一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1 已知 \* MERGEFORMAT 均为单位向量，它们的夹角为 \* MERGEFORMAT ，那么 \* MERGEFORMAT =

（A）4 （B） \* MERGEFORMAT （C） \* MERGEFORMAT （D） \* MERGEFORMAT

2 过点 \* MERGEFORMAT 的直线 \* MERGEFORMAT 经过圆 \* MERGEFORMAT 的圆心，则直线 \* MERGEFORMAT 的倾斜角大小为

（A） \* MERGEFORMAT （B） \* MERGEFORMAT （C） \* MERGEFORMAT （D） \* MERGEFORMAT

3 设函数f（ x ）的图象关于点（1， \* MERGEFORMAT ）对称，且存在反函数 \* MERGEFORMAT ( x )，若f（3） = 0，

则 \* MERGEFORMAT （3）等于

(A)－1 (B)1 (C)－2 (D)2

4 设m，n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面 给出下列四个命题：

①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；　　　　②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；

③若m∥α，n∥α，则m∥n；　　　　④若α∥β，β∥γ，m⊥α，，则m⊥γ

其中正确命题的序号是：

（A） ①和②　　 （B）②和③　　 （C）③和④　　 （D）①和④

5．函数y = cos（2x \* MERGEFORMAT ）的一条对称轴方程是

(A)x = － \* MERGEFORMAT (B)x = － \* MERGEFORMAT (C)x = － \* MERGEFORMAT (D)x = \* MERGEFORMAT

6 \* MERGEFORMAT ，则“ \* MERGEFORMAT ”是“ \* MERGEFORMAT ”的

（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件

（C）充分必要条件 （D）既非充分也非必要条件

7 若点 \* MERGEFORMAT 在双曲线 \* MERGEFORMAT 的左准线上，过点 \* MERGEFORMAT 且方向向量为 \* MERGEFORMAT 的光线，经直线 \* MERGEFORMAT 反射后通过双曲线的左焦点，则这个双曲线的离心率为（ ）

(A) \* MERGEFORMAT (B) \* MERGEFORMAT (C) \* MERGEFORMAT (D) \* MERGEFORMAT

8．已知四面体 \* MERGEFORMAT 中， \* MERGEFORMAT 与 \* MERGEFORMAT 间的距离与

夹角分别为3与 \* MERGEFORMAT ，则四面体 \* MERGEFORMAT 的体积为（ ）

（A） \* MERGEFORMAT （B）1 （C）2 （D） \* MERGEFORMAT

９．从1，2，3，4，5 中取三个不同数字作直线 \* MERGEFORMAT 中 \* MERGEFORMAT 的值，使直线与圆 \* MERGEFORMAT 的位置关系满足相离，这样的直线最多有

（A）30条 （B）20条 （C）18条 （D）12条

10．已知等差数列{an}与等差数列{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若 \* MERGEFORMAT ，则 \* MERGEFORMAT

(A) \* MERGEFORMAT (B) \* MERGEFORMAT (C) \* MERGEFORMAT (D) \* MERGEFORMAT

11．已知点P是抛物线 \* MERGEFORMAT = 2x上的动点，点p在y轴上的射影是M，点A的坐标是 \* MERGEFORMAT ，则| PA | | PM |的最小值是

（A） \* MERGEFORMAT （B）4 （C） \* MERGEFORMAT （D）5

12．已知M点为椭圆上一点，椭圆两焦点为F1，F2，且 \* MERGEFORMAT ，点I为 \* MERGEFORMAT 的内心，延长MI交线段F1F2于一点N，则 \* MERGEFORMAT 的值为（ ）

（A） \* MERGEFORMAT （B） \* MERGEFORMAT （C） \* MERGEFORMAT （D） \* MERGEFORMAT \* MERGEFORMAT

二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分。）

13 已知 \* MERGEFORMAT 满足 \* MERGEFORMAT ,则 \* MERGEFORMAT 的最大值为

14 四面体 \* MERGEFORMAT 中， \* MERGEFORMAT 是 \* MERGEFORMAT 中点， \* MERGEFORMAT 是 \* MERGEFORMAT 中点， \* MERGEFORMAT ，则直线 \* MERGEFORMAT 与 \* MERGEFORMAT 所成的角大小为

15 \* MERGEFORMAT 的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中常数项为

16．若M是直线 \* MERGEFORMAT 上到原点的距离最近的点，则当 \* MERGEFORMAT 在实数范围内变化时, 动点M的轨迹方程是 。

三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证实过程或演算步骤。）

17 （本小题12分）

已知函数 \* MERGEFORMAT

（I）求函数 \* MERGEFORMAT 的最小正周期;

(II) 当 \* MERGEFORMAT 时,求函数 \* MERGEFORMAT 的最大值,最小值

18 （本小题12分）

某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二等奖；摸出两个红球获得一等奖.现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次．求

(1)甲、乙两人都没有中奖的概率；

(2)甲、乙两人中至少有一人获二等奖的概率．

19 （本小题满分12分）

如图，已知正三棱柱ABC－ \* MERGEFORMAT ，D是AC的中点，∠ \* MERGEFORMAT DC = 60°

（Ⅰ）求证：A \* MERGEFORMAT ∥平面B \* MERGEFORMAT D；

（Ⅱ）求二面角D－B \* MERGEFORMAT －C的大小。

20 （本小题12分）

已知函数f(x)=x3 ax2 bx c在x=- \* MERGEFORMAT 与x=1时都取得极值．

(1)求a、b的值及函数f(x)的单调区间；

(2)若对x∈[－1，2]，不等式f(x)＜c2恒成立，求c的取值范围．

21．（本小题12分）已知数列 \* MERGEFORMAT 中的相邻两项 \* MERGEFORMAT 是关于 \* MERGEFORMAT 的方程 \* MERGEFORMAT 的两个根，且 \* MERGEFORMAT ．

（ = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I）求 \* MERGEFORMAT ， \* MERGEFORMAT ， \* MERGEFORMAT ， \* MERGEFORMAT ；

（ = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II）求数列 \* MERGEFORMAT 的前 \* MERGEFORMAT 项的和 \* MERGEFORMAT ；

（Ⅲ）求 \* MERGEFORMAT

22 （本小题14分）

如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，直线 \* MERGEFORMAT ⊥x轴与点C， \* MERGEFORMAT ， \* MERGEFORMAT ,动点 \* MERGEFORMAT 到直线 \* MERGEFORMAT 的距离是它到点D的距离的2倍

（I）求点 \* MERGEFORMAT 的轨迹方程；

（II）设点K为点 \* MERGEFORMAT 的轨迹与x轴正半轴的交点,直线 \* MERGEFORMAT 交点 \* MERGEFORMAT 的轨迹于 \* MERGEFORMAT 两点

（ \* MERGEFORMAT 与点K均不重合）,且满足 \* MERGEFORMAT 求直线EF在X轴上的截距；

（Ⅲ）在（II）的条件下，动点 \* MERGEFORMAT 满足 \* MERGEFORMAT ,求直线 \* MERGEFORMAT 的斜率的取值范围

答题卷

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

二、填空题：

13、 14、 15、 16、

三、解答题：

17、

18、

19、

20、

21、

22、

参考答案

一、1 B 2 D 3 A 4 D 5 C 6 B

7 A 8 A 9 C 10 D 11 C 12 B

二、13、3 14、 \* MERGEFORMAT 15、-160 16、 \* MERGEFORMAT

三、17、解: (1) \* MERGEFORMAT ……… 3分

\* MERGEFORMAT \* MERGEFORMAT 的最小正周期为 \* MERGEFORMAT ………………… 5分

(2) \* MERGEFORMAT , ………………… 7分

\* MERGEFORMAT ………………… 10分

\* MERGEFORMAT \* MERGEFORMAT ………………… 11分

\* MERGEFORMAT 当 \* MERGEFORMAT 时,函数 \* MERGEFORMAT 的最大值为1,最小值 \* MERGEFORMAT ……… 12分

18.解：(1)P1= \* MERGEFORMAT ； ……… 6分

（2）方法一：P2= \* MERGEFORMAT

方法二：P2= \* MERGEFORMAT

方法三：P2=1- \* MERGEFORMAT ……… 12分

19、解法一：

（Ⅰ）连结 \* MERGEFORMAT C交BC \* MERGEFORMAT 于O，则O是B \* MERGEFORMAT C的中点，连结DO。

∵在△A \* MERGEFORMAT C中，O、D均为中点，

∴A \* MERGEFORMAT ∥DO…………………………2分

∵A \* MERGEFORMAT \* MERGEFORMAT 平面B \* MERGEFORMAT D，DO \* MERGEFORMAT 平面B \* MERGEFORMAT D，

∴A \* MERGEFORMAT ∥平面B \* MERGEFORMAT D。…………………4分

（Ⅱ）设正三棱柱底面边长为2，则DC = 1。

∵∠ \* MERGEFORMAT DC = 60°，∴C \* MERGEFORMAT = \* MERGEFORMAT 。

作DE⊥BC于E。

∵平面BC \* MERGEFORMAT ⊥平面ABC，

∴DE⊥平面BC \* MERGEFORMAT \* MERGEFORMAT

作EF⊥B \* MERGEFORMAT 于F，连结DF，则 DF⊥B \* MERGEFORMAT

∴∠DFE是二面角D-B \* MERGEFORMAT -C的平面角………………8分

在Rt△DEC中，DE= \* MERGEFORMAT

在Rt△BFE中，EF = BE·sin \* MERGEFORMAT

∴在Rt△DEF中，tan∠DFE = \* MERGEFORMAT

∴二面角D－B \* MERGEFORMAT －C的大小为arctan \* MERGEFORMAT ………………12分

解法二：以AC的中D为原点建立坐标系，如图，

设| AD | = 1∵∠ \* MERGEFORMAT DC =60°∴| C \* MERGEFORMAT | = \* MERGEFORMAT 。

则A（1，0，0），B（0， \* MERGEFORMAT ，0），C（-1，0，0），

\* MERGEFORMAT （1，0 \* MERGEFORMAT ）， \* MERGEFORMAT ， \* MERGEFORMAT

（Ⅰ）连结 \* MERGEFORMAT C交B \* MERGEFORMAT 于O是 \* MERGEFORMAT C的中点，连结DO，则

O \* MERGEFORMAT . \* MERGEFORMAT = \* MERGEFORMAT

∵A \* MERGEFORMAT \* MERGEFORMAT 平面B \* MERGEFORMAT D，

∴A \* MERGEFORMAT ∥平面B \* MERGEFORMAT D.………………………………………………4分

（Ⅱ） \* MERGEFORMAT =（-1，0， \* MERGEFORMAT ）， \* MERGEFORMAT

设平面B \* MERGEFORMAT D的法向量为n = （ x , y , z ），则 \* MERGEFORMAT

即 \* MERGEFORMAT 则有 \* MERGEFORMAT = 0令z = 1

则n = （ \* MERGEFORMAT ，0，1） …………………………………8分

设平面BC \* MERGEFORMAT \* MERGEFORMAT 的法向量为m = ( x′ ,y′，z′)

\* MERGEFORMAT =（0，0， \* MERGEFORMAT ）， \* MERGEFORMAT ，

′

′

′

′

\* MERGEFORMAT 即 \* MERGEFORMAT \* MERGEFORMAT ∴z′= 0

\* MERGEFORMAT 令y = -1，解得m = （ \* MERGEFORMAT ，-1，0）

二面角D —B \* MERGEFORMAT —C的余弦值为cos＜n , m＞＝

∴二面角D—B \* MERGEFORMAT —C的大小为arc cos \* MERGEFORMAT …………１２分

20、解: 解：

（1）f(x)=x3 ax2 bx c, f′(x)=3x2 2ax b,

由f′(- \* MERGEFORMAT )= \* MERGEFORMAT a b=0, f′(1)=3 2a b=0,得

a=－ \* MERGEFORMAT ，b=－2，………… ３分

f′（x）=3x2-x-2=（3x 2）（x-1），函数f（x）的单调区间如下表：

ｘ

（-∞，－ \* MERGEFORMAT ）

－ \* MERGEFORMAT

（－ \* MERGEFORMAT ，1）

1

（1， ∞）

f′（x）

0

－

0

f（x）

↗

极大值

↘

极小值

↗

所以函数f（x）的递增区间为（－∞，－ \* MERGEFORMAT ）与（1， ∞）；

递减区间为（－ \* MERGEFORMAT ，1）.　　　　　　　　　　　　 ………… ６分

（2）f（x）=x3- \* MERGEFORMAT x2-2x c x∈［-1，2］，当x=- \* MERGEFORMAT 时，f（x）= \* MERGEFORMAT c为极大值，

而f（2）=2 c，则f（2）=2 c为最大值. 　　　　　………… ８分

要使f（x）＜c2（x∈［-1，2］）恒成立，只须c2＞f（2）=2 c，

解得c＜－1或c＞2. 　　　　　　　　　　　　　　………… 12分

21、（I）解：方程 \* MERGEFORMAT 的两个根为 \* MERGEFORMAT ， \* MERGEFORMAT ，

当 \* MERGEFORMAT 时， \* MERGEFORMAT ，所以 \* MERGEFORMAT ；

当 \* MERGEFORMAT 时， \* MERGEFORMAT ， \* MERGEFORMAT ，所以 \* MERGEFORMAT ；

当 \* MERGEFORMAT 时， \* MERGEFORMAT ， \* MERGEFORMAT ，所以 \* MERGEFORMAT 时；

当 \* MERGEFORMAT 时， \* MERGEFORMAT ， \* MERGEFORMAT ，所以 \* MERGEFORMAT ． ………… 4分

（II）解： \* MERGEFORMAT

\* MERGEFORMAT

\* MERGEFORMAT ． ………… 8分

（Ⅲ） \* MERGEFORMAT = \* MERGEFORMAT ………… 12分

22、解： （I）依题意知,点 \* MERGEFORMAT 的轨迹是以点 \* MERGEFORMAT 为焦点、直线 \* MERGEFORMAT 为其相应准线,

离心率为 \* MERGEFORMAT 的椭圆

设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,

又 \* MERGEFORMAT ， \* MERGEFORMAT ，∴点 \* MERGEFORMAT 在x轴上,且 \* MERGEFORMAT ,且 \* MERGEFORMAT 则 \* MERGEFORMAT 3

解之得： \* MERGEFORMAT , \* MERGEFORMAT ∴坐标原点 \* MERGEFORMAT 为椭圆的对称中心

∴动点M的轨迹方程为： \* MERGEFORMAT ………… 4分

（II）设 \* MERGEFORMAT ,设直线 \* MERGEFORMAT 的方程为 \* MERGEFORMAT ,代入 \* MERGEFORMAT 得

\* MERGEFORMAT ………… 5分

\* MERGEFORMAT , \* MERGEFORMAT

\* MERGEFORMAT ………… 6分

\* MERGEFORMAT \* MERGEFORMAT , \* MERGEFORMAT ,

\* MERGEFORMAT ,

\* MERGEFORMAT

解得: \* MERGEFORMAT \* MERGEFORMAT (舍) ∴ 直线EF在X轴上的截距为 \* MERGEFORMAT …………8分

（Ⅲ）设 \* MERGEFORMAT ,由 \* MERGEFORMAT 知, \* MERGEFORMAT

直线 \* MERGEFORMAT 的斜率为 \* MERGEFORMAT ………… 10分

当 \* MERGEFORMAT 时, \* MERGEFORMAT ;

当 \* MERGEFORMAT 时, \* MERGEFORMAT ,

\* MERGEFORMAT 时取“=”）或 \* MERGEFORMAT 时取“=”），

\* MERGEFORMAT ………… 12分

综上所述 \* MERGEFORMAT ………… 14分