高考理科数学第二次调研考试试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．
1、设函数 
的定义域为集合M，集合N＝ 
，则 
（ ）．
A． 
B．N C． 
D．M
2、已知椭圆的长轴长是短轴长的 
倍，则椭圆的离心率等于（ ）．
A． 
B． 
C．
D． 
3、假如执行的程序框图（右图所示），那么输出的 
（ ）．
Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550 Ｄ．2652
4、若曲线 
的一条切线 
与直线 
垂直，则切线
的方程为（ ）．
A、 
B、 
C、 
D、 
5、方程 
有实根的概率为（ ）．
A、 
B、 
C、 
D、 
6、已知 
是平面， 
是直线，则下列命题中不正确的是（ ）．
A、若 
∥ 
，则 
B、若
∥ 
，则
∥ 
C、若 
，则 
∥ 
D、若
，则 
7、一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“ 
”图案，
如图所示，设小矩形的长、宽分别为 
、 
，剪去部分的面积为 
，
若 
，记 
，则
的图象是（ ）．
8、将函数 
的图象先向左平移 
，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的 
倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为（ ）．
A． 
B． 
C． 
D． 
第Ⅱ卷（非选择题，共110分）
二、填空题：本大题共7小题，其中13～15题是选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计算前两题得分．每小题5分，满分30分．
9、已知向量 
， 
，若 
，则实数
的值等于 ．
10、已知 
，则 
= ．
11、 
是虚数单位，则 
．
12、函数 
由下表定义：
若 
， 
， 
，则 
．
13、(坐标系与参数方程选做题)曲线 
： 
上的点到曲线 
： 
上的点的最短距离为 ．
14、(不等式选讲选做题)已知实数 
满足 
，则 
的最大值为 ．
15、(几何证实选讲选做题)如图，平行四边形 
中，
，若 
的面积等于1cm 
,
则
的面积等于 cm
．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证实过程和演算步骤．
16、（本小题满分12分）设正项等比数列 
的前
项和为 
, 已知 
， 
．
（Ⅰ）求首项 
和公比 
的值；
（Ⅱ）若 
，求
的值．
17、（本小题满分12分）设函数 
．
（Ⅰ）求函数
的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）当 
时，
的最大值为2，求 
的值，并求出 
的对称轴方程．
18、（本小题满分14分）一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球．
（Ⅰ）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；
（Ⅱ）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的期望和方差.
（方差： 
）
19、（本小题满分14分）如图，已知四棱锥 
的
底面
是菱形； 
平面
, 
，
点 
为 
的中点．
（Ⅰ）求证： 
平面 
；
（Ⅱ）求二面角 
的正切值．
20、（本小题满分14分）给定圆P: 
及抛物
线S: 
,过圆心 
作直线
,此直线与上述两曲线
的四个交点,自上而下顺次记为 
,假如线
段 
的长按此顺序构成一个等差数列,求直
线
的方程.
21、（本小题满分14分）设M是由满足下列条件的函数
构成的集合：“①方程
有实数根；②函数
的导数 
满足 
”．
（Ⅰ）判定函数 
是否是集合M中的元素，并说明理由；
（Ⅱ）集合M中的元素
具有下面的性质：若
的定义域为D，则对于任意[m，n] 
D，都存在 
[m，n]，使得等式 
成立”，试用这一性质证实：方程 
只有一个实数根；
（Ⅲ）设 
是方程
的实数根，求证：对于
定义域中任意的 
，当 
，且 
时， 
．
参考答案
一、选择题：
1、解析： 
，N＝ 
，
即 
．答案： 
．
2、解析：由题意得 
，又 
．
答案： 
．
3、解析：程序的运行结果是 
．答案： 
．
4、解析：与直线
垂直的切线
的斜率必为4，而 
，所以，切点为 
．切线为 
，即
，答案： 
．
5、解析：由一元二次方程有实根的条件 
，而 
，由几何概率得有实根的概率为
．答案：
．
6、解析：假如两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，所以
正确；假如两个平面与同一条直线垂直，则这两个平面平行，所以
正确；
假如一个平面经过了另一个平面的一条垂线，则这两个平面平行，所以
也正确；
只有
选项错误．答案：
．
7、解析：由题意，得 
，答案：
．
8、解析：
的图象先向左平移 
，横坐标变为原来的
倍 
．答案：
．
二、填空题：
9、解析：若
，则 
，解得 
．
10、解析：由题意 
．
11、解析： 
12、解析：令 
，则 
，令 
，则 
，
令 
，则 
，令 
，则 
，
令 
，则
，令 
，则 
，
…，所以 
．
13、解析：
： 
；则圆心坐标为 
．
： 
由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为 
，所以要求的最短距离为 
．
14、解析：由柯西不等式 
，答案： 
．
15、解析：显然
与
为相似三角形，又 
，所以
的面积等于9cm
．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证实过程和演算步骤．
16、解: (Ⅰ) 
, ……………………… 2分
∴ 
，………………………………………………… 4分
解得 
．………………………………………………………………… 6分
(Ⅱ)由
,得： 
, ……………………… 8分
∴ 
………………………………… 10分
∴ 
．…………………………………………………………… 12分
17、解：（1） 
… 2分
则
的最小正周期 
， …………………………………4分
且当 
时
单调递增．
即 
为
的单调递增区间（写成开区间不扣分）．………6分
（2）当
时 
，当 
，即 
时 
．
所以 
． …………………………9分
为
的对称轴． …………………12分
18、解：
（Ⅰ）解法一：“有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”，
记“有放回摸球两次，两球恰好颜色不同”为事件
，………………………2分
∵“两球恰好颜色不同”共 
种可能，…………………………5分
∴ 
． ……………………………………………………7分
解法二：“有放回摸取”可看作独立重复实验， …………………………2分
∵每次摸出一球得白球的概率为 
．………………………………5分
∴“有放回摸两次，颜色不同”的概率为 
． ……………………………7分
（Ⅱ）设摸得白球的个数为 
，依题意得：
， 
， 
．…………10分
∴ 
，……………………………………12分
．……………………14分
19、(Ⅰ)证实: 连结 
， 
与
交于点 
，连结 
.………………………1分
是菱形, ∴
是
的中点. ………………………………………2分
点
为
的中点, ∴ 
. …………………………………3分
平面 
平面
, ∴
平面
. ……………… 6分
(Ⅱ)解法一:
平面
, 
平面
,∴ 
.
，∴ 
. …………………………… 7分
是菱形, ∴ 
.
，
∴ 
平面 
. …………………………………………………………8分
作 
，垂足为 
，连接 
，则 
,
所以 
为二面角 
的平面角. ………………………………… 10分
,∴ 
， 
.
在Rt△ 
中, 
= 
，…………………………… 12分
∴ 
.…………………………… 13分
∴二面角
的正切值是 
. ………………………… 14分
解法二：如图，以点
为坐标原点，线段 
的垂直平分线所在直线为
轴， 
所在直线为
轴， 
所在直线为 
轴，建立空间直角坐标系，令 
，……………2分
则 
， 
, 
．
∴
． ……………4分
设平面 
的一个法向量为 
,
由
，得 
，
令 
，则 
，∴ 
. …………………7分
平面
,
平面
,
∴
. ………………………………… 8分
，∴
.
是菱形,∴
.
，∴
平面
.…………………………… 9分
∴ 
是平面
的一个法向量, 
．………………… 10分
∴ 
，
∴ 
， …………………… 12分
∴ 
．…………………………………… 13分
∴二面角
的正切值是
. ……………………… 14分
20、解:圆
的方程为 
,则其直径长 
,圆心为 
,设
的方程为 
,即 
,代入抛物线方程得: 
,设 
，
有 
, ………………………………2分
则 
. ……………………4分
故 
…6分
, ………… 7分
因此 
. ………………………………… 8分
据等差, 
\* MERGEFORMAT
, …………… 10分
所以 
\* MERGEFORMAT
，即 
\* MERGEFORMAT
, 
\* MERGEFORMAT
，…………… 12分
即：
方程为 
或 
. …………………14分
21、解：
（1）因为 
， …………………………2分
所以 
，满足条件 
. …………………3分
又因为当 
时， 
，所以方程
有实数根 
．
所以函数
是集合M中的元素． …………………………4分
（2）假设方程
存在两个实数根 
），
则 
，……………………………………5分
不妨设 
，根据题意存在数 
使得等式 
成立， ………………………7分
因为 
，所以 
，与已知
矛盾，
所以方程
只有一个实数根；………………………10分
（3）不妨设 
，因为 
所以
为增函数，所以 
，
又因为 
，所以函数 
为减函数， ……………………11分
所以 
， ………………………………12分
所以 
，即 
， …………13分
所以 
． …14分
