一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．复数 是纯虚数，则实数a的值为 （ ）

A．1 B．2 C．－2 D．2或1

2．函数 的反函数是 （ ）

A． B．

C． D．

3．在 的展开式中， 的系数是 （ ）

A． B． C． D．

4．已知向量 ，若正数k和t使得向量 互相垂直，则k的最小值为 （ ）

A．1 B．2 C．4 D．8

5．在△ABC中，A=45°，AB= ，则“BC= ”是“△ABC只有一解且C=60°”的

（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既为充分也不必要条件

6．已知函数 ，则 （ ）

A． B．

C． D． 的大小不能确定

7．下列命题中，真命题是 （ ）

A． B．

C． D．

8．若以圆锥曲线的一条经过焦点的弦为直径的圆与对应的准线无公共点，则此圆锥曲线为

（ ）

A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．椭圆或双曲线

9．设 是函数 定义域内的两个变量，且 ，若 ，那么下列不等式恒成立的是 （ ）

A． B．

C． D．

10．已知正三棱锥P—ABC的体积为 外接球球心为O，且满足 ,则正三棱锥P—ABC的外接球半径为 （ ）

A．1 B． C． D．2

11．从数字1，2，3，…，10中，按由小到大的顺序取出 则不同的取法有（ ）种

A．52 B．54 C．56 D．58

a1

a2

a3

a4

P

h1

h2

h3

h4

1,3,5

12．如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai（i－1，2，3，4），此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi（i=1，2，3，4），若 ，则 类比以上性质，体积为V三棱锥的第i个面的面积记为Si（i=1，2，3，4），此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi（i=1，2，3，4），若 则 （ ）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。）

13．若 的最大值是 。

14．等差数列有如下性质，若数列 是等差数列，则当 也是等差数列；类比上述性质，相应地 是正项等比数列，当数列 时，数列 也是等比数列。

15．已知随机变量 = .

（参考数据：Φ（0.25）=0.5987，Φ(0.5)=0.6915，Φ（1）=0.8413，Φ（1.5）=0.9332）

1,3,5

16．一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的外形可能是：①三角形②菱形③矩形④正方形⑤正六边形。其中正确的结论是 。（把你认为正确的序号都填上）

三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证实过程或演算步骤）。

17．（本大题满分12分）已知函数

（1）求 的最小正周期；

（2）若 ，求 的最大值、最小值及相应的x的值。

18．（本大题满分12分）某工厂举行羽毛球选拔赛，由三个车间各推荐两名员工，将这六名员工平均分成3组进行比赛。

（1）求有且只有一个组的两名员工来自同一车间的概率

（2）设有 个组的两名员工来自同一车间，求 的分布列和期望.

19．（本大题满分12分）正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B（如图（2））

SHAPE \* MERGEFORMAT

A

A

B

C

E

F

D

A

B

D

E

F

C

（图1） （图2）

在图形（2）中：

（I）求证：AB∥平面DEF；（II）求二面角E－DF－C的余弦值；

（III）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？说明你的结论．

20．（本大题满分12分）若函数

（1）求函数 的单调区间

（2）若对所有的 成立，求实数a的取值范围.

21．（本大题满分12分）如图，已知椭圆C： ，经过椭圆C的右焦点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于A、B两点，M为线段AB的中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆于N点．

A

N

B

O

F

M

x

y

（I）是否存在K，使对任意m＞0，总有 成立？若存在，求出所有K的值；

（II）若 ，求实数k的取值范围．

22．（本大题满分14分）在 个不同数的排列 （即前面某数大于后面某数）则称 构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数，例如排列（2，40，3，1）中有逆序“2与1”，“40与3”，“40与1”，“3与1”其逆序数等于4. 已知n 2 个不同数的排列 的逆序数是2.

（1）求（1，3，40，2）的逆序数；

（2）写出 的逆序数an

（3）令 .

参考答案

一、选择：

1．C 2．C 3．D 4．B 5．B 6．B 7．D 8．A 9．B 10．B 11．C 12．B

1,3,5

二、填空

13．3 14． 15．0.5328 16．②③④⑤

三、填空题

17．解：（1）

…………6分

（2）由

…………12分

18．解：（1）

…………6分

（2） ，三个组的员工都来自同一车间的情况有1种

0

1

3

P

…………12分

19．解法一：（I）如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF∥AB，又AB 平面DEF，EF 平面DEF，∴AB∥平面DEF……………………………3分

（II）

∵AD⊥CD，BD⊥CD

∴∠ADB是二面角A－CD－B的平面角…………………………4分

∴AD⊥BD ∴AD⊥平面BCD

取CD的中点M，这时EM∥AD ∴EM⊥平面BCD

过M作MN⊥DF于点N，连结EN，则EN⊥DF

∴∠MNE是二面角E－DF－C的平面角…………………………6分

在Rt△EMN中，EM=1，MN=

∴tan∠MNE= ，cos∠MNE= ………………………………8分

（III）在线段BC上存在点P，使AP⊥DE………………………9分

证实如下：在线段BC上取点P，使BP= BC，过P作PQ⊥CD于点Q

∴PQ⊥平面ACD……………………………………………………10分

∵DQ= DC= 在等边△ADE中，∠DAQ=30°

∴AQ⊥DE，∴AP⊥DE……………………………………………12分

法二：（II）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，2），B（2，0，0），C（0，2 ，0），E（0， ，1），F）（1， ，0）…4分，平面CDF的法向量为 =（0，0，2），设平面EDF的法向量为 =（x，y，z）

则 ，即 取 （3，－ ，3）………………………………6分

cos＜ ＞= ，所以二面角E－DF－C的余弦值为 ．……8分

（III）在平面坐标系xDy中，直线DC的方程为y=－ x 2

设P（x，2 － x，0），则 =（x，2 － x，－2）

∴AP⊥DE · =0 x= ……………………10分

所以在线段BC上存在点P，使AP⊥DE……………………………12分

另提示：设P（x，y，0），则 ∴

又

∵ ∥ ∴（x－2）（2 －y）=－xy ∴ x y=2

把 代入上式得x=

所以在线段BC上存在点P使AP⊥DE…………………………12分

20．解：（1） 的定义域为 …………12分

…………2分

①当 …………3分

② 时

…………4分

…………5分

综上：

单调递减区间为

的单调递增区间（0， ） …………6分

（2） …………7分

…………8分

则 …………9分

…………10分

…………11分

…………12分

另解：

…………7分

…………8分

单增 …………9分

①当

…………11分

②当

不成立 …………12分

综上所述

21．解：（I）椭圆C： ∴F（m，0）………1分

直线AB：y=k（x－m），………………………………………………2分

由 得（10k2 6）x2－20k2mx 10k2m2－15m2=0………………3分

设A（x1，y1）、B（x2，y2），则

A

A

……………………………………………………4分

则 ……………………5分

若存在K，使 ，M为AB的中点，∴M为ON的中点，

∴ ，∴

即N点坐标为 ………………………………6分

由N点在椭圆上，则 ………………7分

即5K4－2K2－3=0，∴k2=1或k2=－ （舍）．

故存在k= 1使 …………………………………8分

（II） =

= …………10分

由 ≤－2

即 ≤－20k2－12，k2≤ ∴－ ≤k≤ 且k≠0…………12分

22．解：（1） …………4分

（2）n 2个数中任取两个数比较大小，共有 个大小关系

…………8分

（3）

…………14分