广州市第87中学 赖青松

1．（北师大版第59页A组第2题）正弦定理与余弦定理

在 中，若 ，则 ．

A． B． C． D．

变式1：在 中，若 ， ， ，则 __________．

答案：1或3

变式2：在 中，若 ， ， ，则此三角形的周长为__________．

答案：

变式3：已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积．若a=4，b=5，S=5 ，求c的长度．

解：∵S＝ absinC，∴sinC＝ ，于是∠C＝60°或∠C＝120°

又∵c2＝a2＋b2－2abcosC，

当∠C＝60°时，c2＝a2＋b2－ab，c＝

当∠C＝120°时，c2＝a2＋b2＋ab，c＝

∴c的长度为 或

2．（北师大版第63页A组第6题）三角形中的几何计算

在 中， ， ， 的平分线交过点 且与 平行的线于点 ．求 的面积．

变式1：已知 的周长为 ，且 ．

（ = 1 \* ROMAN I）求边 的长；

（ = 2 \* ROMAN II）若 的面积为 ，求角 的度数．

解：（ = 1 \* ROMAN I）由题意及正弦定理，得 ，

，

两式相减，得 ．

（ = 2 \* ROMAN II）由 的面积 ，得 ，

由余弦定理，得

　　 ，

所以 ．

变式2：△ABC中， 则△ABC的周长为（ ）．

A． B．

C． D．

解：在 中，由正弦定理得： 化简得：AC=

，化简得：AB= ，

所以三角形△ABC的周长为：3 AC AB=3

=3

故选D

变式3：在 ，求（1） （2）若点

解：（1）由 得：

，

由正弦定理知: ，

（2） ，

由余弦定理知：

3．（北师大版第69页练习2第2题）解三角形的实际应用

　　　　某观察站B在城A的南偏西 的方向，由A出发的一条公路走向是南偏东 ，在B处测得公路上距B31km的C处有一人正沿公路向A城走去，走了20km之后到达D处，此时B，D间的距离为21km。这个人要走多少路才能到达A城？

变式1：如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向

立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30 ，

相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少

度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1 ）？

解析：连接BC,由余弦定理得：

BC2=202 102－2×20×10COS120°=700.

即BC=10

∵ ，

∴sin∠ACB= ，

∵∠ACB<90°，∴ ．

∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援．

变式2：如图，测量河对岸的塔高 时，可以选与塔底 在同一水平面内的两个测点 与 ．现测得 ，并在点 测得塔顶 的仰角为 ，求塔高 ．

解：在 中， ．

由正弦定理得： ．

所以 ．

在 中， ．

变式3：

，

，

又 ，

是等边三角形，

，

由已知， ，

，

在 中，由余弦定理，得：

．

．

因此，乙船的速度的大小为 （海里/小时）．

答：乙船每小时航行 海里．

解法二：如图，连结 ，由已知 ， ， ，

．

在 中，由余弦定理，

．

．

由正弦定理，得：

，

，即 ，

．

在 中，由已知 ，由余弦定理，得：

．

，

乙船的速度的大小为 海里/小时．

答：乙船每小时航行 海里．

4．（北师大版第60页A组第4题）三角函数图像变换

将函数 的图像作怎样的变换可以得到函数 的图像？

变式1：将函数 的图像作怎样的变换可以得到函数 的图像？

解：（1）先将函数 图象上各点的纵坐标扩大为原来的2倍（横坐标不变），即可得到函数 的图象；

（2）再将函数 上各点的横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变），得到函数 的图象；

（3）再将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象．

变式2：将函数 的图像作怎样的变换可以得到函数 的图像？

解：（1）先将函数 图象上各点的纵坐标缩小为原来的 （横坐标不变），即可得到函数 的图象；

（2）再将函数 上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 的图象；

（3）再将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象．

变式3：将函数 的图像作怎样的变换可以得到函数 的图像？

解：

另解：

（1）先将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象；

（2）再将函数 上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 的图象；

（3）再将函数 图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到函数 的图象．

5．（北师大版第60页B组第1题）三角函数图像

函数 一个周期的图像如图所示，试确定A， 的值．

变式1：已知简谐运动 的图象经过点 ，则该简谐运动的最小正周期 和初相 分别为（　　）

Ａ． ， Ｂ． ，

Ｃ． ， Ｄ． ，

答案选A

变式2：函数 在区间 的简图是（　　）

答案选A

求 和 的值．

解：将 ， 代入函数 得：

，

因为 ，所以 ．

又因为 ， ， ，所以 ，

因此 ．

6．（北师大版第60页A组第6题）三角函数性质

求下列函数的最大、最小值以及达到最大(小)值时 的值的集合．

(1) ； (2)

变式1：已知函数 在区间 上的最小值是 ，则 的最小值等于 （ ）

（A） 　　　　（B） 　　　　（C）2　　　　（D）3

答案选B

变式2：函数y=2sinx的单调增区间是（ ）

A．［2kπ－ ，2kπ＋ ］（k∈Z）

B．［2kπ＋ ，2kπ＋ ］（k∈Z）

C．［2kπ－π，2kπ］（k∈Z）

D．［2kπ，2kπ＋π］（k∈Z）

答案选A．因为函数y=2x为增函数，因此求函数y=2sinx的单调增区间即求函数y=sinx的单调增区间．

变式3：关于x的函数f（x）=sin（x ）有以下命题：

①对任意的 ，f（x）都是非奇非偶函数；

②不存在 ，使f（x）既是奇函数，又是偶函数；

③存在 ，使f（x）是奇函数；

④对任意的 ，f（x）都不是偶函数。

其中一个假命题的序号是_____.因为当 =_____时，该命题的结论不成立。

答案：①，kπ（k∈Z）；或者①， kπ（k∈Z）；或者④， kπ（k∈Z）

解析：当 =2kπ，k∈Z时，f（x）=sinx是奇函数．当 =2（k 1）π，k∈Z时f（x）=－sinx仍是奇函数．当 =2kπ ，k∈Z时，f（x）=cosx，或当 =2kπ－ ，k∈Z时，f（x）=－cosx，f（x）都是偶函数．所以②和③都是正确的．无论 为何值都不能使f（x）恒等于零．所以f（x）不能既是奇函数又是偶函数．①和④都是假命题．

7．（北师大版第66页B组第2题）同角三角函数的基本关系

已知 ，求 ．

变式1：已知 ，求 的值．

解：∵ ，

∴

即

∴ 当 时， ；

当 时， ．

变式2：已知 ，那么角 是（　　）．

Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角

Ｃ．第三或第四象限角 Ｄ．第一或第四象限角

答案选C．

变式3： 是第四象限角， ，则 （ ）．

A． B． C． D．

答案选D．

8．（北师大版第132页A组第4题）两角和与差及二倍角的三角函数

已知 ， ，求 ， 的值．

变式1：在 中，已知 ， ， ．

（Ⅰ）求 的值；

（Ⅱ）求 的值．

（Ⅰ）解：在 中， ，

由正弦定理， ．

所以 ．

（Ⅱ）解：因为 ，所以角 为钝角，从而角 为锐角，

于是 ，

，

．

∴

．

变式2：在 中， ， ．

（Ⅰ）求角 的大小；

（Ⅱ）若 最大边的边长为 ，求最小边的边长．

解：（Ⅰ） ，

．

又 ， ．

（Ⅱ） ，

边最大，即 ．

又 ，

角 最小， 边为最小边．

由 且 ，

得 ．由 得： ．

所以最小边 ．

变式3：已知 ，且 ,

(Ⅰ)求 的值；

（Ⅱ）求 .

解：（Ⅰ）由 ，得

∴ ，于是

（Ⅱ）由 ，得

又∵ ，∴

由 得：

所以 ．

9．（北师大版第144页A组第1题）三角函数的简单应用

电流I随时间t 变化的关系式 ， ，设 ， ．

(1) 求电流I变化的周期；

(2) 当 (单位 )时，求电流I．

变式1：已知电流I与时间t的关系式为 ．

（１）右图是 （ω＞0， ）

在一个周期内的图象，根据图中数据求 的解析式；

（２）假如t在任意一段 秒的时间内，电流 都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？

解:（１）由图可知 A＝300．

设t1＝－ ，t2＝ ，

则周期T＝2（t2－t1）＝2（ ＋ ）＝ ．

∴ ω＝ ＝150π．

又当t＝ 时，I＝0，即sin（150π· ＋ ）＝0，

而 ， ∴ ＝ ．

故所求的解析式为 ．

（２）依题意，周期T≤ ，即 ≤ ，（ω>0）

∴ ω≥300π＞942，又ω∈N*，

故最小正整数ω＝943．

满足函数y=Asin（ωx＋ ）＋b.

（Ⅰ）求这段时间的最大温差；

（Ⅱ）写出这段曲线的函数解析式．

解：（1）由题中图所示，这段时间的最大温差是：

30－10＝20（℃）.

（2）图中从6时到14时的图象是函数y=Asin（ωx＋ ）＋b的半个周期的图象，

∴ · ＝14－6，解得ω＝ .

由图示，A＝ （30－10）＝10，b＝ （30＋10）＝20.

这时y=10sin（ x＋ ）＋20.

将x=6，y=10代入上式，可取 ＝ .

综上，所求的解析式为y=10sin（ x＋ ）＋20，x∈［6，14］

变式3：如图，单摆从某点给一个作用力后开始往返摆动，

离开平衡位置O的距离s厘米和时间t秒的函数关系

为 .

（1）单摆摆动5秒时，离开平衡位置多少厘米？

（2）单摆摆动时，从最右边到最左边的距离为多少厘米？

（3）单摆往返摆动10次所需的时间为多少秒？

10．（北师大版第150页B组第6题）三角恒等变换

化简： ．

变式1：函数y＝ 的最大值是（ ）．

A. －1 B. ＋1 C.1－ D.－1－

答案选B

变式2：已知 ，求 的值．

解：∵ ，

∴

即 ．

变式3：已知函数 ， ．求 的最大值和最小值．

解：

．

又 ， ，即 ，

．