公开课优质课高考理科数学模拟考试题卷-数高考考试比赛获奖作品

高考理科数学模拟考试题卷

第Ⅰ卷（选择题共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请把答案填在第II卷指定的位置上）

1. 已知集合则（）

（A）（B）（C）（D）

2. 假如（m ）（1 mi）是实数，则实数m =（）

（A）1 （B）-1 （C）（D） -

3. 某球与一个120°的二面角的两个面相切于A、B，且A、B间的球面距离为，则此球体的表面积为（）

（A）（B）（C）（D）

4. 函数的反函数是（）

（A）（B）

（C）（D）

5. 已知P是以F1、F2为焦点的椭圆上一点，若 =0， =2，则椭圆的离心率为（）

（A）（B）（C）（D）

6. 已知函数y=sinx-cosx,给出以下四个命题,其中正确的命题是（）

（A）若x [ , ],则y [0, ]

（B）在区间[ ]上是增函数

（C）直线是函数图像的一条对称轴

（D）函数的图像可由函数的图像向左平移个单位得到．

7. 已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足： = 0，若实数满足：，则的值为（）

（A）3 （B）（C）2 （D）8

8. 在等差数列中，为的前项和，若，则（）

（A）3 （B） 2 （C）（D）

9．过抛物线y2 = 2ρx (ρ＞0 )上一定点M ( x0,y0 ) ( y0≠0 )，作两条直线分别交抛物线于A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 )，当MA与MB的斜率存在且倾斜角互补时，则 = （）

A．–2 B． 2 C．4 D．– 4

10．三位同学在研究函数 f (x) = EQ \F(x,1 | x |) (x∈R) 时，分别给出下面三个结论：
① 函数 f (x) 的值域为 (－1,1)
② 若x1≠x2，则一定有f (x1)≠f (x2)
③ 若规定 f1(x) = f (x)，fn 1(x) = f [ fn(x)]，则 fn(x) = EQ \F(x,1 n | x |) 对任意 n∈N* 恒成立.
你认为上述三个结论中正确的个数有（）
(A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

二、填空题：本大题共5小题；每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上

11．设常数展开式中的系数为则 = ______

12. 一样本的所有数据分组及频数如下：

则在的频率为

13．设ｆ(x)= x2 ax b，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则点(a，b)在aOb平面上的区域面积是

14．将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4个不同盒子中的3个中，使得有1个空盒且其它盒子中球的颜色齐全的不同放法共有种.（用数字作答）

15．给出下列四个命题：

①过平面外一点，作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条；

②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行；

③对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有唯一的一个平面与这两条异面直线都平行；

④对两条异面的直线，都存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等；

其中正确的命题序号为（请把所有正确命题的序号都填上）．

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证实过程或演算步骤）

16.(本小题满分12分)

已知向量 a = (cos x,sin x)，b = (－cos x,cos x)，c = (－1,0)

(I) 若 x = EQ \F(p,6) ，求向量 a、c 的夹角；

(II) 当 x∈[ EQ \F(p,2) , EQ \F(9p,8) ] 时，求函数 f (x) = 2a·b 1 的最大值。

17．已知数列 {2 n•an} 的前 n 项和 Sn = 9－6n.

(I) 求数列 {an} 的通项公式；

(II) 设 bn = n·(2－log 2 EQ \F(| an |,3) )，求数列 { EQ \F(1,bn) } 的前 n 项和Tn.

18．（本小题满分12分）

已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面是直角三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的角为α（0°＜α＜90°），点

在底面上的射影

落在

上．

（Ⅰ）求证：AC⊥平面BB1C1C；

（Ⅱ）当α为何值时，AB1⊥BC1，且使D恰为BC中点？

（Ⅲ）若α = arccos eq \f(1,3) ，且AC=BC=AA1时,求二面角C1—AB—C的大小．

19．(本小题满分12分)

某家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可以获得奖券一张. 每张奖券中奖的概率为 EQ \F(1,5) ，若中奖，则家具城返还顾客现金1000元. 某顾客购买一张价格为3400元的餐桌，得到3张奖券. 设该顾客购买餐桌的实际支出为 x (元).

(I) 求 x 的所有可能取值；

(II) 求 x 的分布列和期望。

20．（本小题共13分）已知是双曲线上两点，为原点，直线的斜率之积

（Ⅰ）设，证实当运动时，点恒在另一双曲线上；

（Ⅱ）设，是否存在不同时为零的实数，使得点在题设双曲线的渐近线上，证实你的结论.

21．（本小题满分14分）

设 f (x) = px－ EQ \F(q,x) －2 ln x，且 f (e) = qe－ EQ \F(p,e) －2（e为自然对数的底数）.

(I) 求 p 与 q 的关系；

(II) 若 f (x) 在其定义域内为单调函数，求 p 的取值范围；

(III)设 g(x) = EQ \F(2e,x) ，若在 [1,e] 上至少存在一点x0，使得 f (x0) > g(x0) 成立, 求实数 p 的取值范围.

08年高考理科数学模拟考试题卷

参考答案

一、选择题：（本大题共10个小题；每小题5分，共50分。）

题号

答案

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分。）

11、； 12、；

13、1； 14 、720； 15、②④；

三、解答题：（本大题共6小题，共75分。）

16、（本小题满分12分）

解：(I) 当 x = EQ \F(p,6) 时，cos <a,c> = EQ \F(a·c,| a |·| c |) ………… 1分

= EQ \F(－cos x,\R(cos 2 x sin 2 x)×\R((－1) 2 0 2)) ………… 2分

= －cos x = －cos EQ \F(p,6) = cos EQ \F(5p,6) ………… 3分

∵ 0≤<a,c>≤p， ………… 4分

∴ <a,c> = EQ \F(5p,6) ………… 5分

(II) f (x) = 2a·b 1 = 2 (－cos 2 x sin x cos x) 1 ………… 6分

= 2 sin x cos x－(2cos 2 x－1) ………… 7分

= sin 2x－cos 2x ………… 8分

= EQ \R(2) sin (2x－ EQ \F(p,4) ) ………… 9分

∵ x∈[ EQ \F(p,2) , EQ \F(9p,8) ]，∴ 2x－ EQ \F(p,4) ∈[ EQ \F(3p,4) ,2p]， ………… 10分

故 sin (2x－ EQ \F(p,4) )∈[－1, EQ \F(\R(2),2) ] ………… 11分

∴ 当 2x－ EQ \F(p,4) = EQ \F(3p,4) ，即 x = EQ \F(p,2) 时，f (x)max = 1 ………… 12分

17、（本小题满分12分）

解：(I) n = 1 时，2·a1 = S1 = 3,∴a1 = EQ \F(3,2) ; …………2分

当 n≥2 时，2 n·an = Sn－Sn－1 = －6，∴ an = EQ \F(－6,2 n) . 又 EQ \F(3,2) ≠ EQ \F(－6,2) …………4分

∴ 通项公式an = EQ \B\LC\{(\A\al( EQ \F(3,2) ，(n = 1), －\F(6,2 n)，(n≥2),)) …………6分

(II)当 n = 1 时，b1 = 2－log 2 EQ \F(1,2) = 3，∴ T1 = EQ \F(1,b1) = EQ \F(1,3) ； …………8分

n≥2时， bn = n·(2－log 2 EQ \F(6,3·2 n) ) = n·(n 1)， ∴ EQ \F(1,bn) = EQ \F(1,n(n 1)) …………10分

∴ Tn = EQ \F(1,b1) EQ \F(1,b2) … EQ \F(1,bn) = EQ \F(1,3) EQ \F(1,2×3) EQ \F(1,3×4) … EQ \F(1,n(n 1)) = EQ \F(5,6) － EQ \F(1,n 1)

∴ Tn = EQ \F(5,6) － EQ \F(1,n 1) …………12分

18、（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵ B1D⊥平面ABC， AC 平面ABC，

∴ B1D⊥AC, 又AC⊥BC, BC∩B1D=D．

∴ AC⊥平面BB1C1C． …………………… 3分

(Ⅱ) ∵ AC⊥平面BB1C1C ，要使AB1⊥BC1 ，由三垂线定理可知，

只须B1C⊥BC1， ………………………… 5 分

∴ 平行四边形BB1C1C为菱形，此时，BC=BB1．

又∵ B1D⊥BC, 要使D为BC中点，只须B1C= B1B，即△BB1C为正三角形， ∴ ∠B1BC= 60°． ………………………… 7分

∵ B1D⊥平面ABC，且D落在BC上，

∴ ∠B1BC即为侧棱与底面所成的角．

故当α=60°时，AB1⊥BC1，且使D为BC中点…………………… 8分

（Ⅲ）过C1作C1E⊥BC于E，则C1E⊥平面ABC．

过E作EF⊥AB于F，C1F，由三垂线定理，得C1F⊥AB．

∴∠C1FE是所求二面角C1—AB—C的平面角．………………… 10分

设AC=BC=AA1=a，

在Rt△CC1E中，由∠C1BE=α= ，C1E= a．

在Rt△BEF中，∠EBF=45°，EF= BE= a．

∴∠C1FE=45°，故所求的二面角C1—AB—C为45°．………… 12分

解法二：（1）同解法一 ……………… 3分

（Ⅱ）要使AB1⊥BC1，D是BC的中点，即 =0，||=||，

∴ ， =0，∴ ．

∴ ，故△BB1C为正三角形，∠B1BC=60°；

∵ B1D⊥平面ABC，且D落在BC上， …………………… 7分

∴ ∠B1BC即为侧棱与底面所成的角．

故当α=60°时，AB1⊥BC1，且D为BC中点． …………………8分

（Ⅲ）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，经过C点且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，则A（a，0，0），B（0，a，0），C（0，－， a），

平面ABC的法向量n1=（0，0，1），设平面ABC1的法向量n2=（x，y，z）．

由 n2=0，及 n2=0，得

eq \b\lc\{(\a\al(－x＋y=0，,－ eq \f(4,3) y＋ eq \f(2 eq \r(2) ,3) z=0 .)) ∴n2=（，，1）．………………10分

cos<n1, n2>＝ eq \f(1, eq \r( eq \f(1,2) eq \f(1,2) 1) ) = eq \f( eq \r(2) ,2) ，

故n1 , n2所成的角为45°，即所求的二面角为45°．……………………12分

19、（本小题满分12分）

解：(I) x 的所有可能取值为3400，2400，1400，400.………………2分

(II) P(x = 3400) = ( EQ \F(4,5) ) 3 = EQ \F(64,125) ……………………4分

P(x = 2400) = C31( EQ \F(1,5) ) ( EQ \F(4,5) ) 2 = EQ \F(48,125) ………………6分

P(x = 1400) = C32( EQ \F(1,5) ) 2 ( EQ \F(4,5) ) = EQ \F(12,125) ………………8分

P(x = 400) = C33( EQ \F(1,5) ) 3 = EQ \F(1,125) ……………………10分

x 的分布列为

3400

2400

1400

400

EQ \F(64,125)

EQ \F(48,125)

EQ \F(12,125)

EQ \F(1,125)

……………………………………10分 ……12分

20、（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）设，由，得

由在双曲线上，有

①

②…………………………………………2分

由，即，得

， ③………………………………………4分

① 2×③ ②，并整理，得

这表明点恒在双曲线上.……………………………6分

（Ⅱ）同（Ⅰ）所设，由，得

当点在双曲线的渐近线上，有

即，亦即

…………………10分

将①②③三式代入上式，得，从而因此，不存在不同时为零的实数，使得点在题设双曲线的渐近线上.…………………13分

21、（本小题满分14分）

解：(I) 由题意得 f (e) = pe－ EQ \F(q,e) －2ln e = qe－ EQ \F(p,e) －2 ………… 1分

Þ (p－q) (e EQ \F(1,e) ) = 0 ………… 2分

而 e EQ \F(1,e) ≠0，∴ p = q ……………………………………………………3分

(II)由(I)知 f (x) = px－ EQ \F(p,x) －2ln x

f ' (x) = p EQ \F(p,x 2) － EQ \F(2,x) = EQ \F(px 2－2x p,x 2) ……………………4分

令 h(x) = px 2－2x p，要使 f (x) 在其定义域 (0, ¥) 内为单调函数，只需 h(x) 在 (0, ¥) 内满足：h(x)≥0 或 h(x)≤0 恒成立. ……………………5分

= 1 \* GB3 ① 当 p = 0时， h(x) = －2x，∵ x > 0，∴ h(x) < 0，∴ f ' (x) = － EQ \F(2x,x 2) < 0，

∴ f (x) 在 (0, ¥) 内为单调递减，故 p = 0适合题意. ………………………….6分

= 2 \* GB3 ② 当 p > 0时，h(x) = px 2－2x p，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为 x = EQ \F(1,p) ∈(0, ¥)，∴ h(x)min = p－ EQ \F(1,p)

只需 p－ EQ \F(1,p) ≥0，即 p≥1 时 h(x)≥0，f ' (x)≥0，

∴ f (x) 在 (0, ¥) 内为单调递增，

故 p≥1适合题意. ……………………………………………7分

= 3 \* GB3 ③当 p < 0时，h(x) = px 2－2x p，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为 x = EQ \F(1,p) Ï (0, ¥).

只需 h(0)≤0，即 p≤0时 h(x)≤0在 (0, ¥)恒成立.

故 p < 0适合题意. ……………………8分

综上可得， p≥1或 p≤0. ……………………………………………9分

另解：(II) 由 (I) 知 f (x) = px－ EQ \F(p,x) －2ln x

f’(x) = p EQ \F(p,x 2) － EQ \F(2,x) = p (1 EQ \F(1,x 2) )－ EQ \F(2,x)

要使 f (x) 在其定义域 (0, ¥) 内为单调函数，只需 f’(x) 在 (0, ¥) 内满足：f’(x)≥0 或 f’(x)≤0 恒成立.

由 f’(x)≥0 Û p (1 EQ \F(1,x 2) )－ EQ \F(2,x) ≥0 Û p≥ EQ \F(2,x \F(1,x)) Û p≥( EQ \F(2,x \F(1,x)) )max，x > 0

∵ EQ \F(2,x \F(1,x)) ≤ EQ \F(2,2\R(x· \F(1,x))) = 1，且 x = 1 时等号成立，故 ( EQ \F(2,x \F(1,x)) )max = 1

∴ p≥1

由 f’(x)≤0 Û p (1 EQ \F(1,x 2) )－ EQ \F(2,x) ≤0 Û p≤ EQ \F(2x,x 2 1) Û p≤( EQ \F(2x,x 2 1) )min，x > 0

而 EQ \F(2x,x 2 1) > 0 且 x → 0 时， EQ \F(2x,x 2 1) → 0，故 p≤0

综上可得，p≥1或 p≤0

(III) ∵ g(x) = EQ \F(2e,x) 在 [1,e] 上是减函数

∴ x = e 时，g(x)min = 2，x = 1 时，g(x)max = 2e

即 g(x) Î [2,2e] ………… 10分

① p≤0 时，由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 递减 Þ f (x)max = f (1) = 0 < 2，不合题意。 …… 11分

② 0 < p < 1 时，由x Î [1,e] Þ x－ EQ \F(1,x) ≥0

∴ f (x) = p (x－ EQ \F(1,x) )－2ln x≤x－ EQ \F(1,x) －2ln x

右边为 f (x) 当 p = 1 时的表达式，故在 [1,e] 递增

∴ f (x)≤x－ EQ \F(1,x) －2ln x≤e－ EQ \F(1,e) －2ln e = e－ EQ \F(1,e) －2 < 2，不合题意。…… 12分

③ p≥1 时，由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 连续递增，f (1) = 0 < 2，又g(x) 在 [1,e] 上是减函数

∴ 本命题 Û f (x)max > g(x)min = 2，x Î [1,e]

Þ f (x)max = f (e) = p (e－ EQ \F(1,e) )－2ln e > 2

Þ p > EQ \F(4e,e 2－1) （∵ EQ \F(4e,e 2－1) >1） ………… 13分

综上，p 的取值范围是 ( EQ \F(4e,e 2－1) , ¥) ………… 14分

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