一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．

1、设函数 的定义域为集合M，集合N＝ ，则 （ ）．

A． B．N C． D．M

2、已知椭圆的长轴长是短轴长的 倍，则椭圆的离心率等于（ ）．

A． B． C． D．

3、假如执行的程序框图（右图所示），那么输出的 （ ）．

Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550 Ｄ．2652

4、若曲线 的一条切线 与直线

垂直，则切线 的方程为（ ）．

A、 　 B、

C、 D、

5、方程 有实根的概率为（ ）．

A、 B、 C、 D、

6、已知 是平面， 是直线，则下列命题中不正确的是（ ）．

A、若 ∥ ，则 　 B、若 ∥ ，则 ∥

C、若 ，则 ∥ 　D、若 ，则

7、一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“ ”图案，

如图所示，设小矩形的长、宽分别为 、 ，剪去部分的面积为 ，

若 ，记 ，则 的图象是（ ）．

8、将函数 的图象先向左平移 ，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为（ ）．

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题，共110分）

二、填空题：本大题共7小题，其中13～15题是选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计算前两题得分．每小题5分，满分30分．

9、已知向量 ， ，若 ，则实数 的值等于 ．

10、已知 ，则 = ．

11、 是虚数单位，则 ．

12、函数 由下表定义：

若 ， ， ，则 ．

13、(坐标系与参数方程选做题)曲线 ： 上的点到曲线 ： 上的点的最短距离为 ．

14、(不等式选讲选做题)已知实数 满足 ，则 的最大值为 ．

15、(几何证实选讲选做题)如图，平行四边形 中，

，若 的面积等于1cm ,

则 的面积等于 cm ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证实过程和演算步骤．

16、（本小题满分12分）设正项等比数列 的前 项和为 , 已知 ， ．

（Ⅰ）求首项 和公比 的值；

（Ⅱ）若 ，求 的值．

17、（本小题满分12分）设函数 ．

（Ⅰ）求函数 的最小正周期和单调递增区间；

（Ⅱ）当 时， 的最大值为2，求 的值，并求出 的对称轴方程．

18、（本小题满分14分）一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球．

（Ⅰ）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；

（Ⅱ）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的期望和方差.

（方差： ）

19、（本小题满分14分）如图，已知四棱锥 的

底面 是菱形； 平面 , ，

点 为 的中点．

（Ⅰ）求证： 平面 ；

（Ⅱ）求二面角 的正切值．

20、（本小题满分14分）给定圆P: 及抛物

线S: ,过圆心 作直线 ,此直线与上述两曲线

的四个交点,自上而下顺次记为 ,假如线

段 的长按此顺序构成一个等差数列,求直

线 的方程.

21、（本小题满分14分）设M是由满足下列条件的函数 构成的集合：“①方程 有实数根；②函数 的导数 满足 ”．

（Ⅰ）判定函数 是否是集合M中的元素，并说明理由；

（Ⅱ）集合M中的元素 具有下面的性质：若 的定义域为D，则对于任意[m，n] D，都存在 [m，n]，使得等式 成立”，试用这一性质证实：方程 只有一个实数根；

（Ⅲ）设 是方程 的实数根，求证：对于 定义域中任意的 ，当 ，且 时， ．

参考答案

一、选择题：

1、解析： ，N＝ ，

即 ．答案： ．

2、解析：由题意得 ，又 ．

答案： ．

3、解析：程序的运行结果是 ．答案： ．

4、解析：与直线 垂直的切线 的斜率必为4，而 ，所以，切点为 ．切线为 ，即 ，答案： ．

5、解析：由一元二次方程有实根的条件 ，而 ，由几何概率得有实根的概率为 ．答案： ．

6、解析：假如两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，所以 正确；假如两个平面与同一条直线垂直，则这两个平面平行，所以 正确；

假如一个平面经过了另一个平面的一条垂线，则这两个平面平行，所以 也正确；

只有 选项错误．答案： ．

7、解析：由题意，得 ，答案： ．

8、解析： 的图象先向左平移 ，横坐标变为原来的 倍 ．答案： ．

二、填空题：

9、解析：若 ，则 ，解得 ．

10、解析：由题意 ．

11、解析：

12、解析：令 ，则 ，令 ，则 ，

令 ，则 ，令 ，则 ，

令 ，则 ，令 ，则 ，

…，所以 ．

13、解析： ： ；则圆心坐标为 ．

： 由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为 ，所以要求的最短距离为 ．

14、解析：由柯西不等式 ，答案： ．

15、解析：显然 与 为相似三角形，又 ，所以 的面积等于9cm ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证实过程和演算步骤．

16、解: (Ⅰ) , ……………………… 2分

∴ ，………………………………………………… 4分

解得 ．………………………………………………………………… 6分

(Ⅱ)由 ,得： , ……………………… 8分

∴ ………………………………… 10分

∴ ．…………………………………………………………… 12分

17、解：（1） … 2分

则 的最小正周期 ， …………………………………4分

且当 时 单调递增．

即 为 的单调递增区间（写成开区间不扣分）．………6分

（2）当 时 ，当 ，即 时 ．

所以 ． …………………………9分

为 的对称轴． …………………12分

18、解：

（Ⅰ）解法一：“有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”，

记“有放回摸球两次，两球恰好颜色不同”为事件 ，………………………2分

∵“两球恰好颜色不同”共 种可能，…………………………5分

∴ ． ……………………………………………………7分

解法二：“有放回摸取”可看作独立重复实验， …………………………2分

∵每次摸出一球得白球的概率为 ．………………………………5分

∴“有放回摸两次，颜色不同”的概率为 ． ……………………………7分

（Ⅱ）设摸得白球的个数为 ，依题意得：

， ， ．…………10分

∴ ，……………………………………12分

．……………………14分

19、(Ⅰ)证实: 连结 ， 与 交于点 ，连结 .………………………1分

是菱形, ∴ 是 的中点. ………………………………………2分

点 为 的中点, ∴ . …………………………………3分

平面 平面 , ∴ 平面 . ……………… 6分

(Ⅱ)解法一:

平面 , 平面 ,∴ .

，∴ . …………………………… 7分

是菱形, ∴ .

，

∴ 平面 . …………………………………………………………8分

作 ，垂足为 ，连接 ，则 ,

所以 为二面角 的平面角. ………………………………… 10分

,∴ ， .

在Rt△ 中, = ，…………………………… 12分

∴ .…………………………… 13分

∴二面角 的正切值是 . ………………………… 14分

解法二：如图，以点 为坐标原点，线段 的垂直平分线所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，令 ，……………2分

则 ， , ．

设平面 的一个法向量为 ,

由 ，得 ，

令 ，则 ，∴ . …………………7分

平面 , 平面 ,

∴ . ………………………………… 8分

，∴ .

是菱形,∴ .

，∴ 平面 .…………………………… 9分

∴ 是平面 的一个法向量, ．………………… 10分

∴ ，

∴ ， …………………… 12分

∴ ．…………………………………… 13分

∴二面角 的正切值是 . ……………………… 14分

20、解:圆 的方程为 ,则其直径长 ,圆心为 ,设 的方程为 ,即 ,代入抛物线方程得: ,设 ，

有 , ………………………………2分

则 . ……………………4分

故 …6分

, ………… 7分

因此 . ………………………………… 8分

据等差, \* MERGEFORMAT , …………… 10分

所以 \* MERGEFORMAT ，即 \* MERGEFORMAT , \* MERGEFORMAT ，…………… 12分

即： 方程为 或 . …………………14分

21、解：

（1）因为 ， …………………………2分

所以 ，满足条件 . …………………3分

又因为当 时， ，所以方程 有实数根 ．

所以函数 是集合M中的元素． …………………………4分

（2）假设方程 存在两个实数根 ），

则 ，……………………………………5分

不妨设 ，根据题意存在数

使得等式 成立， ………………………7分

因为 ，所以 ，与已知 矛盾，

所以方程 只有一个实数根；………………………10分

（3）不妨设 ，因为 所以 为增函数，所以 ，

又因为 ，所以函数 为减函数， ……………………11分

所以 ， ………………………………12分

所以 ，即 ， …………13分

所以 ． …14分