数学试题（理科）

一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分。在每个小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合M \* MERGEFORMAT ，则M \* MERGEFORMAT 　 （ ）

A． \* MERGEFORMAT B． \* MERGEFORMAT 　

C． \* MERGEFORMAT D． \* MERGEFORMAT

2．已知向量a \* MERGEFORMAT ，若向量 \* MERGEFORMAT 与 \* MERGEFORMAT 垂直，则 \* MERGEFORMAT 的值为 （ ）

A． \* MERGEFORMAT B．7 C． \* MERGEFORMAT D． \* MERGEFORMAT

3．设 \* MERGEFORMAT 且 \* MERGEFORMAT ，则 \* MERGEFORMAT 等于 （ ）

A． \* MERGEFORMAT B． \* MERGEFORMAT C． \* MERGEFORMAT D． \* MERGEFORMAT

4．已知直线 \* MERGEFORMAT 与 \* MERGEFORMAT 互相垂直，垂足为 \* MERGEFORMAT ，则 \* MERGEFORMAT 的值是 （ ）

A．24 B．20 C．0 D．－4

5．实数x，y满足不等式组 \* MERGEFORMAT 的取值范围是 （ ）

A． \* MERGEFORMAT B． \* MERGEFORMAT C． \* MERGEFORMAT D． \* MERGEFORMAT

7．设a，b，c表三条直线， \* MERGEFORMAT 表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是 （ ）

A． \* MERGEFORMAT ，若 \* MERGEFORMAT ，则 \* MERGEFORMAT

B． \* MERGEFORMAT ， \* MERGEFORMAT ，若 \* MERGEFORMAT ，则 \* MERGEFORMAT

C． \* MERGEFORMAT ，若 \* MERGEFORMAT ，则 \* MERGEFORMAT

D． \* MERGEFORMAT ， \* MERGEFORMAT 是 \* MERGEFORMAT 在 \* MERGEFORMAT 内的射影，若 \* MERGEFORMAT ，则 \* MERGEFORMAT

8．已知函数 \* MERGEFORMAT 图象上A处的切线与 \* MERGEFORMAT 的夹角为45 \* MERGEFORMAT ，则点A的横坐标是　　　　 （ ）

A．0 　　　 B．1　　 C．0或 \* MERGEFORMAT D．1或 \* MERGEFORMAT

9．已知双曲线 \* MERGEFORMAT ，被方向向量为 \* MERGEFORMAT 的直线截得的弦的中点为（4，1），则该双曲线离心率的值是 （ ）

A． \* MERGEFORMAT B． \* MERGEFORMAT C． \* MERGEFORMAT D． \* MERGEFORMAT

11．设正方体ABCD-A1B1C1D1中E，F分别是棱A1A，B1B中点，G为BC上一点，若C1F⊥EG，则 \* MERGEFORMAT 为　　　 （ ）

A．60 \* MERGEFORMAT B． \* MERGEFORMAT C．120 \* MERGEFORMAT D．150 \* MERGEFORMAT

12．已知A，B是抛物线 \* MERGEFORMAT 上的两个点，O为坐标原点，若 \* MERGEFORMAT 且 \* MERGEFORMAT 的垂心恰是抛物线的焦点，则直线AB的方程是 （ ）

A． \* MERGEFORMAT B． \* MERGEFORMAT 　 C． \* MERGEFORMAT D． \* MERGEFORMAT

13．圆 \* MERGEFORMAT 为参数）的标准方程是 ，过这个圆外一点P \* MERGEFORMAT 的该圆的切线方程是 。

14．若角 \* MERGEFORMAT ________________

15．已知m，n，m n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆 \* MERGEFORMAT _______

16．等差数列 \* MERGEFORMAT 的前 \* MERGEFORMAT 项和为 \* MERGEFORMAT ，且 \* MERGEFORMAT __________.

三、解答题：本题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明，证实过程或演算步骤。

17．（本题满分10分）

设有关于x的不等式 \* MERGEFORMAT \* MERGEFORMAT

（1） \* MERGEFORMAT

（2）当a为何值时，此不等式的解集为R（本题满分12分）

18．（本题满分10分）

已知角 \* MERGEFORMAT 为 \* MERGEFORMAT 的三个内角，其对边分别为 \* MERGEFORMAT ，若 \* MERGEFORMAT ， \* MERGEFORMAT ， \* MERGEFORMAT ，且 \* MERGEFORMAT ．

（1）若 \* MERGEFORMAT 的面积 \* MERGEFORMAT ，求 \* MERGEFORMAT 的值．

（2）求 \* MERGEFORMAT 的取值范围．

19．（本小题满分12分）

已知椭圆 \* MERGEFORMAT 是椭圆上纵坐标不为零的两点，若 \* MERGEFORMAT 其中F为椭圆的左焦点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求线段AB的垂直平分线在y轴上的截距的取值范围．

20．（本题满分12分）

（Ⅰ）证实：AE \* MERGEFORMAT 平面FCB；

（Ⅱ）求异面直线BD与AE所成角的余弦值

（Ⅲ）若M是棱AB的中点，在线段FD上是

否存在一点N，使得MN∥平面FCB？

证实你的结论．

21．（本题满分12分）

已知数列 \* MERGEFORMAT 的前 \* MERGEFORMAT 项和为 \* MERGEFORMAT ，对一切正整数 \* MERGEFORMAT ，点 \* MERGEFORMAT 都在函数 \* MERGEFORMAT 的图像上，且过点 \* MERGEFORMAT 的切线的斜率为 \* MERGEFORMAT ．

（1）求数列 \* MERGEFORMAT 的通项公式．

（2）若 \* MERGEFORMAT ，求数列 \* MERGEFORMAT 的前 \* MERGEFORMAT 项和 \* MERGEFORMAT ．

（3）设 \* MERGEFORMAT ，等差数列 \* MERGEFORMAT 的任一项 \* MERGEFORMAT ，其中 \* MERGEFORMAT 是 \* MERGEFORMAT 中的最小数， \* MERGEFORMAT ，求 \* MERGEFORMAT 的通项公式.

22．（本题满分14分）

过双曲线 \* MERGEFORMAT 的上支上一点 \* MERGEFORMAT 作双曲线的切线交两条渐近线分别于点 \* MERGEFORMAT .

（1）求证： \* MERGEFORMAT 为定值；

（2）若 \* MERGEFORMAT ，求动点 \* MERGEFORMAT 的轨迹方程.

参考答案

1.C 2.A 3.C 4.B 5.A 6.B 7.C 8.C 9.A 10.C 11.B 12.C

14． \* MERGEFORMAT 15． \* MERGEFORMAT 16．n=12

17．（本小题满分10分）

解： \* MERGEFORMAT 时，不等式可化为 \* MERGEFORMAT …………………………… 2分

由 \* MERGEFORMAT ……………………………………………..4分

\* MERGEFORMAT …………………………………………………………5分

\* MERGEFORMAT \* MERGEFORMAT …………………………………………………………….7分

欲使 \* MERGEFORMAT 恒成立，即 \* MERGEFORMAT 恒成立，

只须 \* MERGEFORMAT 即可 \* MERGEFORMAT \* MERGEFORMAT ……………………………………………………….. 10分

18．（本小题满分10分）

解：（1） \* MERGEFORMAT ， \* MERGEFORMAT ，且 \* MERGEFORMAT .

\* MERGEFORMAT ，即 \* MERGEFORMAT ，又 \* MERGEFORMAT ， \* MERGEFORMAT ………..2分

又由 \* MERGEFORMAT ， \* MERGEFORMAT

由余弦定理得： \* MERGEFORMAT

\* MERGEFORMAT ，故 \* MERGEFORMAT …………………………………………………. 5分

（2）由正弦定理得： \* MERGEFORMAT ，又 \* MERGEFORMAT ，

\* MERGEFORMAT ………………8分

\* MERGEFORMAT ，则 \* MERGEFORMAT .则 \* MERGEFORMAT ，即 \* MERGEFORMAT 的取值范围是 \* MERGEFORMAT …………………………………………………………………………………10分

19．（本小题满分12分）

（Ⅰ）由已知，得

\* MERGEFORMAT ………4分

（Ⅱ）∵A、B是椭圆上纵坐标不为零的点， \* MERGEFORMAT

∴A、F、B三点共线，且直线AB的斜率存在且不为0.

又F（－1，0），则可记AB方程为 \* MERGEFORMAT 并整理得

\* MERGEFORMAT ……………………………………6分

显然△>0，设 \* MERGEFORMAT

\* MERGEFORMAT ……………………8分

直线AB的垂直平分线方程为 \* MERGEFORMAT

令x=0，得 \* MERGEFORMAT ……………………………………10分

∵ \* MERGEFORMAT “=”号，

∴ \* MERGEFORMAT ，

所以所求的取值范围是 \* MERGEFORMAT ……………………………………12分

(1) \* MERGEFORMAT 平面ABCD \* MERGEFORMAT 平面ABEF,

且四边形ABCD与ABEF是矩形,

\* MERGEFORMAT AD \* MERGEFORMAT 平面ABEF, \* MERGEFORMAT AD \* MERGEFORMAT AE,

\* MERGEFORMAT BC∥AD \* MERGEFORMAT BC \* MERGEFORMAT AE

又FD=2,AD=1,所以AF=EF= \* MERGEFORMAT ,

所以四边形ABEF为正方形. \* MERGEFORMAT AE \* MERGEFORMAT FB,

又BF \* MERGEFORMAT BF \* MERGEFORMAT 平面BCF，BC \* MERGEFORMAT 平面BCF

所以AE \* MERGEFORMAT 平面BCF……………………………………………4分

(2)设BF \* MERGEFORMAT AE=O,取FD的中点为H,连接OH,在 \* MERGEFORMAT OH//BD,

\* MERGEFORMAT \* MERGEFORMAT HOF即为异面直线BD与AE所成的角(或补角),

在 \* MERGEFORMAT 中,OH=1,FH=1,FO= \* MERGEFORMAT , \* MERGEFORMAT cos \* MERGEFORMAT HOF= \* MERGEFORMAT

\* MERGEFORMAT 异面直线BD与AE所成的角的余弦值为 \* MERGEFORMAT ………………………….8分

(3)当N为FD的中点时, MN∥平面FCB

证实：取CD的中点G,连结NG，MG，MN，

则NG//FC,MG//BC,

又NG \* MERGEFORMAT 平面NGM，MG \* MERGEFORMAT 平面NGM且NG \* MERGEFORMAT MG=G

所以平面NGM//平面FBC,

\* MERGEFORMAT MN \* MERGEFORMAT 平面NGM

\* MERGEFORMAT MN//平面FBC……………………………………………………………12分

21．（本小题满分12分） 解：（1） \* MERGEFORMAT 点 \* MERGEFORMAT 都在函数 \* MERGEFORMAT 的图像上， \* MERGEFORMAT \* MERGEFORMAT ,

当 \* MERGEFORMAT 时， \* MERGEFORMAT

当ｎ＝1时， \* MERGEFORMAT 满足上式，所以数列 \* MERGEFORMAT 的通项公式为 \* MERGEFORMAT …….3分

（2）由 \* MERGEFORMAT 求导可得 \* MERGEFORMAT

\* MERGEFORMAT 过点 \* MERGEFORMAT 的切线的斜率为 \* MERGEFORMAT ， \* MERGEFORMAT .

\* MERGEFORMAT .

\* MERGEFORMAT ①

由①×4，得

\* MERGEFORMAT ②

①-②得：

\* MERGEFORMAT \* MERGEFORMAT

\* MERGEFORMAT ………………………………………………………………..7分

（3） \* MERGEFORMAT , \* MERGEFORMAT .

又 \* MERGEFORMAT ，其中 \* MERGEFORMAT 是 \* MERGEFORMAT 中的最小数， \* MERGEFORMAT .

\* MERGEFORMAT 是公差是4的倍数， \* MERGEFORMAT .

又 \* MERGEFORMAT ， \* MERGEFORMAT ,解得ｍ＝27.

所以 \* MERGEFORMAT ，

设等差数列的公差为 \* MERGEFORMAT ，则 \* MERGEFORMAT

\* MERGEFORMAT ，所以 \* MERGEFORMAT 的通项公式为 \* MERGEFORMAT …………12分

22．（本小题满分14分）

解：（1）设直线AB： \* MERGEFORMAT

由 \* MERGEFORMAT 得 \* MERGEFORMAT

\* MERGEFORMAT …………………………………….3分

\* MERGEFORMAT

…………………………………………………………………………………………….7分

（2） \* MERGEFORMAT ，所以四边形BOAM是平行四边形

\* MERGEFORMAT ……………………………………………………………….9分

\* MERGEFORMAT 　　　①

\* MERGEFORMAT 　　②

由①②及 \* MERGEFORMAT ……………………………………………..13分

\* MERGEFORMAT …………14分