难点39 化归思想

化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想.等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法.

●难点磁场

1.（★★★★★）一条路上共有9个路灯，为了节约用电，拟关闭其中3个，要求两端的路灯不能关闭，任意两个相邻的路灯不能同时关闭，那么关闭路灯的方法总数为 .

2.（★★★★★）已知平面向量a=( –1),b=( ).

（1）证实a⊥b;

（2）若存在不同时为零的实数k和t，使x=a (t2–3)b，y=–ka tb，且x⊥y，试求函数关系式k=f(t);

（3）据（2）的结论，讨论关于t的方程f(t)–k=0的解的情况.

●案例探究

［例1］对任意函数f(x), x∈D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：

①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1=f(x0)；

②若x1 D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2=f(x1)，并依此规律继续下去.

现定义

（1）若输入x0= ，则由数列发生器产生数列{xn}，请写出{xn}的所有项；

（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值；

（3）若输入x0时，产生的无穷数列{xn}，满足对任意正整数n均有xn＜xn 1；求x0的取值范围.

命题意图：本题主要考查学生的阅读审题，综合理解及逻辑推理的能力.属★★★★★级题目.

知识依托：函数求值的简单运算、方程思想的应用.解不等式及化归转化思想的应用.解题的要害就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言.

错解分析：考生易出现以下几种错因：（1）审题后不能理解题意.（2）题意转化不出数学关系式，如第2问.（3）第3问不能进行从一般到非凡的转化.

技巧与方法：此题属于富有新意，综合性、抽象性较强的题目.由于生疏不易理解并将文意转化为数学语言.这就要求我们慎读题意，把握主脉，体会数学转换.

解：（1）∵f(x)的定义域D=（–∞,–1)∪(–1, ∞)

∴数列{xn}只有三项，

（2）∵ ,即x2–3x 2=0

∴x=1或x=2，即x0=1或2时

故当x0=1时，xn=1，当x0=2时，xn=2（n∈N*）

（3）解不等式 ，得x＜–1或1＜x＜2

要使x1＜x2，则x2＜–1或1＜x1＜2

对于函数

若x1＜–1，则x2=f(x1)＞4，x3=f(x2)＜x2

若1＜x1＜2时，x2=f(x1)＞x1且1＜x2＜2

依次类推可得数列{xn}的所有项均满足

xn 1＞xn（n∈N*)

综上所述，x1∈(1,2)

由x1=f(x0),得x0∈(1,2).

［例2］设椭圆C1的方程为 (a＞b＞0)，曲线C2的方程为y= ，且曲线C1与C2在第一象限内只有一个公共点P.

（1）试用a表示点P的坐标；

（2）设A、B是椭圆C1的两个焦点，当a变化时，求△ABP的面积函数S(a)的值域；

（3）记min{y1,y2,……,yn}为y1,y2,……,yn中最小的一个.设g(a)是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积，试求函数f(a)=min{g(a), S(a)}的表达式.

命题意图：本题考查曲线的位置关系，函数的最值等基础知识，考查推理运算能力及综合运用知识解题的能力.属★★★★★级题目.

知识依托：两曲线交点个数的转化及充要条件，求函数值域、解不等式.

错解分析：第（1）问中将交点个数转化为方程组解的个数，考查易出现计算错误，不能借助Δ找到a、b的关系.第（2）问中考生易忽略a＞b＞0这一隐性条件.第（3）问中考生往往想不起将min{g(a),S(a)}转化为解不等式g(a)≥S(a).

技巧与方法：将难以下手的题目转化为自己熟练把握的基本问题，是应用化归思想的灵魂.要求必须将各知识的内涵及关联做到转化有目标、转化有桥梁、转化有效果.

解：（1）将y= 代入椭圆方程，得

化简，得b2x4–a2b2x2 a2=0

由条件，有Δ=a4b4–4a2b2=0，得ab=2

解得x= 或x=– （舍去）

故P的坐标为( ).

(2)∵在△ABP中，｜AB｜=2 ，高为 ,

∴

∵a＞b＞0,b=

∴a＞ ,即a＞ ,得0＜ ＜1

于是0＜S（a）＜ ，故△ABP的面积函数S(a)的值域为(0, )

(3)g(a)=c2=a2–b2=a2–

解不等式g(a)≥S(a)，即a2– ≥

整理，得a8–10a4 24≥0，即(a4–4)(a4–6)≥0

解得a≤ （舍去）或a≥ .

故f(a)=min{g(a), S(a)}

●锦囊妙计

转化有等价转化与不等价转化.等价转化后的新问题与原问题实质是一样的.不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正.

应用转化化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化.常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化.

●歼灭难点练习

一、选择题

1.（★★★★）已知两条直线l1:y=x,l2:ax–y=0，其中a∈R，当这两条直线的夹角在(0, )内变动时，a的取值范围是( )

A.（0，1） B.（ ， ）

C.（ ，1）∪（1， ） D.（1， ）

2.（★★★★）等差数列{an}和{bn}的前n项和分别用Sn和Tn表示，若 ，则 的值为( )

A. B.1 C. D.

二、填空题

3.（★★★★）某房间有4个人，那么至少有2人生日是同一个月的概率是 .（列式表示即可）

4.（★★★★★）函数f(x)=x3–3bx 3b在（0，1）内有极小值，则b的取值范围是 .

三、解答题

5.（★★★★）已知f(x)=lg(x 1),g(x)=2lg(2x t),(t∈R是参数）.

(1)当t=–1时，解不等式f(x)≤g(x);

(2)假如x∈［0,1］时，f(x)≤g(x)恒成立，求参数t的取值范围.

6.（★★★★★）已知函数f(x)=a1x a2x2 a3x3 … anxn，n∈N*且a1、a2、a3、……、an构成一个数列{an}，满足f(1)=n2.

（1）求数列{an}的通项公式，并求 ；

（2）证实0＜f( )＜1.

7.（★★★★★）设A、B是双曲线x2– =1上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点.

（1）求直线AB的方程；

（2）假如线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？

8.（★★★★★）直线y=a与函数y=x3–3x的图象有相异三个交点，求a的取值范围.

参 考 答 案

●难点磁场

1.解析：9个灯中关闭3个等价于在6个开启的路灯中，选3个间隔（不包括两端外边的装置）插入关闭的过程故有C =10种

答案：10

2.(1)证实：∵a·b= =0，∴a⊥b

(2)解：∵x⊥y,∴x·y=0

即［a （t2–3)b］·(–ka tb)=0，整理后得

–ka2 ［t–k(t2–3)］a·b t(t2–3)·b2=0

∵a·b=0,a2=4,b2=1

∴上式化为–4k t(t2–3)=0，∴k= t(t2–3).

(3)解：讨论方程 t(t2–3)–k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)= t(t2–3)与直线y=k的交点个数

于是f′(t)= (t2–1)= (t 1)(t–1).

令f′(t)=0,解得t1=–1,t2=1.当t变化时，f′(t),f(t)的变化情况如下表：