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二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分。） 11、 13、1； 14 、720； 15、②④； 三、解答题：（本大题共6小题，共75分。） 16、（本小题满分12分） 解：(I) 当 x = EQ \F(p,6) 时，cos <a,c> = EQ \F(a·c,| a |·| c |) ………… 1分 = EQ \F(－cos x,\R(cos 2 x sin 2 x)×\R((－1) 2 0 2)) ………… 2分 = －cos x = －cos EQ \F(p,6) = cos EQ \F(5p,6) ………… 3分 ∵ 0≤<a,c>≤p， ………… 4分 ∴ <a,c> = EQ \F(5p,6) ………… 5分 (II) f (x) = 2a·b 1 = 2 (－cos 2 x sin x cos x) 1 ………… 6分 = 2 sin x cos x－(2cos 2 x－1) ………… 7分 = sin 2x－cos 2x ………… 8分 = EQ \R(2) sin (2x－ EQ \F(p,4) ) ………… 9分 ∵ x∈[ EQ \F(p,2) , EQ \F(9p,8) ]，∴ 2x－ EQ \F(p,4) ∈[ EQ \F(3p,4) ,2p]， ………… 10分 故 sin (2x－ EQ \F(p,4) )∈[－1, EQ \F(\R(2),2) ] ………… 11分 ∴ 当 2x－ EQ \F(p,4) = EQ \F(3p,4) ，即 x = EQ \F(p,2) 时，f (x)max = 1 ………… 12分 17、（本小题满分12分） 解：(I) n = 1 时，2·a1 = S1 = 3,∴a1 = EQ \F(3,2) ; …………2分 当 n≥2 时，2 n·an = Sn－Sn－1 = －6，∴ an = EQ \F(－6,2 n) . 又 EQ \F(3,2) ≠ EQ \F(－6,2) …………4分 ∴ 通项公式an = EQ \B\LC\{(\A\al( EQ \F(3,2) ，(n = 1), －\F(6,2 n)，(n≥2),)) …………6分 (II)当 n = 1 时，b1 = 2－log 2 EQ \F(1,2) = 3，∴ T1 = EQ \F(1,b1) = EQ \F(1,3) ； …………8分 n≥2时， bn = n·(2－log 2 EQ \F(6,3·2 n) ) = n·(n 1)， ∴ EQ \F(1,bn) = EQ \F(1,n(n 1)) …………10分 ∴ Tn = EQ \F(1,b1) EQ \F(1,b2) … EQ \F(1,bn) = EQ \F(1,3) EQ \F(1,2×3) EQ \F(1,3×4) … EQ \F(1,n(n 1)) = EQ \F(5,6) － EQ \F(1,n 1) ∴ Tn = EQ \F(5,6) － EQ \F(1,n 1) …………12分
解：（Ⅰ）∵ B1D⊥平面ABC， AC ∴ B1D⊥AC, 又AC⊥BC, ∴ AC⊥平面BB (Ⅱ) ∵ AC⊥平面BB 只须B ∴ 平行四边形BB 又∵ B1D⊥BC, 要使D为BC中点，只须B ∵ B1D⊥平面ABC，且D落在BC上， ∴ ∠B1BC即为侧棱与底面所成的角． 故当α=60°时，AB1⊥BC1，且使D为BC中点…………………… 8分 （Ⅲ）过C1作C1E⊥BC于E，则C1E⊥平面ABC． 过E作EF⊥AB于F，C ∴∠C1FE是所求二面角C1—AB—C的平面角．………………… 10分 设AC=BC=AA1=a， 在Rt△CC1E中，由∠C1BE=α= 在Rt△BEF中，∠EBF=45°，EF= ∴∠C1FE=45°，故所求的二面角C1—AB—C为45°．………… 12分 解法二：（1）同解法一 ……………… 3分 （Ⅱ）要使AB1⊥BC1，D是BC的中点，即 ∴ ∴ ∵ B1D⊥平面ABC，且D落在BC上， …………………… 7分 ∴ ∠B1BC即为侧棱与底面所成的角． 故当α=60°时，AB1⊥BC1，且D为BC中点． …………………8分 （Ⅲ）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，经过C点且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，则A（a，0，0），B（0，a，0），C（0，－ 平面ABC的法向量n1=（0，0，1），设平面ABC1的法向量n2=（x，y，z）． 由 eq \b\lc\{(\a\al(－x＋y=0，,－ eq \f(4,3) y＋ eq \f(2 eq \r(2) ,3) z=0 .)) ∴n2=（ cos<n1, n2>＝ eq \f(1, eq \r( eq \f(1,2) eq \f(1,2) 1) ) = eq \f( eq \r(2) ,2) ， 故n1 , n2所成的角为45°，即所求的二面角为45°．……………………12分 19、（本小题满分12分） 解：(I) x 的所有可能取值为3400，2400，1400，400.………………2分 (II) P(x = 3400) = ( EQ \F(4,5) ) 3 = EQ \F(64,125) ……………………4分 P(x = 2400) = C31( EQ \F(1,5) ) ( EQ \F(4,5) ) 2 = EQ \F(48,125) ………………6分 P(x = 1400) = C32( EQ \F(1,5) ) 2 ( EQ \F(4,5) ) = EQ \F(12,125) ………………8分 P(x = 400) = C33( EQ \F(1,5) ) 3 = EQ \F(1,125) ……………………10分 x 的分布列为
| x
| 3400
| 2400
| 1400
| 400
| P
| EQ \F(64,125)
| EQ \F(48,125)
| EQ \F(12,125)
| EQ \F(1,125) |
……………………………………10分 
20、（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设 
由 
由 
① 2×③ ②，并整理，得 
这表明点 
（Ⅱ）同（Ⅰ）所设，由 
当点 
即 
将①②③三式代入上式，得 
21、（本小题满分14分）
解：(I) 由题意得 f (e) = pe－ EQ \F(q,e) －2ln e = qe－ EQ \F(p,e) －2 ………… 1分
Þ (p－q) (e EQ \F(1,e) ) = 0 ………… 2分
而 e EQ \F(1,e) ≠0，∴ p = q ……………………………………………………3分
(II)由(I)知 f (x) = px－ EQ \F(p,x) －2ln x
f ' (x) = p EQ \F(p,x 2) － EQ \F(2,x) = EQ \F(px 2－2x p,x 2) ……………………4分
令 h(x) = px 2－2x p，要使 f (x) 在其定义域 (0, ¥) 内为单调函数，只需 h(x) 在 (0, ¥) 内满足：h(x)≥0 或 h(x)≤0 恒成立. ……………………5分
= 1 \* GB3 ① 当 p = 0时， h(x) = －2x，∵ x > 0，∴ h(x) < 0，∴ f ' (x) = － EQ \F(2x,x 2) < 0，
∴ f (x) 在 (0, ¥) 内为单调递减，故 p = 0适合题意. ………………………….6分
= 2 \* GB3 ② 当 p > 0时，h(x) = px 2－2x p，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为 x = EQ \F(1,p) ∈(0, ¥)，∴ h(x)min = p－ EQ \F(1,p)
只需 p－ EQ \F(1,p) ≥0，即 p≥1 时 h(x)≥0，f ' (x)≥0，
∴ f (x) 在 (0, ¥) 内为单调递增，
故 p≥1适合题意. ……………………………………………7分
= 3 \* GB3 ③当 p < 0时，h(x) = px 2－2x p，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为 x = EQ \F(1,p) Ï (0, ¥).
只需 h(0)≤0，即 p≤0时 h(x)≤0在 (0, ¥)恒成立.
故 p < 0适合题意. ……………………8分
综上可得， p≥1或 p≤0. ……………………………………………9分
另解：(II) 由 (I) 知 f (x) = px－ EQ \F(p,x) －2ln x
f’(x) = p EQ \F(p,x 2) － EQ \F(2,x) = p (1 EQ \F(1,x 2) )－ EQ \F(2,x)
要使 f (x) 在其定义域 (0, ¥) 内为单调函数，只需 f’(x) 在 (0, ¥) 内满足：f’(x)≥0 或 f’(x)≤0 恒成立.
由 f’(x)≥0 Û p (1 EQ \F(1,x 2) )－ EQ \F(2,x) ≥0 Û p≥ EQ \F(2,x \F(1,x)) Û p≥( EQ \F(2,x \F(1,x)) )max，x > 0
∵ EQ \F(2,x \F(1,x)) ≤ EQ \F(2,2\R(x· \F(1,x))) = 1，且 x = 1 时等号成立，故 ( EQ \F(2,x \F(1,x)) )max = 1
∴ p≥1
由 f’(x)≤0 Û p (1 EQ \F(1,x 2) )－ EQ \F(2,x) ≤0 Û p≤ EQ \F(2x,x 2 1) Û p≤( EQ \F(2x,x 2 1) )min，x > 0
而 EQ \F(2x,x 2 1) > 0 且 x → 0 时， EQ \F(2x,x 2 1) → 0，故 p≤0
综上可得，p≥1或 p≤0
(III) ∵ g(x) = EQ \F(2e,x) 在 [1,e] 上是减函数
∴ x = e 时，g(x)min = 2，x = 1 时，g(x)max = 2e
即 g(x) Î [2,2e] ………… 10分
① p≤0 时，由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 递减 Þ f (x)max = f (1) = 0 < 2，不合题意。 …… 11分
② 0 < p < 1 时，由x Î [1,e] Þ x－ EQ \F(1,x) ≥0
∴ f (x) = p (x－ EQ \F(1,x) )－2ln x≤x－ EQ \F(1,x) －2ln x
右边为 f (x) 当 p = 1 时的表达式，故在 [1,e] 递增
∴ f (x)≤x－ EQ \F(1,x) －2ln x≤e－ EQ \F(1,e) －2ln e = e－ EQ \F(1,e) －2 < 2，不合题意。…… 12分
③ p≥1 时，由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 连续递增，f (1) = 0 < 2，又g(x) 在 [1,e] 上是减函数
∴ 本命题 Û f (x)max > g(x)min = 2，x Î [1,e]
Þ f (x)max = f (e) = p (e－ EQ \F(1,e) )－2ln e > 2
Þ p > EQ \F(4e,e 2－1) （∵ EQ \F(4e,e 2－1) >1） ………… 13分
综上，p 的取值范围是 ( EQ \F(4e,e 2－1) , ¥) ………… 14分
| |
，则此球体的表面积为（ ）
已知斜三棱柱ABC—A1B
=0，∴ 
