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一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。把答案填在横线上。

1、已知集合 ， 。若 ，则实数 的取值范围是____________。

2、已知 ，若 ，则 。

3、已知直线 ，直线 与 关于直线 对称，则直线 的斜率为 。

4、方程 有实根的概率为 。

5、三角形ABC中AP为BC边上的中线， ， ，则 ＝ 。

6、已知函数 ，若方程 有三个不同的根，且从小到大

依次成等比数列，则 的值为 。

7、对任意实数 ，定义运算 ，其中 是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算。已知 ，并且有一个非零常数 ，使得对任意实数 ，都有 ，则 的值是 。

8、一个几何体的三视图及其尺寸如下左图（单位：㎝），则该几何体的表面积是 ，

9、如上右图，在杨辉三角形中，斜线l的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列 ：1，3，3，4，6，5，10，…，则a21的值为 。

10、对于在区间 上有意义的两个函数 和 ，假如对任意 ，均有 , 那么我们称 和 在 上是接近的。若 与 在闭区间 上是接近的，则 的取值范围是 。

11、已知复数 （ 为虚数单位），且复数 在复平面上对应的点在第一象限，则实数 的取值范围为 。

12、已知数列 满足 ， ，

则 。

13、如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝ ，此矩形沿地面上一直线滚动，在滚动过程中始终与地面垂直，设直线BC与地面所成角为 ，矩形周边上最高点离地面的距离为

14、符号 表示不超过 的最大整数，如 。定义函数 ，给出如下四个命题：①函数 的定义域为 ，值域为 ； ②方程 有无数解；

③函数 是周期函数； ④函数 是 上的增函数。

其中正确命题的序号是 。

二、解答题：本大题共90分，解答应写出文字说明、证实过程或演算步骤。

15、（本小题满分14分）

已知a、b、c是△ABC三边长，关于x的方程 的两根之差的平方等于4，△ABC的面积

（Ⅰ）求角C；

（Ⅱ）求a、b的值.

16、（本小题满分14分）已知 是 的三个内角， 。

（1）若 是正三角形，求 的值；

（2）若任意交换 中两个角的位置， 的值是否变化？证实你的结论；

（3）若 中有一内角为 ，求 的最小值。

17、（本小题满分14分）

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足

（Ⅰ）判定 是否为等差数列？并证实你的结论；

（Ⅱ）求Sn和an

18、（本小题满分16分）

设 是函数 的两个极值点，且

（Ⅰ）求a的取值范围；

（Ⅱ）求证： .

19、（本小题满分16分）

甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f（x）、g（x），当甲公司投入x万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f（x）万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g（x）万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险。

（Ⅰ）试解释 的实际意义；

（Ⅱ）设 ，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司各应投入多少宣传费？

20、（本小题满分16分）

椭圆G： 的两个焦点F1（－c，0）、F2（c，0），M是椭圆上的一点，且满足

（Ⅰ）求离心率e的取值范围；

（Ⅱ）当离心率e取得最小值时，点N（0，3）到椭圆上的点的最远距离为

（1）求此时椭圆G的方程；

（2）设斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆G相交于不同的两点A、

B，Q为AB的中点，问A、B两点能否关于过点 的直线对称？若能，求出k

的取值范围；若不能，请说明理由.

参考答案

1、 2、 或 3、 4、 5、

6、 7、 8、24 ，12 9、66 10、 11、

12、 13、 14、②③

15、解：（Ⅰ）设 的两根

则

……………………………………………………………………2分

………………………………………………………………4分

又

……………………………………………………………………6分

（Ⅱ）由

①………………………………………………………………8分

由余弦定理：

即：

②……………………………………………………12分

由①②得：a=8，b=5 ……………………………………………………14分

16、（1） 。……………………………………………………………………（3分）

（2）∵ ， （7分）

∴若任意交换 中两个角的位置， 的值不会改变。……………………………（8分）

（3）不妨设 ，

则 ，…（12分）

当且仅当 时， 。……………………………………………（14分）

17、解证：（Ⅰ） ………………………………1分

当n≥2时， ………………2分

故 是以2为首项，以2为公差的等差数列.…………………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得 …………………5分

当n≥2时， …………………………6分

当n=1时， ………………8分

（Ⅲ）1°当n=1时， 成立…………………………9分

2°假设n=k时，不等式成立，即 成立

则当n=k 1时，

即当n=k 1时，不等式成立

由1°，2°可知对任意n∈N*不等式成立.

（Ⅲ）另证：

…………14分

18、解证：（I）易得 …………………………………………1分

的两个极值点

的两个实根，又a＞0

……………………………………………………5分

∴

∵

……………………………………………………9分

（Ⅱ）设 则

由

上单调递增………………12分

………………………………………………16分

19、解：（I）f（0）=10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险，至少要投入10万元宣传费；g（0）=20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费。…………………………4分

（Ⅱ）设甲公司投入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元，依题意，当且仅当

成立，双方均无失败的风险……………………8分

由（1）（2）得

……………………14分

答：要使双方均无失败风险，甲公司至少要投入24万元，乙公司至少要投入16万元。

……………………………………………………………………………………16元

20解：（I）设M（x0，y0）

①

又 ②……………………2分

由②得 代入①式整理得

又

解得

……………………………………………………………………4分

（Ⅱ）（i）当

设H（x，y）为椭圆上一点，则

若0

由 （舍去）…………………………6分

若b≥3，当y=－3时，|HN|2有最大值2b2 18

由2b2 18=50得b2=16

∴所求椭圆方程为 ……………………………………8分

（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），则由

③

又直线PQ⊥直线l ∴直线PQ方程为

将点Q（x0，y0）代入上式得， ④………………11分

由③④得Q …………………………………………12分

（解1）而Q点必在椭圆内部

由此得

故当 时A、B两点关于点P、Q的直线对称.…………16分

（解2）∴AB所在直线方程为

由 得

显然1 2k2≠0

而

直线l与椭圆有两不同的交点A、B ∴△＞0

解得

故当 时，A、B两点关于点P、Q的直线对称。

…………………………………………………………………………16分

（ii）另解；设直线l的方程为y=kx b

由 得

设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），则

③……………………9分

又直线PQ⊥直线l ∴直线PQ方程为

将点Q（x0，y0）代入上式得， ④………………10分

将③代入④ ⑤…………………………………………11分

∵x1，x2是（*）的两根

⑥……12分

⑤代入⑥得

∴当 时，A、B两点关于点P、Q的直线对称。……16分