到 
的图象,总之将
的图象向左或向右平移|h|个单位(h>0时向左移动；h<0时,向右移)就得到
的图象,由于图象左右移动,对称轴发生变化,不是
轴了,而是直线 
,顶点是( 
0).
由于 
的图象是将
的图象向上平移2个单位,而
是由
的图象向左平移3个单位,所以
是由
的图象向左平移3个单位,再向上平移2个单位得到的,其顶点是(-3,2),对称轴是 
.
4.抛物线的顶点坐标、对称轴方程的求法有2种:一种是将 
配方成 
的形式,如:
= 
……(加上并减去一次项系数的一半的平方)
= 
= 
所以顶点是(-3,2),对称轴是
.
另一种是直接套用公式.顶点 
,对称轴是 
.因同学们配方不太熟练,准确性不高；因此最好用公式求，尤其是当系数是整数时.
5.抛物线的顶点是
,也可写成 
.
①若 
>0, 
>0,则 
,即顶点的纵坐标为负,则顶点在
轴下方,而抛物线向上伸展,所以抛物线一定与
轴相交.
0 x
②若
>0, 
,顶点在
轴上方,抛物线向下伸展,则抛物线与
轴也一定有两个交点. y
0 x
③若
=0,无论 
.即顶点在
轴上,抛物线与
轴只有一个交点.
④若
<0, 
,顶点在
轴上方,而抛物线向上伸展,故与
轴不相交. y
0 x y
⑤若
<0, 
,抛物线向下伸展,所以抛物线与
轴不相交.
0
所以,(1)
>0 
抛物线 
一定与
轴有两个交点.
(2)
=0,抛物线与
轴有一个交点.
(3)
<0,抛物线与
轴没有交点.
判定抛物线与
轴有无交点,就是判定
的值是正还是负.
再例如求 
与
轴的交点坐标,因交点在
轴上,也在抛物线上,所以纵坐标 
,即 
, 
；所以与
轴交点坐标是(3,0)和(-1,0).这说明求抛物线 
轴的交点坐标,就要求 
的根 
,交点坐标是( 
)和( 
),而求
与
轴的交点坐标,就是 
.
6.求解二次函数的图象,应先求出顶点坐标,对称轴方程,然后按照对称性列表、描点、连线.
如:解出 
的图象.
解:顶点坐标是(-3,2),对称轴是
.
列表，得：
|
|
… |
-6 |
-5 |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
|
|
… |
- 
|
0 |
|
2 |
|
0 |
|
描点、连线，得：
y
x
三、练习
1.填空题:
⑴将 
的图象向上平移3个单位,得到函数______的图象,其顶点坐标是______,对称轴方程是______.
⑵将 
的图象向右平移3个单位,再向上平移4个单位,得到函数______的图象,顶点坐标是______,对称轴是______.
⑶函数 
的图象的顶点关于
轴的对称点的坐标是______.
⑷ 
中, 
,则它的开口向______.顶点在第______象限
⑸将 
配方成
的形式是____________.顶点坐标是______,对称轴是______.
⑹抛物线 
与
轴的交点坐标是______,与
轴交点坐标是______.
⑺二次函数 
有最小值-4,且图象的对称轴在
轴的右侧,则 
的值是______.
⑻ 
交于A,B,顶点是C,则S△ABC=______.
⑼ 
与
轴交于A,B,与
轴交于C,则S△ABC=______.
⑽已知二次函数
的图象经过(1,3)和(0,4)及(2,6)三点,则二次函数解析式是____________.
⑾抛物线 
与
轴交于A,B两点,B在A的右侧,点P是抛物线在
轴上方部分的一点,且S△ABP=6,则A点坐标是______,B点坐标是______,P点坐标是______.
⑿已知二次函数
的图象经过(1,1),还经过一次函数 
的图象与
轴,
轴的交点,则函数解析式为______,顶点坐标是______.
⒀已知二次函数
的图象经过(-1,-
),B(0,-4),C(4,0)三点,则二次函数的解析式是______,顶点D的坐标是______,对称轴方程是______,
S四边形OBDC=______
2.选择题:
①假如
的图象经过(1,4),(0,2)和(-2,-8)三点,则
的值是:
A. 4 B. 0 C. 6 D. -6
② 
同号, 
异号,在同一直角坐标系中二次函数
与一次函数 
的图象大致是:
y y y y
0 x 0 x 0 x 0 x
A. B. C. D.
③二次函数
的图象如图所示,则 
的值是:
A. 
B. 
C. 
D. 
④抛物线 
的顶点在
轴上,则顶点坐标是:
A.(4,0) B.(
,0) C.(-
,0) D.(0,
)
⑤要使关于
的方程 
的两根的平方根最小,则
等于:
A. 0 B. –1 C. 1 D. 2
3.解答题:
已知二次函数
的图象经过A(2,4),其顶点的横坐标是
,它的图象与
轴交点为B(
)和(
)，且 
.
求:①此函数的解析式,并画出图象.
②在
轴上方的图象上是否存在着D,使S△ABC=2S△DBC.若存在,
求出D的值；若不存在,说明理由.
四、练习答案:
1.填空题:
⑴ 
(0,3)
轴 ⑵ 
(3,4) 
⑶(-3,1) ⑷下 二 ⑸ 
(-1,2) 
⑹(3,0)和(-
,0) (0, 
) ⑺2(提示: 
)
⑻ 
⑼24 ⑽ 
⑾A(-1,0) B(3,0) P点(0,3)和(2,3) (提示:AB=4 设P( 
) S△ABP=6 则|
|=3
=3 因为P在抛物线上,所以 
)
⑿
⒀ 
D( 1,-
) 
11面积单位 (提示:做出图象,S四边形OBDC=S△OBD S△OCD 而S△OBD= 
S△COD 
)
2.选择题:
①B ②D ③C ④C ⑤C
3.解答题:
由题意得
①
② (因为 
)
③ 
由②得: 
代入①得: 
将
代入③得: 
不合题意, 
所以 
∴B(3,0)
设D(
) y C(-2,0)
则S△ABC= 
A(2,4)
S△DBC= 
D(
)
∴ 
将 
C(-2,0) B(3,0) x
∴D 
