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二.填空题 (每小题5分,共25分) 11. 已知抛物线y2=a(x 1)的准线方程是x= -3,那么抛物线的焦点坐标是______. 12. 给出下列图象 SHAPE \* MERGEFORMAT
![]() ![]() 其中可能为函数f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R)的图象的是_____. 13. 已知f(x)=ax(a>1),g(x)=bx(b>1),当f(x1)=g(x2)=2时, 有x1>x2,则a,b的大小关系是 . 14. 正三棱锥P-ABC的四个顶点同在一个半径为2的球面上,若正三棱锥的侧棱长为2 eq \r(3),则正三棱锥的底面边长是____________. 15. 设正数数列{an}的前n项和为Sn,且存在正数t,使得对于所有自然数n,有 三.解答题 (共75分) 16. 已知a=(cos 17. 一个医生已知某种病患者的痊愈率为25%,为试验一种新药的效果,把它给10个 病人服用,且规定若10个病人中至少有4个被治好,则认为这种试验有效;反之, 则认为试验无效。若服用新药后,病患者的痊愈率提高,则认为新药有效;反之, 则认为新药无效.试求: (I)虽新药有效,且把痊愈率提高到35%,但通过试验被否定的概率. (II)新药完全无效,但通过试验被认为有效的概率.(精确到0.001) 18. 在Rt△ABC中,∠ACB=30°,∠B=90°,D为AC中点,E为BD的中点,AE的延长线交 BC于F,将△ABD沿BD折起,二面角A-BD-C大小记为θ.
(Ⅱ)θ为何值时,AB⊥CD. 19. 20. 已知动圆过定点P(1,0),且与定直线L:x=-1相切,点C在l上. (1)求动圆圆心的轨迹M的方程; (i)问:△ABC能否为正三角形?若能,求点C的坐标;若不能,说明理由 (ii)当△ABC为钝角三角形时,求这种点C的纵坐标的取值范围. 21. (1)求证:函数y=f(x)的图象关于点(0.5,-0.5)对称; (2)求f(-2) f(-1) f(0) f(1) f(2) f(3)的值; 参考答案 一.选择题
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
| 10
| C
| B
| A
| D
| D
| B
| B
| B
| C
| D |
3. 交点的个数个数等于在x、y各取两点构成的四边形的个数
二.填空题
11. (1,0)
12. ①③
13. a<b
14. 3
15.
三.解答题
16. (1)由题意得:a+b=(cos α+cos β,sin α+sin β)
a-b=(cos α-cos β, sin α-sin β) 3分
∴(a+b)·(a-b)=(cos α+cos β)(cos α-cos β)+(sin α+sin β)(sin α-sin β)
=cos2α-cos2β+sin2α-sin2β=1-1=0
∴a+b 与a-b互相垂直. 6分
(2) 方法一:ka+b=(kcos α+cos β,ksin α+sin β),
a-kb=(cos α-kcos β, sin α-ksin β) 8分
| ka+b |=
由题意,得4cos (β-α)=0,因为0<α<β<π ,所以β-α=
方法二:由| ka+b |=| a-kb |得:| ka+b |2=| a-kb |2
即(ka+b )2=( a-kb )2,k2| a |2+2ka×b+| b |2=| a |2-2ka×b+k2| b |2 8分
由于| a |=1,| b |=1
∴k2+2ka×b+1=1-2ka×b+k2,故a×b=0,
即(cos
Þ
因为0<α<β<π ,所以β-α=
17. (I)0.514 (II)0.224
18. (Ⅰ)证实:在Rt△ABC中,∠C=30°,D为AC的中点,则△ABD是等边三角形
又E是BD的中点,∵BD⊥AE,BD⊥EF,折起后,AE∩EF=E,∴BD⊥面AEF
∵BD
(Ⅱ)解:过A作AP⊥面BCD于P,则P在FE的延长线上,设BP与CD相交于Q,
令AB=1,则△ABD是边长为1的等边三角形,若AB⊥CD,则BQ⊥CD
由于∠AEF=θ就是二面角A-BD-C的平面角,
19. 设
20. (1)依题意,曲线M是以点P为焦点,直线l为准线的抛物线,所以曲线M的方程为y2=4x.
假设存在点C(-1,y),使△ABC为正三角形,则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|,即
因此,直线l上不存在点C,使得△ABC是正三角形.
(ii)解法一:设C(-1,y)使△ABC成钝角三角形,
∠CAB为钝角.
该不等式无解,所以∠ACB不可能为钝角.
因此,当△ABC为钝角三角形时,点C的纵坐标y的取值范围是:
解法二: 以AB为直径的圆的方程为:
当直线l上的C点与G重合时,∠ACB为直角,当C与G 点不重合,且A,
B,C三点不共线时, ∠ACB为锐角,即△ABC中∠ACB不可能是钝角.
因此,要使△ABC为钝角三角形,只可能是∠CAB或∠CBA为钝角.
A,B,C三点共 线,不构成三角形.
因此,当△ABC为钝角三角形时,点C的纵坐标y的取值范围是:
21. (1)设P(x,y)是y=f(x)的图象上任意一点,
关于(0.5,-0.5)对称点的坐标为:(1-x,-1-y)
∴-1-y=f(1-x),即函数y=f(x)的图象关于点(0.5,-0.5)对称.
(2)由(Ⅰ)有f(1-x)=-1-f(x)即f(x) f(1-x)= -1
∴f(-2) f(3)=-1,f(-1) f(2)=-1,f(0) f(1)= -1
则f(-2) f(-1) f(0) f(1) f(2) f(3)=-3
下面用数学归纳法证实
当n=1时,左=3,右=1,3>1不等式成立
当n=2时,左=9,右=4,9>4不等式成立
令n=k(k≥2)不等式成立即3k>k2
则n=k+1时,左=3k+1=3·3k>3·k2
右=(k+1)2=k2+2k+1
∵3k2-(k2+2k+1)=2k2-2k-1=2(k-0.5)2-1.5
当k≥2,k∈N时,上式恒为正值
则左>右,即3k+1>(k+1)2,所以对任何自然数n,总有3n>n2成立,即对任何自然数n,总有
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