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高考数学教学质量检测
数 学 试 题(理科) 2008.02.28
本试卷分选择题和非选择题两部分,共4页. 满分150分. 考试时间120分钟.
注重事项:
1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目.
2.选择题每小题选出答案后,用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代号填在答题卷对应的表格内.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回.
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.
(1).复数
满足方程:
,则
=
(A).
(B).
(C).
(D).
(2).已知集合
,R是实数集,则
( )
(A).
(B).R (C).
(D).
(3).右图表示一个几何体的三视图及相应数据,则该几何体的体积是 ( )
(A).
(B).
(C).
(D).
(4).偶函数
在区间[0,a](a>0)上是单调函数,且f(0)·f(a)<0,
则方程
在区间[-a,a]内根的个数是 ( )
(A). 3 (B). 2 (C). 1 (D). 0
(5).给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R为实数集,C为复数集):
①“若a,b
”类比推出“若a,b
”;
②“若a,b,c,d
”类比推出“若a,b,c,d
则
”;
③“若a,b
” 类比推出“若a,b
”;
其中类比结论正确的个数是 ( )
(A).0 (B).1 (C).2 (D).3
(6).函数
的定义域为(a,b),其导函数
内的图象如图所示,
则函数
在区间(a,b)内极小值点的个数是( )
(A).1 (B).2 (C).3 (D).4
(7).已知F1,F2分别是双曲线
的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABF2是锐用三角形,则该双曲线离心率的取值范围是( )
(A).
(B).
(C).
(D).
(8).2006年1月开始实施的《个人所得税法》规定:全月总收入不超过1600元的免征个人工资、薪金所得税,超过1600元的部分需征税,设全月总收入金额为x元,前三级税率如下表:
级数 |
全月应纳税金额
x-1600元 |
税率 |
1 |
不超过500元部分 |
5% |
2 |
超过500元至2000元部分 |
10% |
3 |
超过2000元至5000元部分 |
15% |
…… |
…… |
…… | |
当全月总收入不超过3600元时,计算个人所得税的一个
算法框图如上所示,则输出①,输出②分别为 ( )
(A).0.05x,0.1x (B).0.05x, 0.1x-185
(C).0.05x-80, 0.1x (D).0.05x-80, 0.1x-185
二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,满分30分.其中13~15题是选做题,考生只能选做二题,三题全答的,只计算前两题得分.
(9).若
为等差数列
中的第8项,则二项式
展开式中常数项是第 项.
(10).定义在R上的奇函数
满足:对于任意
,若
,
__________.
(11).定义
是向量a和b的“向量积”,它的长度
为向量a和b的夹角,若
= .
(12).有以下四个命题:
①两直线m,n与平面
所成的角相等的充要条件是m//n;
②若
;
③不等式
上恒成立;
④设有四个函数
,其中在R上是增函数的函数有3个.
其中真命题的序号是 .(漏填、多填或错填均不得分)
(13).(坐标系与参数方程选做题)已知极坐标系的极点
与直角坐标系的原点重合,极轴与
轴的正半轴重合,线
与线
(参数
)交于
、
两点.
写出
的外接圆的标准方程 .
(14).(不等式选讲选做题)
已知方程
的两根分别为1和2,则不等式
的解集为 (用区间表示).
(15).(几何证实选讲选做题)从⊙
外一点
向圆引两条切线
、
(
、
为切点)和割线
与⊙
交于
、
两点
从
点作弦
平行于
,连结
交
于
,连结
,若
,
,则
.
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证实过程和演算步骤.
(16).(本小题满分12分)
如图,在△ABC中,角A、B、C的对边分别为
、
、c,
且8
=7
,
,AB边上的高CM长为
.
(Ⅰ)求
的值; (Ⅱ)求△ABC的面积
(17).(本小题满分12分)
设数列
的前
项和为
,且
;数列
为等差数列,且
,
.
(Ⅰ)求数列
的通项公式;
(Ⅱ)若
,
为数列
的前
项和. 求证:
.
(18).(本小题满分14分)
有10张外形、大小相同的卡片,其中2张上写着数字
,另外5张上写着数字1,余下3张上写着数字2。从中随机地取出1张,记下它的数字后放回原处。当这种手续重复进行2次时,
为所记下的两个数之和。
(Ⅰ)求
=2时的概率; (Ⅱ)求
的数学期望;
(19).(本小题满分14分)
如图,平面
⊥平面
,
为正方形,
,
且
分别是线段
的中点。
(Ⅰ)求证:
//平面
;
(Ⅱ)求异面直线
与
所成的角;
(Ⅲ)在线段
上是否存在一点
,使得点
到平面
的距离为
;
若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由。
(20).(本小题满分14分)
已知椭圆
的离心率为
,直线
:
与以原点为圆心、以椭圆
的短半轴长为半径的圆相切.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)设椭圆
的左焦点为
,右焦点
,直线
过点
且垂直于椭圆的长轴,动直线
垂直
于点
,线段
垂直平分线交
于点
,求点
的轨迹
的方程;
(Ⅲ)设 (Ⅱ) 中的
与
轴交于点
,不同的两点
在
上,且满足
求
的取值范围.
(21).(本小题满分14分)
已知
、b为函数
的极值点 
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)判定函数
上的单调性,并证实你的结论;
(Ⅲ)若曲线
处的切线斜率为-4,且方程
有两个不等的实根,求实数
的取值范围.
参考答案
一.选择题:每小题5分,满分40分.
题 号 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
答 案 |
C |
D |
A |
B |
C |
A |
B |
D |
二.填空题:每小题5分,满分30分.(其中13~15题只能选做二题)
(9) [9] (10) [0] (11) [
] (12) ②③
(13)
(14) [
] (15) [6]
三.解答题:本大题共6小题,满分80分.
(16).【解】(Ⅰ) ∵
,故设
=7k,b=8k(k>0),由余弦定理可
=(72 82 -2×7×8cos1200)k2=169k2,∴c=13k,因此
……………………(6分)
(Ⅱ)∵
∴ 
∴
……………………………………………………(12分)
(17).【解】(Ⅰ)由
,令
,则
,又
,所以
.
,则
.…………………………………2分
当
时,由
,可得
.
即
. ………3分
所以
是以
为首项,
为公比的等比数列,于是
.……………4分
(Ⅱ)数列
为等差数列,公差
,可得
.…………6分
从而
. ………………………7分
∴

∴
. ……………10分
从而
. ………………………12分
(17).【解】(Ⅰ) 卡片的出法有(0,0),(0,1),(1,0),(0,2),(2,0),(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)共9种
而
=2时,出现三种(0,2),(2,0),(1,1)
故
………………………(7分)
(Ⅱ)同(Ⅰ)处理方法可求
,
,
, 
因此,
的数学期望
……(14分)
(18).【解】法一:(Ⅰ)证实:取AB中点H,连结GH,HE,
∵E,F,G分别是线段PA、PD、CD的中点,
∴GH//AD//EF,
∴E,F,G,H四点共面。………………1分
又H为AB中点,
∴EH//PB。…………2分
又
面EFG,
平面EFG,
∴PB//面EFG。…………3分
(Ⅱ)取BC的中点M,连结GM、AM、EM,则GM//BD,
∴∠EGM(或其补角)就是异面直线EG与BD所成的角。… 4分
在Rt△MAE中,
,
同理
,又
,
∴在Rt△MGE中,
……………………7分
故异面直线EG与BD所成的角为
。……………………………………8分
(Ⅲ)假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件。过点Q作QR⊥AB于R,连结RE,则QR//AD。
∵ABCD是正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,
∴AD⊥AB,AD⊥PA,
又
,
∴AD⊥平面PAB。
又∵E,F分别是PA,PD中点,
∴EF//AD,∴EF⊥平面PAB
又
面EFQ,
∴面EFQ⊥平面PAB。
过A作AT⊥ER于T,则AT⊥面EFQ,
∴AT就是点A到平面EFQ的距离。……………………12分
设
,则
,
,AE=1,
在Rt△EAR中,
解得
。
故存在点Q,当
时,点A到平面EFQ的距离为
……14分
解法二:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,
则
,
,
,
,
,
,
,
。
(Ⅰ)∵
,
,
,……………………1分
设
,即
解得
。
∴
,又∵
与
不共线,∴
、
与
共面。……2分
∵
平面EFG,∴PB//平面EFG。………………3分
(Ⅱ)∵
,
,……………………4分
∴
。
故异面直线EG与BD所成的角为
。………………………8分
(Ⅲ)假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件。令
,则
,
∴点Q的坐标为
,∴
。
而
,设平面EFQ的法向量为
,则
∴
。
令
,则
。…………………………10分
又
,∴点A到平面EFQ的距离
…………13分
即
,∴
或
不合题意,舍去。
故存在点Q,当
时,点A到平面EFQ的距离为
………………14分
(19).【解】(Ⅰ) ∵
……1分
∵直线
相切,
∴
…………2分
∴
…………3分
∵椭圆C1的方程是
………………4分
(Ⅱ)∵MP=MF2,
∴动点M到定直线
的距离等于它到定点F1(1,0)的距离,
∴动点M的轨迹是C为l1准线,F2为焦点的抛物线 ………………6分
∴点M的轨迹C2的方程为
…………7分
(Ⅲ)Q(0,0),设
…………8分
∴
…………9分
∵ 
∴ 
∵
,化简得
∴
………………11分
∴ 
当且仅当
时等号成立 …………13分
∵ 
∴当
的取值范围是
……14分
(20).【解】(Ⅰ) 依题设方程
的两根分别为
………2分,由题意可知:
即
………3分
则 
即
……………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ):
(Ⅲ)由
,
的变化情况如下:
|
(-∞,-3) |
-3 |

|

|
-1 |
(-1,0) |
0 |

|
— |
0 |
|
|
0 |
— |
|

|
SHAPE \* MERGEFORMAT 
|
极小值 
|

|

|
极大值
-1 |

|

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