郭键

1．（人教A版第27页A组第6题）解析式、待定系数法

若 ，且 ， ，求 的值．

变式1：若二次函数 的图像的顶点坐标为 ，与y轴的交点坐标为(0,11)，则

A． B．

C． D．

变式2：若 的图像x=1对称，则c=_______．

变式3：若二次函数 的图像与x轴有两个不同的交点 、 ，且 ，试问该二次函数的图像由 的图像向上平移几个单位得到？

2．（北师大版第52页例2）图像特征

将函数 配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像．

变式1：已知二次函数 ，假如 (其中 )，则

A． B． C． D．

、

、

A． B．

C． D．

变式3：已知函数 的图像如右图所示，

请至少写出三个与系数a、b、c有关的正确命题_________．

3．（人教A版第43页B组第1题）单调性

已知函数 ， ．

(1)求 ， 的单调区间；(2) 求 ， 的最小值．

变式1：已知函数 在区间 内单调递减，则a的取值范围是

A． B． C． D．

变式2：已知函数 在区间( EQ \F(1,2) ,1)上为增函数，那么 的取值范围是_________．

变式3：已知函数 在 上是单调函数，求实数 的取值范围．

4．（人教A版第43页B组第1题）最值

已知函数 ， ．

(1)求 ， 的单调区间；(2) 求 ， 的最小值．

变式1：已知函数 在区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是

A． B． C． D．

变式2：若函数 的最大值为M，最小值为m，则M m的值等于________．

变式3：已知函数 在区间[0,2]上的最小值为3，求a的值．

5．（人教A版第43页A组第6题）奇偶性

已知函数 是定义在R上的奇函数，当 ≥0时， ．画出函数 的图像，并求出函数的解析式．

变式1：若函数 是偶函数，则在区间 上 是

A．增函数 B．减函数 C．常数 D．可能是增函数，也可能是常数

变式2：若函数 是偶函数，则点 的坐标是________．

变式3：设 为实数，函数 ， ．

( = 1 \* ROMAN I)讨论 的奇偶性；( = 2 \* ROMAN II)求 的最小值．

6．（北师大版第64页A组第9题）图像变换

已知 ．

(1)画出函数的图象；(2)求函数的单调区间；(3)求函数的最大值和最小值．

变式1：指出函数 的单调区间．

变式2：已知函数 ．

给下列命题：① 必是偶函数；

② 当 时， 的图像必关于直线x=1对称；

③ 若 ，则 在区间[a，＋∞ 上是增函数；

④ 有最大值 ．

　　 其中正确的序号是________．③

变式3：设函数 给出下列4个命题：

①当c=0时， 是奇函数；

②当b=0，c>0时，方程 只有一个实根；

③ 的图象关于点（0，c）对称；

④方程 至多有两个实根．

上述命题中正确的序号为 ．

7．（北师大版第54页A组第6题）值域

求二次函数 在下列定义域上的值域：

(1)定义域为 ；(2) 定义域为 ．

变式1：函数 的值域是

A． B． C． D．

变式2：函数y=cos2x sinx的值域是__________．

变式3：已知二次函数 f (x) = a x 2 bx（a、b 为常数，且 a ≠ 0），满足条件 f (1 x) = f (1－x)，且方程 f (x) = x 有等根．

(1)求 f (x) 的解析式；

(2)是否存在实数 m、n（m < n），使 f (x) 的定义域和值域分别为 [m,n] 和 [3m,3n]，假如

存在，求出 m、n 的值，假如不存在，说明理由．

8．（北师大版第54页B组第5题）恒成立问题

当 具有什么关系时，二次函数 的函数值恒大于零？恒小于零？

变式1：已知函数 f (x) = lg (a x 2 2x 1) ．

(I)若函数 f (x) 的定义域为 R，求实数 a 的取值范围；

(II)若函数 f (x) 的值域为 R，求实数 a 的取值范围．

变式2：已知函数 ，若 时，有 恒成立，求 的取值范围．

变式3：若f (x) = x 2 bx c，不论 a、b 为何实数，恒有 f (sin a )≥0，f (2 cos b )≤0．

(I) 求证：b c = －1；

(II) 求证： c≥3；

(III) 若函数 f (sin a ) 的最大值为 8，求 b、c 的值．

9．（北师大版第54页B组第1题）根与系数关系

右图是二次函数 的图像，它与x轴交于点 和 ，试确定 以及 ， 的符号．

变式1：二次函数 与一次函数 在同一个直角坐标系的图像为

变式2：直线 与抛物线

中至少有一条相交，则m的取值范围是．

变式3：对于函数 f (x)，若存在 x0 Î R，使 f (x0) = x0 成立，则称 x0 为 f (x) 的不动点．假如函数 f (x) = a x 2 bx 1（a > 0）有两个相异的不动点 x1、x2．

( = 1 \* ROMAN I)若 x1 < 1 < x2，且 f (x) 的图象关于直线 x = m 对称，求证m > EQ \F(1,2) ；

( = 2 \* ROMAN II)若 | x1 | < 2 且 | x1－x2 | = 2，求 b 的取值范围．

10．（北师大版第52页例3）应用

绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料．根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶．在每月的进货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方安：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？

变式1：在抛物线 与x轴所围成图形的内接矩形(一边在x轴上)中(如图)，求周长最长的内接矩形两边之比，其中a是正实数．

变式2：某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查与猜测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图一；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图二（注：利润和投资单位：万元）

(I)

(II) 该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少元（精确到1万元）？

变式3：设a为实数，记函数 的最大值为g(a) ．

（Ⅰ）求g(a)；（Ⅱ）试求满足 的所有实数a．

二次函数答案

1．（人教A版第27页A组第6题）解析式、待定系数法

变式1： 解：由题意可知 ，解得 ，故选D．

变式2： 解：由题意可知 ，解得b=0，∴ ，解得c=2．

变式3：解：由题意可设所求二次函数的解析式为 ，

展开得 ，

∴ ，

∴ ，即 ，解得 ．

所以，该二次函数的图像是由 的图像向上平移 EQ \F(4,3) 单位得到的，它的解析式是 ，即 ．

2．（北师大版第52页例2）图像特征

变式1： 解：根据题意可知 ，∴ ，故选D．

变式2： 解：∵ ，∴抛物线 的对称轴是 ，

∴ 即 ，

∴ ，∴ 、 、 ，

变式3： 解：观察函数图像可得：

① a>0(开口方向)；② c=1(和y轴的交点)；

③ (和x轴的交点)；④ ( )；

⑤ (判别式)；⑥ (对称轴)．

3．（人教A版第43页B组第1题）单调性

变式1： 解：函数 图像是开口向上的抛物线，其对称轴是 ，

由已知函数在区间 内单调递减可知区间 应在直线 的左侧，

∴ ，解得 ，故选D．

变式2：解：函数 在区间( EQ \F(1,2) ,1)上为增函数，由于其图像(抛物线)开口向上，所以其对称轴 或与直线 重合或位于直线 的左侧，即应有 ，解得 ，

∴ ，即 ．

变式3：解：函数 的图像是开口向下的抛物线，经过坐标原点，对称轴是 ，

∵ 已知函数在 上是单调函数，∴ 区间 应在直线 的左侧或右侧，

4．（人教A版第43页B组第1题）最值

变式1： 解：作出函数 的图像，

开口向上，对称轴上x=1，顶点是(1，2)，和y轴的交点是(0，3)，

∴m的取值范围是 ，故选C．

变式2： 解：函数有意义，应有 ，解得 ，

∴ Þ Þ ，

∴ M=6，m=0，故M m=6．

变式3： 解：函数 的表达式可化为 ．

① 当 ，即 时， 有最小值 ，依题意应有 ，解得 ，这个值与 相矛盾．

②当 ，即 时， 是最小值，依题意应有 ，解得 ，又∵ ，∴ 为所求．

③当 ，即 时， 是最小值，

依题意应有 ，解得 ，又∵ ，∴ 为所求．

综上所述， 或 ．

5．（人教A版第43页A组第6题）奇偶性

变式1： 解：函数 是偶函数 Þ Þ ，

当 时， 是常数；当 时， ，在区间 上 是增函数，故选D．

变式2：解：根据题意可知应有 且 ，即 且 ，∴点 的坐标是 ．

变式3： 解：（ = 1 \* ROMAN I）当 时，函数 ，此时， 为偶函数；

当 时， ， ，

， ，此时 既不是奇函数，也不是偶函数．

（ = 2 \* ROMAN II）（ = 1 \* roman i）当 时， ，

若 ，则函数 在 上单调递减，从而函数 在 上的最小值为 ．

若 ，则函数 在 上的最小值为 ，且 ．

（ = 2 \* roman ii）当 时，函数 ，

若 ，则函数 在 上的最小值为 ，且 ，

若 ，则函数 在 上单调递增，从而函数 在 上的最小值为 ．

综上，当 时，函数 的最小值为 ；

当 时，函数 的最小值为 ；

当 时，函数 的最小值为 ．

6．（北师大版第64页A组第9题）图像变换

变式1： 解：函数可转化为二次函数，作出函数图像，由图像可得单调区间．

当 时， ．

作出函数图像，由图像可得单调区间．

在 和 上，函数是增函数；在 和 上，函数是减函数．

变式2： 解：若 则 ，显然不是偶函数，所以①是不正确的；

若 则 ，满足 ，但 的图像不关于直线x=1对称，所以②是不正确的；

若 ，则 ，图像是开口向上的抛物线，其对称轴是 ，∴ 在区间[a，＋∞ 上是增函数，即③是正确的；

显然函数 没有最大值，所以④是不正确的．

变式3： 解： ，

(1)当c=0时， ，满足 ，是奇函数，所以①是正确的；

(2)当b=0，c>0时， ，

方程 即 或 ，

显然方程 无解；方程 的唯一解是 ，所以② 是正确的；

(3)设 是函数 图像上的任一点，应有 ，

而该点关于（0，c）对称的点是 ，代入检验 即 ，也即 ，所以 也是函数 图像上的点，所以③是正确的；

(4)若 ，则 ，显然方程 有三个根，所以④ 是不正确的．

7．（北师大版第54页A组第6题）值域

变式1： 解：作出函数 的图象，轻易发现在 上是增函数，在 上是减函数，求出 ， ， ，注重到函数定义不包含 ，所以函数值域是 ．

变式2：解：∵ y= cos2x sinx=－2sin2x sinx 1，令t= sinx Î [－1,1]，

则y=－2t2 t 1，其中tÎ [－1,1]，

∴y Î [－2, EQ \F(9,8) ]，即原函数的值域是[－2, EQ \F(9,8) ]．

变式3： 解：(I) ∵ f (1 x) = f (1－x)，

∴ － EQ \F(b,2a) = 1，

又方程 f (x) = x 有等根 Û a x 2 (b－1) x = 0 有等根，

∴ △= (b－1) 2 = 0 Þ b = 1 Þ a = － EQ \F(1,2) ，

∴ f (x) = － EQ \F(1,2) x 2 x．

(II) ∵ f (x) 为开口向下的抛物线，对称轴为 x = 1，

1° 当 m≥1 时，f (x) 在 [m,n] 上是减函数，

∴ 3m = f (x)min = f (n) = － EQ \F(1,2) n 2 n (*)，

3n = f (x)max = f (m) = － EQ \F(1,2) m 2 m，

两式相减得：3 (m－n) = － EQ \F(1,2) (n 2－m 2) (n－m)，

∵ 1≤m < n，上式除以 m－n 得：m n = 8，

代入 (*) 化简得：n 2－8n 48 = 0 无实数解．

2° 当 n≤1 时，f (x) 在 [m,n] 上是增函数，

∴ 3m = f (x)min = f (m) = － EQ \F(1,2) m 2 m，

3n = f (x)max = f (n) = － EQ \F(1,2) n 2 n，

∴ m = －4，n = 0．

3° 当 m≤1≤n 时，对称轴 x = 1 Î [m,n]，

∴ 3n = f (x)max = f (1) = EQ \F(1,2) Þ n = EQ \F(1,6) 与 n≥1 矛盾．

综合上述知，存在 m = －4、n = 0 满足条件．

8．（北师大版第54页B组第5题）恒成立问题

变式1： 解：(I) 函数 f (x) 的定义域为 R，即不等式a x 2 2x 1 > 0 的解集为 R，

∴应有 EQ \B\LC\{(\A\AL( a > 0, △= 4－4a < 0)) Þ a > 1，

∴ 实数 a 的取值范围是(1, ¥) ．

(II) 函数 f (x) 的值域为 R，即a x 2 2x 1 能够取 (0, ¥) 的所有值．

1° 当 a = 0 时，a x 2 2x 1 = 2x 1满足要求；

2° 当 a ≠ 0 时，应有 EQ \B\LC\{(\A\AL( a > 0, △= 4－4a ≥0)) Þ 0 < a≤1．

∴ 实数 a 的取值范围是[0,1] ．

变式2： 解法一：(转化为最值)

在 上恒成立，即 在 上恒成立．

⑴ ， ；

⑵ ， ．

综上所述 ．

解法二：（运用根的分布）

⑴当 ，即 时，应有 ， 即 ， 不存在；

⑵当 ，即 时，应有 ，

即 ， ；

⑶当 ，即 时，应有 ，即 ，

综上所述 ．

变式3： 证实：(I) 依题意，f (sin EQ \F(p,2) ) = f (1)≥0，f (2 cos p) = f (1)≤0，

∴ f (1) = 0 Þ 1 b c = 0 Þ b c = －1，

(II) 由 (I) 得： f (x) = x 2－(c 1) x c (*)

∵ f (2 cos b )≤0 Þ (2 cos b ) 2－(c 1) (2 cos b ) c≤0

Þ (1 cos b ) [c－(2 cos b )]≥0，对任意 b 成立．

∵ 1 cos b ≥0 Þ c≥2 cos b ，

∴ c≥(2 cos b )max = 3．

(III) 由 (*) 得：f (sin a ) = sin 2a－(c 1) sin a c，

设 t = sin a ，则g(t) = f (sin a ) = t 2－(c 1) t c，－1≤t≤1，

这是一开口向上的抛物线，对称轴为 t = EQ \F(c 1,2) ，

由 (II) 知：t≥ EQ \F(3 1,2) = 2，

∴ g(t) 在 [－1,1] 上为减函数．

∴ g(t)max = g(－1) = 1 (c 1) c = 2c 2 = 8，

∴ c = 3

∴ b = －c－1 = －4．

9．（北师大版第54页B组第1题）根与系数关系

变式1： 解：二次函数 与一次函数图象 交于两点 、 ，由二次函

数图象知 同号，而由 中一次函数图象知 异号，互相矛盾，故舍去 ．

又由 知，当 时， ，此时与 中图形不符，当 时， ，与 中图形相符．

变式2： 解：原命题可变为：求方程 ， ，

中至少有一个方程有实数解，而此命题的反面是：“三个方程均无实数解”，于是，从全体实数中除去三个方程均无实数解的 的值，即得所求．

解不等式组 得 ，

故符合条件的 取值范围是 或 ．

变式3： 解：(I) 由 f (x) 表达式得 m = － EQ \F(b,2a) ，

∵ g(x) = f (x)－x = a x 2 (b－1) x 1，a > 0，

由 x1，x2 是方程 f (x) = x的两相异根，且 x1 < 1 < x2，

∴ g(1) < 0 Þ a b < 0 Þ － EQ \F(b,a) > 1 Þ － EQ \F(b,2a) > EQ \F(1,2) ，即 m > EQ \F(1,2) ．

(II) △= (b－1) 2－4a > 0 Þ (b－1) 2 > 4a，

x1 x2 = EQ \F(1－b,a) ，x1x2 = EQ \F(1,a) ，

∴ | x1－x2 | 2 = (x1 x2) 2－4x1x2 = ( EQ \F(1－b,a) ) 2－ EQ \F(4,a) = 2 2，

∴ (b－1) 2 = 4a 4a 2 (*)

又 | x1－x2 | = 2，

∴ x1、x2 到 g(x) 对称轴 x = EQ \F(1－b,2a) 的距离都为1，

要 g(x) = 0 有一根属于 (－2,2)，

则 g(x) 对称轴 x = EQ \F(1－b,2a) Î (－3,3)，

∴ －3 < EQ \F(b－1,2a) < 3 Þ a > EQ \F(1,6) | b－1 |，

把代入 (*) 得：(b－1) 2 > EQ \F(2,3) | b－1 | EQ \F(1,9) (b－1) 2，

解得：b < EQ \F(1,4) 或 b > EQ \F(7,4) ，

∴ b 的取值范围是：(－¥, EQ \F(1,4) )∪( EQ \F(7,4) , ¥)．

10．（北师大版第52页例3）应用

变式1： 解：设矩形ABCD在x轴上的边是BC，BC的长是x(0<x<a)，

则B点的坐标为 ，A点的坐标为 ．

设矩形ABCD的周长为P，

则P=2 (0<x<a)．

① 若a>2，则当x=2时，矩形的周长P有最大值，这时矩形两边的长分别为2和 ，两边之比为8: ；

②若0 <a≤2，此时函数P= 无最大值，也就是说周长最大的内接矩形不存在．

综上所述，当a>2时，周长最大的内接矩形两边之比为8: ；当0 <a≤2时，周长最大的内接矩形不存在．

变式2： 解：(I) 依题意设 A、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式分别为

f (x) = kx，g(x) = m EQ \R(x) ，

由 f (1) = k = 0.25， g(4) = 2m = 2.5 Þ m = EQ \F(5,4) ，

∴ f (x) = EQ \F(1,4) x（x≥0），g(x) = EQ \F(5,4) EQ \R(x) ．

(II) 设企业在 B 产品投资 x 万元，则在 A 产品投资 10－x 万元，

∴ 企业的利润 y = EQ \F(1,4) (10－x) EQ \F(5,4) EQ \R(x) = EQ \F(1,4) [－( EQ \R(x) － EQ \F(5,2) ) 2 EQ \F(65,4) ]（0≤x≤10），

∴ EQ \R(x) = EQ \F(5,2) ，即 x = 6.25 万元时，企业获得最大利润 EQ \F(65,16) ≈4 万元．

答：在 A 产品投资 3.75 万元，在 B 产品投资 6.25 万元，企业获得最大利润约 4 万元．

变式3： 解：设 ，要使 有意义，必须 且 ，即 ，

∵ ，且 ……①

∴ 的取值范围是 ．

由①得： ，

不妨设 ， ．

（I）由题意知 即为函数 ， 的最大值，

当 时， ， ，有 =2；

当 时，此时直线 是抛物线 的对称轴，

∴可分以下几种情况进行讨论：

（1）当 时，函数 ， 的图象是开口向上的抛物线的一段，

由 知 在 上单调递增，故 ；

（2）当 时，，函数 ， 的图象是开口向下的抛物线的一段，

若 即 时， ，

若 即 时， ，

若 即 时， ．

综上所述，有 = ．

（II）若a>0，则 EQ \F(1,a) >0，此时g(a)=g( EQ \F(1,a) ) Û a 2= EQ \F(1,a) 2 Û a = EQ \F(1,a) Þa =1(舍去a=－1)；

若－ EQ \F(1,2) <a<0，则 EQ \F(1,a) <－2，此时g(a)=g( EQ \F(1,a) ) Û a 2= EQ \R(2) Þ a=－2 EQ \R(2) <－ EQ \F(1,2) (舍去)；

若－ EQ \F( EQ \R(2) ,2) <a≤－ EQ \F(1,2) ，则－2≤ EQ \F(1,a) <－ EQ \R(2) ，

此时g(a)=g( EQ \F(1,a) ) Û －a－ EQ \F(1,2a) = EQ \R(2) Þ a=－ EQ \F( EQ \R(2) ,2) (舍去)；

若－ EQ \R(2) ≤a≤－ EQ \F( EQ \R(2) ,2) ，则－ EQ \R(2) ≤ EQ \F(1,a) ≤－ EQ \F( EQ \R(2) ,2) ，

此时g(a)=g( EQ \F(1,a) ) Û EQ \R(2) = EQ \R(2) 恒成立；

若－2≤a<－ EQ \R(2) ，则－ EQ \F( EQ \R(2) ,2) < EQ \F(1,a) ≤－ EQ \F(1,2) ，

此时g(a)=g( EQ \F(1,a) ) Û EQ \R(2) =－a－ EQ \F(1,2a) Þ a=－ EQ \F( EQ \R(2) ,2) (舍去)；

若a<－2，则－ EQ \F(1,2) < EQ \F(1,a) <0，

此时g(a)=g( EQ \F(1,a) ) Û EQ \R(2) = a 2Þ a=－2 EQ \R(2) >－2 (舍去) ．

综上所述，满足 的所有实数a为： 或 ．