本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时l20分钟。

注重事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式 ，其中 是锥体的底面积， 是锥体的高．

假如事件 、 互斥，那么 ．

假如事件 、 相互独立，那么 ．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的。

1．若 （i为虚数单位），则使 的 值可能是

A．0 B． C． D．

2．设全集U=R，A= ，则右图中阴

影部分表示的集合为

A． B． C． D．

3．下列函数中，在区间 上为增函数且以 为周期的函数是

A． B． C． D．

4．在等比数列 中， 则

．3 ． ．3或 ． 或

5. 一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为 ，则判定框中应填入的条件是

A. B. C. D.

6．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为 ，得2分的概率为 ，不得分的概率为 （ 、 、 ），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则 的最大值为

A． B． C． D．

7．若不等式组 表示的平面区域是一个三角形，则 的取值范围是

Ａ． 或 Ｂ． Ｃ． Ｄ．

8．设 是定义在正整数集上的函数，且 满足：“当 成立时，总可推 出 成立”．那么，下列命题总成立的是

Ａ．若 成立，则当 时，均有 成立

Ｂ．若 成立，则当 时，均有 成立

Ｃ．若 成立，则当 时，均有 成立

Ｄ．若 成立，则当 时，均有 成立

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计算前两题得分．

9. 统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样

本频率分布直方图如右图示，规定不低于60分为

及格，不低于80分为优秀，则及格人数是 ；

优秀率为 。

10．从编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的十个外形大小相同的球中，任取3个球，则这3个球编号之和为奇数的概率是________.

11．直角坐标系 中， 分别是与 轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC中，若 ， ，且∠C=90°则 的值是 ;

12．已知一几何体的三视图如下，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）．

①矩形；

②不是矩形的平行四边形；

③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；

④每个面都是等腰三角形的四面体；

⑤每个面都是直角三角形的四面体．

13．(坐标系与参数方程选做题) 极坐标系中，曲线 和 相交于点 ，则 ＝ ；

14．(不等式选讲选做题)若 的最小值为3,

则实数 的值是________.

15. （几何证实选讲选做题）如图，PA切 于点A，割线

PBC经过圆心O，OB=PB=1, OA绕点O逆时针旋转60°到OD，

则PD的长为 .

三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证实过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

如图某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A、B，观察对岸的点C,测得 ， ,且 米。

（1）求 ；

（2）求该河段的宽度。

17. （本小题满分14分）

在三棱锥 中， , .

(1) 求三棱锥 的体积；

(2) 证实: ;

(3) 求异面直线SB和AC所成角的余弦值。

18．（本小题满分14分）

设动点 到定点 的距离比它到 轴的距离大1，记点 的轨迹为曲线 .

（1）求点 的轨迹方程；

（2）设圆 过 ，且圆心 在曲线 上， 是圆 在 轴上截得的弦，试探究当 运动时，弦长 是否为定值？为什么？

如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米，

（1） 要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？

（2） 若|AN| （单位：米），则当AM、AN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积．

20．（本小题满分14分）

已知数列 满足 ，且 。

（1）求数列 的通项公式；

(2) 证实 ；

（3）数列 是否存在最大项？若存在最大项，求出该项和相应的项数；若不存在，说明理由。

21.（本小题满分14分）

已知二次函数 .

（1）若 ，试判定函数 零点个数；

(2)若对 且 ， ，试证实 ，使 成立。

(3)是否存在 ，使 同时满足以下条件①对 ，且 ；②对 ,都有 。若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由。

数学试题(理科)参考答案及评分说明

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，假如考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，假如后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；假如后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．

一．选择题：BBDC DDAD

1．将各选项代入检验易得答案选B.

2． ，图中阴影部分表示的集合为 ,选B.

3．由函数以 为周期，可排除A、B，由函数在 为增函数，可排除C,故选D。

4． 或

或 ，故选C。

5．该程序的功能是求和 ,因输出结果 ，故选D.

6．由已知得 即

，故选D.

7．如图：易得答案选A.

8．若 成立，依题意则应有当 时，均有 成立，故A不成立,

若 成立，依题意则应有当 时，均有 成立，故B不成立,

因命题“当 成立时，总可推 出 成立”． “当 成立时，总可推出 成立”．因而若 成立，则当 时，均有 成立 ，故C也不成立。对于D，事实上 ，依题意知当 时，均有 成立，故D成立。

二．填空题：9.800、20％；10. ；11. 3；12. ①③④⑤；13. ；14. 2或8；15.

9. 由率分布直方图知，及格率＝ ＝80％，

及格人数＝80％×1000＝800，优秀率＝ ％.

10．解一：任取3个球有C 种结果，编号之和为奇数的结果数为C C C =60，故所求概率为 .

解二：十个球的编号中，恰好有5个奇数和5个偶数，从中任取3个球，3个球编号之和为奇数与3个球编号之和为偶数的机会是均等的，故所求概率为 .

11．由平面向量的坐标表示可得：

由 ，得 .

12．由三视图知该几何体是底面为正方形的长方体，

显然①可能，②不可能，③④⑤如右图知都有可能。

13．在平面直角坐标系中，曲线 和 分别表示圆 和直线 ，易知 ＝

14． 由 ，得 或8

15．解法1：∵PA切 于点A，B为PO中点，

∴AB=OB=OA, ∴ ,∴ ,在△POD中由余弦定理

得 =

∴ .

解法2：过点D作DE⊥PC垂足为E，∵ ，∴ ,可得 , ,在 中，∴

三．解答题：

16．解：（1）

------------------------4分

（2）∵ ，

∴ ,

由正弦定理得：

∴ ------------6分

如图过点B作 垂直于对岸，垂足为D,则BD的长就是该河段的宽度。

在 中，∵ , ------------8分

∴ ＝

（米）

∴该河段的宽度 米。---------------------------12分

17．(1)解：∵

∴ 且 ,

∴ 平面 ------------ ----------------2分

在 中， ,

中，

∵ ,

∴ .--------------4分

(2)证法1：由（1）知SA=2, 在 中， ---6分

∵ ,∴ -------------------8分

证法2：由（1）知 平面 ，∵ 面 ，

∴ ,∵ , ,∴ 面

又∵ 面 ，∴

(3) 解法1：分别取AB、SA、 BC的中点D、E、F，

连结ED、DF、EF、AF，则 ,

∴ （或其邻补角）就是异面直线SB和AC所成的角----------10分

∵

在 中，

∴ ,

在 中，

在△DEF中，由余弦定理得

∴异面直线SB和AC所成的角的余弦值为 -------------------------14分

解法2：以点A为坐标原点，AC所在的直线为y轴建立空间直角坐标系如图

则可得点A(0,0,0),C(0,1,0),B

∴

设异面直线SB和AC所成的角为

则

∴异面直线SB和AC所成的角的余弦值为 。

18．解：（1）依题意知，动点 到定点 的距离等于 到直线 的距离，曲线 是以原点为顶点， 为焦点的抛物线………………………………2分

　　　　∵ ∴ 　

∴　曲线 方程是 ………4分

（2）设圆的圆心为 ，∵圆 过 ，

∴圆的方程为　 　……………………………7分

令 得： 　　

设圆与 轴的两交点分别为 ，

方法1：不妨设 ，由求根公式得

， …………………………10分

∴

又∵点 在抛物线 上，∴ ，

∴　 ，即 ＝4--------------------------------------------------------13分

∴当 运动时，弦长 为定值4…………………………………………………14分

　〔方法2：∵ ， 　

∴

　又∵点 在抛物线 上，∴ ， ∴　 　

∴当 运动时，弦长 为定值4〕

19.解：设AN的长为x米（x >2）

∵ ，∴|AM|＝

∴SAMPN＝|AN|•|AM|＝ ------------------------------------- 4分

（1）由SAMPN > 32 得 > 32 ，

∵x >2，∴ ，即（3x－8）（x－8）> 0

∴ 即AN长的取值范围是 ----------- 8分

（2）令y＝ ，则y′＝ -------------- 10分

∵当 ，y′< 0，∴函数y＝ 在 上为单调递减函数，

∴当x＝3时y＝ 取得最大值，即 （平方米）

此时|AN|＝3米，|AM|＝ 米 ---------------------- 12分

20．解：（1）由 得 ----------------------------------------1分

由一元二次方程求根公式得 ---------------------------3分

∵

∴ ---------------------------------------------4分

(2) ∵

∴

＝ ------------------------------------------------------------6分

∵

∴ ------------------------------------------------------------------------8分

（其它证法请参照给分）

（3）解法1：∵

∴

＝-------------------------------------------------10分

∵ ,∴

∴ ，∵

∴ 即

∴数列 有最大项，最大项为第一项 。---------- -14分

〔解法2：由 知数列 各项满足函数

∵

当 时，

∴当 时 ，即函数 在 上为减函数

即有

∴数列 有最大项，最大项为第一项 。]

21．解：

（1）

---------------2分

当 时 ，函数 有一个零点；--------------3分

当 时， ，函数 有两个零点。------------4分

（2）令 ，则

，

在 内必有一个实根。即 ，使 成立。------------8分

（3） 假设 存在，由①知抛物线的对称轴为x＝－1，且

∴

-------------------------10分

由②知对 ,都有

令 得

由 得 ，-------------------------------12分

当 时， ，其顶点为（－1，0）满足条件①，又 对 ,都有 ，满足条件②。

∴存在 ，使 同时满足条件①、②。------------------------------14分