A

B

M

P (2,0)

y

0

例1：已知直线 过点P（2，0），斜率为 ，直线

和抛物线 相交于A、B两点，

设线段AB的中点为M,求：

(1)P、M两点间的距离|PM|；

(2)M点的坐标；

(3)线段AB的长|AB|

解：(1)∵直线 过点P（2，0），斜率为 ,设直线的倾斜角为 ，tg =

cos = , sin = ∴直线 的标准参数方程为 （t为参数）*

∵直线 和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程 中，

整理得 8t2－15t－50＝0 Δ=152 4×8×50>0,设这个二次方程的两个根为t1、t2,由韦达定理得 t1＋t2＝ , t1t2＝ ，由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得| PM|＝ ＝

∵中点M所对应的参数为t M= ,将此值代入直线的标准参数方程*，

M点的坐标为 即 M（ ， ）

(1) |AB|＝∣t 2－t 1∣＝ ＝

点拨：利用直线 的标准参数方程中参数t的几何意义，在解决诸如直线 上两点间的距离、直线 上某两点的中点以及与此相关的一些问题时，比用直线 的普通方程来解决显得比较灵活和简捷.

例2：已知直线 经过点P（1,－3 ）,倾斜角为 ，

(1)求直线 与直线 ： 的交点Q与P点的距离| PQ|；

(2)求直线 和圆 ＝16的两个交点A，B与P点的距离之积.

解：(1)∵直线 经过点P（1,－3 ）,倾斜角为 ,∴直线 的标准参数方

程为 ，即 （t为参数）代入直线 ：

得 整理，解得t=4 2

t=4 2 即为直线 与直线 的交点Q所对应的参数值，根据参数t的几

何意义可知：|t|=| PQ|,∴| PQ|=4 2 .

(2) 把直线 的标准参数方程为 （t为参数）代入圆的方程

＝16，得 ,整理得：t2－8t 12=0，

Δ=82-4×12>0,设此二次方程的两个根为t1、t2 则t1t2=12

根据参数t的几何意义，t1、t2 分别为直线和圆 ＝16的两个交点

A, B所对应的参数值，则|t1|=| PA|,|t2|=| PB|,

所以| PA|·| PB|=|t1 t2|=12

点拨：利用直线标准参数方程中的参数t的几何意义解决距离问题、距离的乘积（或商）的问题，比使用直线的普通方程，与另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便.

例3：设抛物线过两点A(－1,6)和B(－1,－2)，对称轴与 轴平行，开口向右，

直线y=2 7被抛物线截得的线段长是4 ，求抛物线方程.

解：由题意，得抛物线的对称轴方程为y=2.设抛物线顶点坐标为（ ，2）

方程为(y―2)2=2P(x－ ) (P>0) ①

∵点B(－1,－2)在抛物线上，∴(―2―2)2=2P(－1－ )

P=－8－P 代入① 得(y―2)2=2P ＋2P 16 ②

将直线方程y=2 7化为标准的参数方程tg =2, 为锐角，

cos = , sin = 得 （t为参数） ③

∵直线与抛物线相交于A，B, ∴将③代入②并化简得：

＝0 ，由Δ= >0,可设方程的两根为t1、t2，

又∵|AB|=∣t 2－t 1∣＝ ＝4

=(4 )2 化简，得(6－P)2=100

∴ P=16 或P=-4(舍去) 所求的抛物线方程为(y―2)2=32 ＋48

点拨：(1)（对称性） 由两点A(－1,6)和B(－1,－2)的对称性及抛物线的对称性质，设出抛物线的方程（含P一个未知量，由弦长AB的值求得P）.

(2)利用直线标准参数方程解决弦长问题.此题也可以运用直线的普通方程与抛物线方程联立后，求弦长。对于有些题使用直线的参数方程相对简便些.

例4：已知椭圆 ，AB是通过左焦点F1的弦，F2为右焦点，

求| F2A|·| F2B|的最大值.

解：由椭圆方程知 ＝2，b= ,c=1, F1(0,0),F2(2,0),设过的弦所在直线的

参数方程为 （t为参数） 代入椭圆方程整理得

（3＋sin2 ）t2－6 t cos －9=0 ，Δ=36cos2 ＋36（3＋sin2 ）>0

此方程的解为t1、t2，分别为A、B两点

对应的参数，由韦达定理t1＋t2= t1 t2＝

根据参数t的几何意义，t1、t2 分别为过点F1的直线和椭圆的两个交点

A, B所对应的参数值，| F1A|＝|t1| |F1B|＝|t2|

|AB|=∣t 2－t 1∣＝ ＝

| F1A|·|F1B|＝|t1|·|t2|=|t1t2|

由椭圆的第一定义| F1A|＋| F2A|＝2 ＝4， | F1B| | F2B|=2 ＝4

| F2A|·| F2B|=(4-| F1A|)(4-| F1B|)=16-4|AB| | F1A|·|F1B|

=16-4∣t 2－t 1∣ |t1t2|=16-4 =16-

当sin2 ＝1时，| F2A|·| F2B|有最大值

点拨：求过定点的直线与圆锥曲线相交的距离之积，利用直线的参数方程解

题，此题中两定点F1(0,0),F2(2,0),显然F1坐标简单，因此选择过F1

的直线的参数方程，利用椭圆的定义将| F2A|·| F2B| 转化为| F1A|·|F1B|.

方法总结：利用直线 的参数方程 （t为参数），给研究直线与圆锥曲线C：F( )=0的位置关系提供了简便的方法.

一般地，把 的参数方程代入圆锥曲线C：F( )=0后，可得一个关于t 的一元二次方程， =0,

1、(1)当Δ<0时， 与C相离；(2) 当Δ＝0时， 与C相切；(3) 当Δ>0时，

与C相交有两个交点；

2、当Δ>0时，方程 =0的两个根分别记为t1、t2，把t1、t2分别代入 的参数方程即可求的 与C的两个交点A和B的坐标.

3、定点M0( )是弦AB中点 t1 t2=0

4、 被C截得的弦AB的长|AB|＝|t1－t2|；M0A·M0B= t1·t2；弦AB中点M点对应的参数为 ；| M0M |=