高考文科数学第四次月考测试试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1 已知集合M={y| y=x 1}，N={(x，y)|x 2 y 2 =1}，则M N中元素的个数是（ A ）

A 0 B 1 C 2 D 无穷个

2．函数 在区间[1，2]上的最大值与最小值之和为 ，最大值与最小值之积为 ，则a等于（ B ）

A 2 B C 2或 D

3．已知实数a、b满足等式 ，下列五个关系式： ① 0<a<b<1；② 0<b<a<1； ③ a=b；④ 1<a<b；⑤ l<b<a 其中不可能成立的关系式有（ B ）

A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

4．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，假如已知从高一学生中抽取的人数为7，那从高三学生中抽取的人数应为 （ A ）

A 10 B 9 C 8 D 7

5. 若条件 ，条件 ，则 是 的( B )txjy

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

6. 在等差数列 中， 则前n项和 的最小值为( C ) txjy

A． B． C． D．

7. 已知x y满足 的取值范围是 （ B ）

A．[－2，1] B．

C．[－1，2] 　　　　　　　　D．

8 函数 在[2， ]上恒为正数，则实数a的取值范围是 （ C ）

A 0<a<1 B 1<a<2 C 1<a< D 2<a<3

9 连掷两次骰子分别得到点数m、n，则向量(m，n)与向量(－1，1)的夹角 的概率是（ D ）

A B C D

10. 已知圆 ,点 ,其中 , 是圆 上的动点, 的中垂线交 所在直线于 ,则点 的轨迹是 （ B ）

A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线

11. 直线l过椭圆 的中心，交椭圆于A、B两点，P是椭圆上的一点，若直线PA、PB的斜率分别为 ，则 为（ C ）

A、 B、 C、 D、不确定

12. 如右图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线A1B1与直线BC的距离相等，则动点P所在曲线的外形为( C )

(A) (B) (C) (D)

二、填空题（16分）

13．已知 1 。

14 已知函数 在(－∞， ∞)上单调递减，则实数a的取值范围是______ ___________

15．已知 ，则 = 502

16．购买手机的“全球通”卡，使用时须付“基本月租费”(每月须交的固定月租费)50元，在市区通话时每分钟另收话费0 4元；购买“神州行”卡，使用时不收“基本月租费”，但市区内通话时每分钟另收话费0 6元 若某用户每月手机费预算为120元，则在这两种手机卡中，购买___神州行_______卡较合算

三、解答题（74分）

17．三角形ABC的角A、B、C所对的边分别是a，b，c。已知向量 ，且 。

（1） 求 的值；

（2） 若 成等比数列，且 ，求 的值。

解：由 得，

所以 。

（2） ，

成等比数列， 成等比数列

，又由余弦定理

，

又 ，所以 或 。

所以a，b，c分别为4， ，6或6， ，4。

18．如图，已知四棱锥P—ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2，点M、N分别在侧棱PD、PC上，且PM=MD

（Ⅰ）求证：AM⊥平面PCD；

（Ⅱ）若 ，求平面AMN与平面PAB的所成锐二面角的大小

解：（Ⅰ）因为四棱锥P—ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，

则CD⊥侧面PAD

又

又 ……………5分

（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系 又PA=AD=2，

则有P（0，0，2），D（0，2，0）

设 则有

同理可得

即得

由

而平面PAB的法微向量可为

故所求平面AMN与PAB所成铰二面角的大小为

19．甲、乙两支足球队激战90分钟战成平局，加时赛30分钟后仍然为平局，先决定各派5名队员，每人射一点球决胜败。设甲、乙两队每个队员的点球命中率均为0.5。

（1） 不考虑乙队，求甲对仅有3名队员点球命中，且其中恰有2名队员连续命中的概率；

（2） 求甲、乙两队各射完5个点球后，再次出现平局的概率。

解：（1）甲队3名队员命中，恰有2名队员连续命中的情况有 种，故所求概率为

（2）再次出现平局包括 、6种情况，故其概率为 =

20．已知函数f (x) = (x－a)(x－b)(x－c)

(1) 求证： = (x－a)(x－b) (x－a)(x－c) (x－b)(x—c)；

(2) 若f (x)是R上的增函数，是否存在点P，使f (x)的图象关于点P中心对称?

假如存在，请求出点P坐标，并给出证实，假如不存在，请说明理由

21．已知等差数列 满足： 该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列 的前三项

（Ⅰ）分别求数列 ， 的通项公式

（Ⅱ）设 若 恒成立，求c的最小值

解：（Ⅰ）设d、q分别为数列 、数列 的公差与公比，

由题可知， 分别加上1，1，3后得2，2， d,4 2d

是等比数列 的前三项，

由此可得

（Ⅱ） ①

当 ， 当 ， ②

①—②，得

在N*是单调递增的，

∴满足条件 恒成立的最小整数值为

22．（本小题满分14分）已知抛物线 的焦点为，过 作两条互相垂直的弦 、 ，设 、 的中点分别为

（1） 求证：直线 必过定点，并求出定点坐标

（2） 分别以 和 为直径作圆，求两圆相交弦中点 的轨迹方程

解：（1）证实：由题可知 ，设 ， ，直线AB的方程为 ，则由 消去x可得

，

所以， ，即 ，代入方程 ，解得 ，所以，点M的坐标为

同理可得： 的坐标为

直线 的方程为 ，整理得

显然，不论 为何值， 均满足方程，所以直线 恒过定点

（2）过 作准线 的垂线，垂足分别为 由抛物线的性质不难知道：准线 为圆 与圆 的公切线，设两圆的相交弦交公切线于点 ，则由平面几何的知识（切割线定理）可知： 为 的中点 所以

，

即

又因为公共弦必与两圆的连心线垂直，所以公共弦的斜率为

所以，公共弦所在直线的方程为

即

所以公共弦恒过原点

根据平面几何的知识知道：公共弦中点就是公共弦与两圆连心线的交点，所以原点 、定点 、所求点构成以 为直角顶点的直角三角形，即 在以 为直径的圆上

又对于圆上任意一点 （原点除外），必可利用方程 求得 值，从而以上步步可逆，故所求轨迹方程为