得分

评卷人

七、解答题（本题共2小题；共22分）

27．（本小题10分）

已知关于x的方程 有两个不相等的实数根x1、x2，且

(2x1＋x2)2－8(2x1＋x2)＋15＝0．

（1）求证：n＜0；

（2）试用k的代数式表示x1；

（3）当n＝－3时，求k的值．

在平面直角坐标系中，直线y＝ eq \f(2 eq \r(3),3)kx＋m（－ eq \f(1,2) ≤k≤ eq \f(1,2) ）经过点A（2 eq \r(3)，4），且与y轴相交于点C．点B在y轴上，O为坐标原点，且OB＝OA＋7－2 eq \r(7)．记△ABC的面积为S．

（1）求m的取值范围；

（2）求S关于m的函数关系式；

（3）设点B在y轴的正半轴上，当S取得最大值时，将△ABC沿AC折叠得到△AB′C，求点

B′的坐标．

2005年南通市中等学校招生考试

数学试题参考答案与评分标准

一、选择题（本题共12小题，第1～8题每小题2分，第9～12题每小题3分，共28分）

1．B 2．D 3．A 4．D 5．C 6．A

7．C 8．D 9．B 10．A 11．B 12．C

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

13．7.02×10－4 14．54°42′ 15．45° 16．9 17．750 18．（4 ，0）

三、解答题

19．解：（1）原式=－3＋6－8＋9 ……………………………………………………………4分

=4． …………………………………………………………………………5分

（2）原式= 3ab2＋b·（－3ab－4a2b） ………………………………………………7分

= 3ab2－3ab2－4a2b2 ………………………………………………………9分

= －4a2b2． ……………………………………………………………………10分

20．解：原式= ……………………………………………2分

= = ． …………………………………………………………5分

当a= ，b= 时，原式= = =1． …………6分

21．画出∠AOB的平分线（2分），画出线段MN的垂直平分线（2分），

画出所求作的点P（1分），共5分．

22．解：由题意，得∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=180米． …………………………………1分

在Rt△ABC中， ∠ABC= ，∴ 30°= ． ……………………………3分

∴AC=180·tan30°=180× eq \f( eq \r(3) ,3)=60 eq \r(3) （米）． ………………………………………………5分

答：河宽为60 eq \r(3) 米． ……………………………………………………………………6分

23．解：（1）由题意，得 解得 …………………………………4分

∴ 这条抛物线的解析式为y=x2－2x－3． …………………………………………5分

（2）抛物线的开口方向向上，对称轴为x=1，顶点坐标为（1，－4）． ……………8分

24．解：（1）由图知，住宿消费为3438.24万元，占旅游消费的22.62%，

∴ 旅游消费共3438.24÷22.62%=15200（万元）=1.52（亿元）． ……………2分

交通消费占旅游消费的17.56%，∴交通消费为15200×17.56%=2669.12（万元）．

∴今年我市“五一”黄金周旅游消费中各项消费的中位数是

(3438.24＋2669.12)÷2=3053.68（万元）． ……………………………………4分

（2）解：设2005年到2007年旅游消费的年平均增长率是x，由题意，得

1.52(1＋x)2=3.42． ……………………………………………………6分

解得 x1=0.5，x2=－2.5.

因为增长率不能为负，故x=－2.5舍去．∴x=0.5=50%．

答：2005年到2007年旅游消费的年平均增长率是50%． …………………………8分

25．（1）证实：过点D作DG⊥AB，垂足为G．

∵ ∠DGB=90°，∴四边形DGBC是矩形．

∴ DC=BG． …………………………………………………2分

∵ AB=2CD，∴AG=GB．∴ DA=DB，∴ ∠DAB=∠DBA．

又∵ EF∥AB，AE与BF相交于D点，

∴ 四边形ABFE是等腰梯形． …………………………4分

（2）解：∵ CD∥AB，∴ ．

∵ AB=2CD，∴ AF=2CF．

∵ CF=4，∴AF=8． ……………………………………………………………………6分

∵ ∠CBA=90°，AC⊥BF，∴ Rt△BCF∽Rt△ABF．

∴ ，∴ BF2=CF·FA=4×8=32．∴BF=4 eq \r(2) ． …………………………8分

∵四边形ABFE是等腰梯形，∴ AE= BF= 4 eq \r(2) （cm）． ……………………………9分

26．（1）证实：连结OE．

∵ AO是⊙O1的直径，∴ ∠AEO=90°，∴ AE⊥OE． ………………………2分

又OE是⊙O的半径，∴ AE是⊙O的切线，且切点为E． …………………4分

（2）解：由切割线定理，得

AE2=AB·AC，即62=2×AC，

⊙O1的半径=5． ……………………………………………6分

由（1），知OE⊥AE．

∵ FG是⊙O的切线，故OG⊥FG．

又 ∵ FG⊥AF，∴OG∥AF，∴ ∠A=∠GOD．

∴ Rt△AOE∽Rt△ODG． …………………………………8分

∴ ，即 ．

∴ DG= eq \f(32,3) ，OD= eq \f(40,3) ．

∴△ODG的周长为OG＋DG＋OD=8＋ eq \f(32,3) ＋ eq \f(40,3) =32． ……………………………10分

（或由Rt△AOE∽Rt△ODG，得 ，即 ．

∵Rt△AOE的周长为AE AO OE=6 10 8=24，∴△ODG的周长为24× =32．）

27．（1）证实：∵ 关于x的方程 两个不相等的实数根，

∴ △=k2－4(k2＋n)=－3k2－4n＞0，∴n＜－ eq \f(3,4) k2.

又－k2≤0，∴n＜0． ……………………………………………………………3分

（2）解：由根与系数的关系，得x1＋x2= k．

解关于2x1＋x2的方程 ，

得2x1＋x2=3，或2x1＋x2=5．

当2x1＋x2=3，即x1＋(x1＋x2)=3时，得x1=3－k；

当2x1＋x2=5，即x1＋(x1＋x2)=5时，得x1=5－k． ……………………………6分

（3）解：当n=－3时，方程 ，即为 ．

∵x1是 的一个实数根，所以

①当x1=3－k时，有 ，

∴ ，解得k1=1，k2=2．

∵k=2时，原方程变为x2－2x＋1=0，这个方程有两个相等的实数根，

故k=2不合题意，舍去．

当k=1时，原方程变为x2－x－2=0，它的两个根为－1和2．

∴k=1． ……………………………………………………………………………8分

②当x1=5－k时，有 ，

∴ ，这个方程的判别式△=－39＜0，∴k不存在．

综上所述，所求的k的值为1． ………………………………………………10分

28．解：（1） ∵直线y= kx＋m（ ≤k≤ ）经过点A（2 ，4），

∴ ×2 k＋m=4，∴k =1－ m． …………………………………………2 分

∵－ eq \f(1,2)≤k≤ eq \f(1,2) ，∴－ eq \f(1,2)≤1－ eq \f(1,4) m≤ eq \f(1,2) ．解得2≤m≤6． ………………………4分

（2） ∵ A点的坐标是（2 eq \r(3) ，4），∴OA=2 eq \r(7) ．

又∵OB=OA＋7－2 eq \r(7) ，∴OB=7．∴B点的坐标为（0，7），或（0，－7）．

直线y= kx＋m与y轴的交点为C（0，m）． ………………………………7分

①当点B的坐标是（0，7）时，由于C（0，m），2≤m≤6，故BC=7－m．

∴S= ·2 ·BC= （7－m）．

②当点B的坐标是（0，－7）时，由于C（0，m），2≤m≤6，故BC=7＋m．

∴S= ·2 ·BC= （7＋m）． ……………………………………………9分

（3）当 m=2时，一次函数S=－ m＋7 取得最大值5 ，这时C（0，2）．

如图，分别过点A、B′作y轴的垂线AD、B′E，垂足为D、E．

在Rt△ACD中，tan∠ACD= = ，∴∠ACD=60°．

由题意，得∠AC B′=∠ACD=60°，C B′=BC=7－2=5，

∴∠B′CE=180°－∠B′CB= 60°．

在Rt△B′CE中，∠B′CE=60°，C B′=5，

∴CE= ，B′E= ．故OE=CE－OC= ．

∴点B′的坐标为（ ，－ ）． ……………………12分