本试卷共21小题，满分150分．考试用时120分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1、设 
， 
，则 
（ ）
A、 
B、 
C、 
D、 
2、如图所示，角 
的正切线为有向线段（ ）
A、 
B、 
C、 
D、 
3、命题“对任意 
”的否定是（ ）
A、不存在 
B、存在
C、存在 
D、对任意的
4、若数列 
满足 
（ 
为正常数， 
），则称 为“等方比数列”．
甲：数列 是等方比数列； 乙：数列 是等比数列，则（ ）
A、甲是乙的充分条件但不是必要条件 B、甲是乙的必要条件但不是充分条件
C、甲是乙的充要条件 D、甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
5、已知双曲线的离心率为 
，焦点是 
， 
，则双曲线方程为（ ）
A、 
B、 
C、 
D、 
6、一个长方体共一个顶点的三个面的面积分别是 
、 
、 
，长方体对角线的长为（ ）
A、2 B、 C、6 D、
7、直角坐标系 
中， 
分别是与 
轴正方向同向的单位向量．在直角三角形
中，若 
，则 
的可能值个数是（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
8、已知函数 ,若 
,且 
,则有 ( )
A、 
B、 
C、 
D、 
的大小不确定.
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13、14、15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．
9、已知 
则 
=______________________.
10、已知平面上三点A、B、C满足 
， 
， 
，
则 
的值是____________________.
11、一个正整数数表如下（表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍）：
第1行
1
第2行
2 3
第3行
4 5 6 7
…
…
则第9行中的第4个数是__________________.
12、 函数 
的图像为 
，如下结论中正确的是 （写出所有正确结论的编号）．
①图像 关于直线 
对称；
②图像 关于点 
对称；
③函数 
在区间 内是增函数；
④由 
的图像向右平移 
个单位长度可以得到图像 ．
13、（坐标系与参数方程选做题）椭圆 
的离心率是_______
14、（不等式选讲选做题）设函数 
，则 
；
若 
， 则 
的取值范围是 ．
15、（几何证实选讲选做题）
如图，⊙O上三点A、B、C，PC切⊙O于点C，
∠ABC=1000，∠BCP=500，则∠AOB=_______.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证实过程和演算步骤．
16、(本题满分12分)已知平面向量 
， 
（ 
）. 
（Ⅰ）若 
，求 的值； （Ⅱ）若 
，求 
.
17、（本题满分12分）数列 
中， 
， 
（ 
是常数， 
），且 
成公比不为 
的等比数列．
（ = 1 \* ROMAN I）求 的值；（ = 2 \* ROMAN II）求数列 的通项公式．
18、（本题满分14分）在直角坐标系 
中，以 
为圆心的圆与直线 
相切．
（1）求圆 的方程；
（2）圆 与 轴相交于 
两点，圆内一动点 
使 
成等比数列， 求 
的取值范围．
19、(本题满分14分)已知函数 
的图象关于y轴对称，且满足
. （Ⅰ）求函数 
的解析式；
（Ⅱ） 
，问是否存在 
使F(x)在区间 
上
是减函数，且在区间（－3,0）内是增函数？试证实你的结论。
20、（本题满分14分）如图，甲船以每小时 
海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于 
处时，乙船位于甲船的北偏西 
方向的 
处，此时两船相距 
海里，当甲船航行 分钟到达 
处时，乙船航行到甲船的北偏西 
方向的 
处，此时两船相距 
海里，问乙船每小时航行多少海里？
|
北 |
|
乙 |
|
甲 |
 |
21、（本题满分14分）
已知函数 
（ 
）。
（Ⅰ）若 
且 
，则称 
为 
的实不动点，求 的实不动点；
（Ⅱ）在数列 
中， 
， 
（ 
），求数列 的通项公式。
广东省广州市真光中学、肇庆一中2008届高三第二次联考
数学（理科）参考答案及评分意见
选择题： C D C B A D B C
填空题： 9、 
； 10、-25 ； 11、 259 ； 12、 ①②③ ；
13、 
； 14、 6, 
； 15、 
三、解答题：
16、解：（Ⅰ）若 ，则 
· 
.
整理得 
，解得： 
或 
. ……………4分
（Ⅱ）若 ，则有 
，即 
.
解得： 
或 
. …………………………………8分
当 时， ， 
；
∴ =| 
|=| 
| 
. …………10分
当 时， 
， 
；
∴ =| 
|=| 
| 
. ……12分
17、解：（ = 1 \* ROMAN I） ， 
， 
，因为 
， 
， 
成等比数列，
所以 
， 解得 
或 
． ………4分
当 时， 
，不符合题意舍去，故 ． ………6分
（ = 2 \* ROMAN II）当 
时，由于 
，
，
，
所以 
． ………10分
又 ， ，故 
．
当 
时，上式也成立，所以 
． ………12分
18、解：（1）依题设，圆 的半径 
等于原点 到直线 的距离，
即 
． 得圆 的方程为 
…………5分
（2）不妨设 
．由 
即得: 
． ……6分
设 
，由 成等比数列，得
，即 
． …………………9分
…………………11分
由于点 在圆 内，故 
由此得 
． …………………13分
所以 的取值范围为 
． …………………14分
19.解：（Ⅰ）令x－2＝t，则x＝t＋2 ………………1分
由于 
，
所以 
∴ 
………………3分
∵ 
的图像关于y轴对称 ∴ 
且 
，即 
故 
……………………6分
（Ⅱ）解法一: 
……………………7分
设存在 ，使F(x)满足题目要求，则当－∞＜x1＜x2≤－3时，F(x)是减函数，即 
由假设－x1>－x2≥3＞0， ∴ 
∴ 
… … ①
又 
∴ 
∴ 
要使①式恒成立，只须 
≥0 即 ≤ 
………………10分
又当 
时，F(x)是增函数，
即 F(x1)－F(x2)＜0，也就是 
… … ②
此时 
， 
， 
要使②式恒成立，只须 
≤0 即 ≥ ……………13分
故存在 ＝ 满足题目要求。 ……………14分
（Ⅱ）解法二： 依题意F(－3)是F(x)的极小值， ∴ ……7分
∵ 
，∴ 
，即 
………10分
当 ＝ 时， 
， 
∴当 
时， 
在 上是减函数；当 时， 
是增函数。
故存在 满足题目要求。 …………………14分
|
北 |
|
甲 |
|
乙 |
20、解法一：如图，连结 
，由已知 
，
， ………………2分
又 
，
是等边三角形， 
，………4分
由已知， 
， 
，
在 
中，由余弦定理， ……8分
……………10分
=200 
．
因此，乙船的速度的大小为 （海里/小时）．………………13分
答：乙船每小时航行 海里． ………………14分
解法二：如图，连结 
，由已知 
， ， 
，
|
北 |
|
乙 |
|
甲 |
，
．
在 
中，由余弦定理，
…6分
由正弦定理 
，
，即 
， 
．
在 
中，由已知 
，由余弦定理，
． …12分
乙船的速度的大小为 海里/小时．
答：乙船每小时航行 海里． ………………14分
21．解：（Ⅰ）由题意得: 
………………3分
由 得 : 
或 
（舍去），
所以 
或 
，即 的实不动点为 或 
； ……………6分
（ = 2 \* ROMAN II）由条件得 
…………8分
从而有 
， …………………10分
由此及 
知：数列 
是首项为 
，公比为 
的等比数列，
故有 
（ ）. ………………14分
