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中考模拟试题(附答案)
一、填空题(每小题3分，共24分)
1．4的平方根是______，-8的立方根是______．
2．函数y＝ 
中，自变量x的取值范围是______．
3．不等式3x-6＜0的解集是______，方程 
＝1的解是______．
4．点P(-1，2)关于x轴的对称点的坐标是______，点P(-1，2)关于原点的对称点的坐标是______．
5．如图1，在△ABC中，DE∥BC，且DE＝3 cm， 
＝ 
，则BC＝______cm， 
＝______．
图1
6．如图2，由一个边长为a的小正方形与两个长、宽分别为a、b的小矩形拼接成矩形ABCD，则整个图形可表达出一些有关多项式分解因式的等式，请你写出其中任意三个等式：_______________________________________________________________________．
图2
7．边长为2 cm的正六边形的外接圆半径是______cm，内切圆半径是_____cm．(结果保留根号)
8．为了绿色北京，北京市现在执行严格的机动车尾气排放标准，同时正在不断设法减少工业及民用燃料所造成的污染，随着每年10亿立方米的天然气输到北京，北京每年将少烧300万吨煤，这样，到2006年底，北京的空气质量将会基本达到发达国家城市水平，某单位1个月用煤30吨，若改用天然气，一年大约要用______立方米的天然气。(用科学记数法表示)
二、选择题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)
9．不等式组 
无解，则a的取值范围是( )
A．a＜1 B．a≤1
C．a＞1 D．a≥1
10．如图3，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是( )
图3
A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5
C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5
11．如图4，点P是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ交双曲线y＝ 
于点Q，连结OQ，当点P沿x轴的正方向运动时，Rt△QOP的面积( )
图4
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．保持不变 D．无法确定
12．斜拉桥是利用一组组钢索，把桥面重力传递到耸立在两侧的高塔上的桥梁，它不须建造桥墩．如图5中A1B1、A2B2、…、A5B5是斜拉桥上5条互相平行的钢索，并且B1、B2、B3、B4、B5被均匀地固定在桥上．假如最长的钢索A1B1＝80 m，最短的钢索A5B5＝20 m，那么钢索A3B3、A2B2的长分别为( )
图5
A．50 m、65 m
B．50 m、35 m
C．50 m、57.5 m
D．40 m、42.5 m
三、计算题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)
13． 
＋ 
-8 
．
14．( 
)÷ 
．
四、解答题(每小题7分，共14分)
15．已知一次函数的图象与双曲线y＝- 
交于点(-1，m)，且过点(0，1)，求该一次函数的解析式．
16．已知：如图6，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC＝CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证四边形BCDE是菱形．
图6
五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
17．如图7，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点B的直线交⊙O1、⊙O2于C、D， 
的中点为M，AM交⊙O1于E，交CD于F，连CE、AD、DM．
图7
(1)求证：AM·EF＝DM·CE；
(2)求证： 
；
(3)若BC＝5，BD＝7，CF＝2DF，AM＝4MF，求MF和CE的长．
18．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系：y＝-10.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)．y值越大，表示接受能力越强．
(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
(2)第10分时，学生的接受能力是多少？
(3)第几分时，学生的接受能力最强？
六、解答题(10分)
19．为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索
实践一：根据《自然科学》中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图8的测量方案：
图8
把镜子放在离树(AB)8.7米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2.7米，观察者目高CD＝1.6米，请你计算树(AB)的高度(精确到0.1米)．
实践二：提供选用的测量工具有：①皮尺一根；②教学用三角板一副；③长为2.5米的标杆一根；④高度为1.5米的测角仪(能测量仰角、俯角的仪器)一架．请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：
(1)在你设计的方案中，选用的测量工具是(用工具的序号填写)______；
(2)在图9中画出你的测量方案示意图；
图9
(3)你需要测得示意图中哪些数据，并分别用a、b、c、a 等表示测得的数据______；
(4)写出求树高的算式：AB＝_________________________．
七、解答题(12分)
20．阅读下列材料：如图10，⊙O1和⊙O2外切于点C，AB是⊙O1和⊙O2的外公切线，A、B为切点，求证：AC⊥BC．
图10
证实：过点C作⊙O1和⊙O2的内公切线交AB于D．
∵ DA、DC是⊙O1的切线，∴ DA＝DC．
∴ ∠DAC＝∠DCA．同理∠DCB＝∠DBC．
又∵ ∠DAC＋∠DCA＋∠DCB＋∠DBC＝180°，∴ ∠DCA＋∠DCB＝90°．
即AC⊥BC．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)在以上的证实过程中使用了哪些定理？请写出两个定理的名称或内容；
(2)以AB所在直线为x轴，过点C且垂直于AB的直线为y轴建立直角坐标系(如图11)．已知A、B两点的坐标为(-4，0)、(1，0)，求经过A、B、C三点的抛物线y＝ax2＋bx＋c的函数解析式；
图11
(3)根据(2)中所确定的抛物线，试判定这条抛物线的顶点是否落在两圆的连心O1O2上，并说明理由．
参考答案
1．±2 -2 2．x≥-2且x≠-1 3．x＜2 x＝5 4．(-1，-2) (1，-2) 5．9 
6．a2＋2ab＝a(a＋2b) a(a＋b)＋ab＝a(a＋2b) a(a＋2b)-a(a＋b)＝ab a(a＋2b)-ab＝a(a＋b)等 7．2 
8．1.2×105(提示：10×108∶300×104＝x∶30×12，x＝1.2×105)
二、9．B 10．A 11．C 12．A
三、13．-1 14． 
四、15．y＝-x＋1 16．证CD＝DE＝CB＝BE
五、17．(1)连AB，证△CEF∽△ADM
(2)由CE∥DM，有 
，
由△CEF∽△ADM，有 
，则 
＝ 
· 
＝
(3)先求MF长，MF＝2，再求CE长，CE＝8．
18．(1)y＝-0.1x2＋2.6x＋43＝-0.1(x-13)3＋59.9，所以，当0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强，当13＜x≤30时，学生的接受能力逐步下降．
(2)当x＝10时y＝-0.1(10-13)2＋59.9＝59．第10分时，学生的接受能力为59．
(3)x＝13时，y取得最大值，所以，在第13分时，学生的接受能力最强．
六、19．实践一：∵ ∠CED＝∠AEB，∠CDE＝∠ABE＝Rt∠，
∴ △CED∽△AEB．∴ 
．
∴ 
，∴ AB≈5.2米．
实践二：(1)①② (2)示意图略 (3)CD＝a，BD＝b (4)a＋b
七、20．解：(1)切线长定理，等腰三角形的性质定理，三角形的内角和等于180°等
(2)由题意OA＝4，OB＝1，AC⊥BC，Rt△ACB中，∵ AC⊥BC，CO⊥AB，∴ △BOC∽△COA．
∴ 
，OC2＝OA·OB，∴ OC2＝4，OC＝2．
∴ 点C(0，-2)设y＝a(x＋4)(x-1)，代入点C(0，-2)有：-2＝-4a．
∴ a＝
．∴ y＝
(x＋4)(x-1)．即y＝
x2＋ 
x-2．
(3)解法一：设⊙O1的半径为R，⊙O2的半径为r．
连O1A、O2B、O1O2，过O2作O2H⊥O1A于H．
在Rt△O1O2H中，O1H＝R-r，O1O2＝R＋r，HO2＝AB＝5，在梯形ABO2O1中， 
．
∴ 
∴ R＝5，r＝ 
．
∴ 梯形AO1O2B的中位线长为：
(R＋r)＝
(5＋
)＝ 
．
∵ 由抛物线的对称性知，梯形中位线在对称轴上．
∴ O1O2的中点坐标是(-
，-
)．
∵ y＝
(x＋
)2-
，∴ 顶点P(-
，-
)．
∴ 抛物线的顶点在O1O2的连心线上．
解法二：(接解法一)由R＝5，A(-4，0)，C(0，-2)，
∴ 点O1＝(-4，-5)．设过点O1、O2的直线为y＝kx＋b，又点C在连心线O1、O2上，
∴ 
∴ 
∴ y＝ 
x-2．
当x＝-
时，y＝
×(-
)-2＝-
．
∴ 顶点(-
，-
)在连心线O1O2上．
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