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高考理科数学联考试卷
一、填空题（本大题满分44分，共11题，每题4分，只要求直接填写结果）
1、已知： 
（其中 
、 
为实数， 
为虚数单位）。则 
；
2、若 
， 
，则 
；
3、已知： 
， 
，且 
与 
平行，则 
；
4、已知 
， 
的最小值为 ；
5、在一个袋子里有10个红球和2个白球，现从中随机拿出3个，则其中至少有一个白球的概率是
（用分数表示）；
6、参数方程 
（ 
为参数方程）所表示的曲线的焦点的直角坐标是 ；
7、经过点A 
，（ 
），且与极轴正方向夹角为 
的直线的极坐标方程为 ；
8、若直线 
（ 
），始终平分圆 
的周长，则 
的最大值为 ；
9、已知：函数 
（ 
）在区间 
上单调递减，则实数
取值范围是 ；
10、数列 
是等差数列，前 
项和为 
， 
， 
，则过点 
， 
的直线斜率为 ；
11、设集合 
，若 
，则把 
的所有元素的乘积称为
的容量（若
中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）。若
的容量为奇（偶）数，则称为奇（偶）子集。若 
，则
的所有奇子集的容量之和为 ；
二、选择题（本大题满分16分，共4题，每题有且仅有一个正确答案）
12、 
的必要非充分条件是……………………………………………………………（ ）
A、 
B、 
C、 
D、 
13、已知： 
，且 
，则 
……………………………（ ）
A、 
B、 
C、 
D、 
14、直线
在平面 
内，则“平面
∥平面 
”是“直线
∥在平面
”的…………（ ）
A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分也非必要条件
15、函数 
的反函数图像向左平移一个单位得到曲线 
，函数 
的图像与曲线
关于 
成轴对称，则
等于…………………………………………………………（ ）
A、 
B、 
C、 
D、 
三、解答题
16、（本题满分12分，第1小题8分，第2小题4分）
若复数 
（ 
），且 
，
是虚数单位
（1）求复数 
；
（2）求 
。、
17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知：正方体 
的棱长为2，点 
分别在底面正方形的边 
、 
上，且 
，点 
是棱 
的中点。
（1）在图中画出经过三点正方体 
的截面，并保留作图痕迹；
（2）求（1）中的截面与底面 
所成锐二面角的大小；
18、（本题满分14分，第1小题4分，第2小题10分）
数列 
的前
项和 
（ 
）
（1）求数列
的通项；
（2）数列 
满足 
， 
（
），求
的通项及前
项和 
；
19、（本题满分16分，第1小题8分，第2小题8分）
已知：某型号进口仪器每台降价 
成（1成为 
），那么售出数量就增加 
成（ 
常数）
（1）当某商场现在定价为每台
元，售出
台，试建立降价后的营业额 
与每台降价
成的函数关系式，并求出 
时，每台降价多少成时，营业额
最大？
（2）为使营业额增加，求 
的取值范围。
20、（本题满分16分，第1小题8分，第2小题8分）
设
是定义在 
上的偶函数，图像关于直线 
对称，且对 
，有 
（1）设 
，探求 
的值；
（2）求证：
是以2为周期的函数，并将该命题加以推广。
21、（本题满分18分，第1小题4分，第2小题8分，第3小题6分）
已知：一椭圆两焦点坐标分别为 
、 
，且椭圆上一点 
到两焦点的距离和为4
（1）求该椭圆的方程；
（2）设点 
在椭圆上，且 
，试把 
表示为 
的函数 
；
（3）试证：方程 
至多只有一个实数根。
参考答案
一、填空题（本大题满分44分，共11题，每题4分，只要求直接填写结果）
1、已知：
（其中
、
为实数，
为虚数单位）。则
2 ；
2、若
，
，则
12 ；
3、已知：
，
，且
与
平行，则
；
4、已知
，
的最小值为 
；
5、在一个袋子里有10个红球和2个白球，现从中随机拿出3个，则其中至少有一个白球的概率是 
（用分数表示）；
6、参数方程
（
为参数方程）所表示的曲线的焦点的直角坐标是 
；
7、经过点A
，（
），且与极轴正方向夹角为
的直线的极坐标方程为 
；
8、若直线
（
），始终平分圆
的周长，则
的最大值为 
；
9、已知：函数
（
）在区间
上单调递减，则实数
取值范围是 
；
10、数列
是等差数列，前
项和为
，
，
，则过点
，
的直线斜率为 2 ；
11、设集合
，若
，则把
的所有元素的乘积称为
的容量（若
中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）。若
的容量为奇（偶）数，则称为奇（偶）子集。若
，则
的所有奇子集的容量之和为 7 ；
二、选择题（本大题满分16分，共4题，每题有且仅有一个正确答案）
12、
的必要非充分条件是……………………………………………（A ）
A、
B、
C、
D、
13、已知：
，且
，则
……………………………（ D ）
A、
B、
C、
D、
14、直线
在平面
内，则“平面
∥平面
”是“直线
∥在平面
”的…………（ A ）
A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分也非必要条件
15、函数
的反函数图像向左平移一个单位得到曲线
，函数
的图像与曲线
关于
成轴对称，则
等于…………………………………………………………（A ）
A、
B、
C、
D、
三、解答题
16、（本题满分12分，第1小题8分，第2小题4分）
若复数
（
），且
，
是虚数单位
（1）求复数
；
（2）求
。、
(1) 
(2) 
。
17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知：正方体
的棱长为2，点
分别在底面正方形的边
、
上，且
，点
是棱
的中点。
（1）在图中画出经过三点正方体
的截面，并保留作图痕迹；
 （2）求（1）中的截面与底面
所成锐二面角的大小；
18、（本题满分14分，第1小题4分，第2小题10分）
数列
的前
项和
（
）
（1）求数列
的通项；
（2）数列
满足
，
（
），求
的通项及前
项和
；
19、（本题满分16分，第1小题8分，第2小题8分）
已知：某型号进口仪器每台降价
成（1成为
），那么售出数量就增加
成（
常数）
（1）当某商场现在定价为每台
元，售出
台，试建立降价后的营业额
与每台降价
成的函数关系式，并求出
时，每台降价多少成时，营业额
最大？
解： 
当 
时，x＝1，营业额最大，降价1成时。
（2）为使营业额增加，求
的取值范围。
解：为使营业额增加， 
20、（本题满分16分，第1小题8分，第2小题8分）
设
是定义在
上的偶函数，图像关于直线
对称，且对
，有
（1）设
，探求
的值；
（2）求证：
是以2为周期的函数，并将该命题加以推广。
21、（本题满分18分，第1小题4分，第2小题8分，第3小题6分）
已知：一椭圆两焦点坐标分别为
、
，且椭圆上一点
到两焦点的距离和为4
（1）求该椭圆的方程；
（2）设点
在椭圆上，且
，试把
表示为
的函数
；
（3）试证：方程
至多只有一个实数根。
解：（1）该椭圆的方程 
；
（2）
（3）（反证法） 
假如至少存在两个不相等的实数 
，不妨设 
上为减函数， 
上为减函数。
故 
，这与 
相矛盾。因此，满足方程
至多只有一个实数根。
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