|
高考数学函数图象与图象变换测试
函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，考生要把握绘制函数图象的一般方法，把握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.
●难点磁场
(★★★★★)已知函数f(x)=ax3 bx2 cx d的图象如图，求b的范围.
●案例探究
［例1］对函数y=f(x)定义域中任一个x的值均有f(x a)=f(a－x),(1)求证y=f(x)的图象关于直线x=a对称；(2)若函数f(x)对一切实数x都有f(x 2)=f(2－x),且方程f(x)=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和.
命题意图：本题考查函数概念、图象对称问题以及求根问题.属★★★★★级题目.
知识依托：把证实图象对称问题转化到点的对称问题.
错解分析：找不到问题的突破口，对条件不能进行等价转化.
技巧与方法：数形结合、等价转化.
(1)证实：设(x0,y0)是函数y=f(x)图象上任一点，则y0=f(x0),又f(a x)=f(a－x),∴f(2a－x0)=
f［a (a－x0)］=f［a－(a－x0)］=f(x0)=y0,∴(2a－x0,y0)也在函数的图象上，而 
=a,∴点(x0,y0)与(2a－x0,y0)关于直线x=a对称，故y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
(2)解：由f(2 x)=f(2－x)得y=f(x)的图象关于直线x=2对称，若x0是f(x)=0的根，则4－x0也是f(x)=0的根，由对称性，f(x)=0的四根之和为8.
［例2］如图，点A、B、C都在函数y= 
的图象上，它们的横坐标分别是a、a 1、a 2.又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′,记△AB′C的面积为f(a),△A′BC′的面积为g(a).
(1)求函数f(a)和g(a)的表达式；
(2)比较f(a)与g(a)的大小，并证实你的结论.
命题意图：本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等.属★★★★★级题目.
知识依托：充分借助图象信息，利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口.
错解分析：图形面积不会拆拼.
技巧与方法：数形结合、等价转化.
解：(1)连结AA′、BB′、CC′,则f(a)=S△AB′C=S梯形AA′C′C－S△AA′B′－S△CC′B
= 
(A′A C′C)=
( 
),
g(a)=S△A′BC′=
A′C′·B′B=B′B= 
.
∴f(a)<g(a).
●锦囊妙计
1.熟记基本函数的大致图象，把握函数作图的基本方法：(1)描点法：列表、描点、连线；(2)图象变换法：平移变换、对称变换、伸缩变换等.
2.高考中总是以几类基本初等函数的图象为基础来考查函数图象的.题型多以选择与填空为主，属于必考内容之一，但近年来，在大题中也有出现，须引起重视.
●歼灭难点练习
一、选择题
1.(★★★★)当a≠0时，y=ax b和y=bax的图象只可能是( )
2.(★★★★)某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y轴表示离学校的距离，x轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是( )
二、填空题
3.(★★★★★)已知函数f(x)=log2(x 1)，将y=f(x)的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，则函数F(x)=f(x)－g(x)的最大值为_________.
三、解答题
 4.(★★★★)如图，在函数y=lgx的图象上有A、B、C三点，它们的横坐标分别为m,m 2,m 4(m>1).
(1)若△ABC面积为S，求S=f(m);
(2)判定S=f(m)的增减性.
 5.(★★★★)如图，函数y= 
|x|在x∈［－1,1］的图象上有两点A、B，AB∥Ox轴，点M(1，m)(m∈R且m>
)是△ABC的BC边的中点.
(1)写出用B点横坐标t表示△ABC面积S的函数解析式S=f(t);
(2)求函数S=f(t)的最大值，并求出相应的C点坐标.
6.(★★★★★)已知函数f(x)是y= 
－1(x∈R)的反函数，函数g(x)的图象与函数y=－ 
的图象关于y轴对称，设F(x)=f(x) g(x).
(1)求函数F(x)的解析式及定义域；
(2)试问在函数F(x)的图象上是否存在两个不同的点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直？若存在，求出A、B的坐标；若不存在，说明理由.
7.(★★★★★)已知函数f1(x)= 
,f2(x)=x 2,
(1)设y=f(x)= 
，试画出y=f(x)的图象并求y=f(x)的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的表面积；
(2)若方程f1(x a)=f2(x)有两个不等的实根，求实数a的范围.
(3)若f1(x)>f2(x－b)的解集为［－1，
］，求b的值.
8.(★★★★★)设函数f(x)=x 
的图象为C1，C1关于点A(2，1)对称的图象为C2，C2对应的函数为g(x).
(1)求g(x)的解析表达式；
(2)若直线y=b与C2只有一个交点，求b的值，并求出交点坐标；
(3)解不等式logag(x)<loga 
(0<a<1).
参考答案
难点磁场
解法一：观察f(x)的图象，可知函数f(x)的图象过原点，即f(0)=0,得d=0,又f(x)的图象过(1，0)，∴f(x)=a b c①,又有f(－1)＜0,即－a b－c＜0②,① ②得b＜0,故b的范围是(－∞,0)
解法二：如图f(0)=0有三根，∴f(x)=ax3 bx2 cx d=ax(x－1)(x－2)=ax3－3ax2 2ax,∴b=
－3a,∵a>0,∴b＜0.
歼灭难点练习
一、1.解析：∵y=bax=(ba)x,∴这是以ba为底的指数函数.仔细观察题目中的直线方程可知：在选择支B中a>0,b>1,∴ba>1,C中a＜0,b>1,∴0＜ba＜1,D中a＜0,0＜b＜1,∴ba>1.故选择支B、C、D均与指数函数y=(ba)x的图象不符合.
答案：A
2.解析：由题意可知，当x=0时，y最大，所以排除A、C.又一开始跑步，所以直线随着x的增大而急剧下降.
答案：D
二、3.解析：g(x)=2log2(x 2)(x>－2)
F(x)=f(x)－g(x)=log2(x 1)－2log2(x 2)
=log2 
∵x 1>0,∴F(x)≤ 
=－2
当且仅当x 1= 
,即x=0时取等号.
∴F(x)max=F(0)=－2.
答案：－2
三、4.解：(1)S△ABC=S梯形AA′B′B S梯形BB′C′C－S梯形AA′C′C.
(2)S=f(m)为减函数.
5.解：(1)依题意，设B(t,
t),A(－t,
t)(t>0),C(x0,y0).
∵M是BC的中点.∴ 
=1, 
=m.
∴x0=2－t,y0=2m－
t.在△ABC中，|AB|=2t,AB边上的高hAB=y0－
t=2m－3t.
∴S=
|AB|·hAB=
·2t·(2m－3t),即f(t)=－3t2 2mt,t∈(0,1).
(2)∵S=－3t2 2mt=－3(t－ 
)2 
,t∈(0,1 
,若 
，即
＜m≤3,当t=
时，Smax=
,相应的C点坐标是(2－
,
m),若
>1,即m>3.S=f(t)在区间(0，1］上是增函数，∴Smax=f(1)=2m－3,相应的C点坐标是(1，2m－3).
6.解：(1)y= 
－1的反函数为f(x)=lg 
(－1＜x＜1 
.
由已知得g(x)= 
,∴F(x)=lg
,定义域为(－1，1).
(2)用定义可证实函数u=
=－1 
是(－1，1）上的减函数，且y=lgu是增函数.∴f(x)是(－1，1）上的减函数，故不存在符合条件的点A、B.
7.解：(1）y=f(x)= 
.图略.
y=f(x)的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的表面积为(2 
)π.
(2)当f1(x a)=f2(x)有两个不等实根时，a的取值范围为2－
＜a≤1.
(3)若f1(x)>f2(x－b)的解集为［－1，
］，则可解得b= 
.
8.(1)g(x)=x－2 
.(2)b=4时，交点为(5，4)；b=0时，交点为(3，0).
(3)不等式的解集为{x|4＜x＜
或x>6 
.
|
