高考数学（文理科）模拟卷(三)

命题人：王小华 校对：张小松、熊远城 编审：高三数学组

第(Ⅰ)卷 (选择题 共60分)

一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求)

1.(文)从 名女生, 名男生中选出 名学生组成课外小组,假如按性别比例分层抽样,则不同的

抽样方法种数为( B ).

A. B. C. D.

(理)已知 为虚数单位,则 ( B ).

A. B. C. D.

2.已知正数 、 满足 , ,则 ( C ).

A. B. C. D.不存在

周长

频率/组距

0.01

0.02

0.04

3.为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中 株树木的底部周长(单位： ).根据所得数据

画出样本的频率分布直方图（如右），那么在这 株

树木中,底部周长小于 的株数是( C ).

A. B. C. D.

4.数列 满足： ,且对任意的 都有：

,则

( D )

A. B. C. D.

5.已知 展开式中有连续三项之比为 ,且展开式的倒数第二项为 ,则 的值

为( D ).

A. B. C. D. 或 .

6.函数 为常数),若 在 上有最大值 ,则 在

上有( C ).

A.最大值 B.最小值 C.最小值 D.最大值

7.点 是椭圆 上的任意一点, 是椭圆的两个焦点,且 ,

则该椭圆的离心率的取值范围是( A ).

A. B. C. D.

8.已知二面角 \* MERGEFORMAT 是直二面角, ,设 与 \* MERGEFORMAT 所成的角分别是 \* MERGEFORMAT ,

则( C ).

A. B. C. D.

A.

B.

C.

D.

9.函数 的图象大致是( C ).

10.篮球比赛进攻的一方由组织后卫把球传给其他四个队友中的任何一个,接着由拿球者再传给其他

四人中的任何人,这样共传 次,则第 次球回到后卫手中传球的概率为( C ).

A. B. C. D.

11.半径为 的球面上有 、 、 、 四点,且 , , 两两互相垂直,则 、 、

面积之和 的最大值为( C ).

A. B. C. D.

12.将正奇数按下表排成 列：

第 列

第 列

第 列

第 列

第 列

第 行

第 行

第 行

第 行

则 将在( D ).

A.第 行,第 列 B.第 行,第 列 C.第 行,第 列 D.第 行,第 列

第(Ⅱ)卷 (非选择题 共90分)

二.填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上)

13.函数 在区间 上存在反函数的充分必要条件是 .

14.设 是异面直线,给出下列四个命题：①存在平面 ,使 ；②存在惟一平面

,使 与 距离相等；③空间存在直线 ,使 上任一点到 距离相等；④夹在异面直线

间的三条异面线段的中点不能共线.

2,4,6

其中正确命题的个数有 .①②③

15.按下列程序框图来计算：

假如 ,应该运算 次才停止.

16.直线 过点 ,若可行域 的外接圆直径为 .则实数

的值是 .

参考答案

一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.每小题只有一项符合要求)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

C

C

D

D

C

A

C

C

C

C

D

二.填空题(每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上)

13. 14.①②③ 15. 16.

三.解答题(本大题6个小题,共74分,解答题应写出文字说明、证实过程或演算步骤)

17.(本小题满分12分)

设函数 图象的一条对称轴是直线 .

⑴求 ； ⑵求函数 的单调增区间；

⑶画出函数 在区间 上的图象.

解：⑴∵ 是函数 的图像的对称轴,∴ ,∴ .

.∵ ,∴ .

⑵由⑴知 ,由题意得 ,

∴函数 的单调增区间 .

⑶由

18.(本小题共12分) (文)某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不

合格”,两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”,甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概

率分别为 ；在实验考核中合格的概率分别为 ,所有考核是否合格相互之间没

有影响.

(Ⅰ)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；

(Ⅱ)求这三人该课程考核都合格的概率.(结果保留三位小数)

解：记“甲理论考核合格”为事件 ；“乙理论考核合格”为事件 ；“丙理论考核合格”为事件 ；

记 为 的对立事件, ；记“甲实验考核合格”为事件 ；“乙实验考核合格”为事件 ；

“丙实验考核合格”为事件 .

(Ⅰ)记“理论考核中至少有两人合格”为事件 ,记 为 的对立事件.

解法 ：

.

解法 ：

. ∴理论考核中至少有两人合格的概率为 .

(Ⅱ)记“三人该课程考核都合格”为事件 .

.

∴这三人该课程考核都合格的概率为 .

(理)某城市有甲、乙、丙 个旅游景点,一位客人游览这三个景点的概率分别是 , , ,且

客人是否游览哪个景点互不影响,设 表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点

数之差的绝对值.

(Ⅰ)求 的分布及数学期望；

(Ⅱ)记“函数 在区间 上单调递增”为事件 ,求事件的概率.

解：(Ⅰ)分别记“客人游览甲景点”,“客人游览乙景点”,“客人游览丙景点”为事件 .

由已知 相互独立, , , .客人游览的景点数的可能取值

为 .相应地,客人没有游览的景点数的可能取值为 ,∴ 的可能取值为1，3.

∴ 的分布列为

.

(Ⅱ) 的可能取值为 .当 时,函数 在区间 上单调递增,

当 时,函数 在区间 上不单调递增.∴ .

19.(本题满分12分)(文)已知函数 .

(Ⅰ)求 ； (Ⅱ)若 ,函数 的图象能否总在直线 的下方?说明理由.

(Ⅲ)若函数 在 上是增函数, 是方程 的一个根.求证： .

解：(文) (Ⅰ) .

(Ⅱ) 时, ,令 得 .由于 , ,

∴函数 的图象不能总在直线 的下方.

(Ⅲ)因函数 在 上是增函数,∴ 在区间 上恒成立,即 在

区间 上恒成立,∴ ,又由 得 ,而 ,

即 .

(理)已知函数 是定义在 上的奇函数,当 时, .

(Ⅰ)求 的解析式； (Ⅱ)试确定函数 的单调区间,并证实你的结论；

(Ⅲ)若 ,且 ,证实： .

(理)解：(Ⅰ)当 时, .设 ,则 ,∴

,∵ 是奇函数,∴ ,故 .

(Ⅱ)设 是区间 上的任意两个实数,且

则 ,当 时,

,而 及 ,∴ ,即 在 上

为减函数.同理,当 , ,即 在 上为增函数.

(Ⅲ)∵ ,∴ 同号,先证实 均为正数.∵ 在 是增函数,由 得

,又 ,∴ ,∴ .

∵ ,∴ .且 ,即 ,∴ ,

.

若 均为负数, ,则 .已知 在 上是增函数,

,又 ,∴

∴ , ,∴ .

20.(本小题共12分)已知斜三棱柱 , , , 在底面 上

的射影恰为 的中点 ,又知 .

(Ⅰ)求证： 平面 ； (Ⅱ)求 到平面 的距离；

(Ⅲ)求二面角 的大小.

解法 ：(Ⅰ)∵ 平面 ,∴平面 平面 ,又 ,∴ 平面 ,

得 ,又 ,∴ 平面 .

(Ⅱ)∵ ,四边形 为菱形,故 ,又 为

中点,知∴ .取 中点 ,则 平面 ,

从而面 面 ,过 作 于 ,则 面 ,

在 中, ,故 ,即 到

平面 的距离为 .

(Ⅲ)过 作 于 ,连 ,则 ,从而

为二面角 的平面角,在 中, ,

∴ ,在 中, ,故二面角 的大小为 .

解法 ：(Ⅰ)如图,取 的中点 ,则 ,∵ ,∴ ,

又 平面 ,以 为 轴建立空间坐标系,

则 , , , , , ,

, ,由 ,知 ,

又 ,从而 平面 .

(Ⅱ)由 ,得 .设平面 的法向量

为 , , , ,设 ,则 .

∴点 到平面 的距离 .

(Ⅲ)设面 的法向量为 , , ,∴ .

设 ,则 ,故 ,根据法向量的方向

可知二面角 的大小为 .

21.(本小题满分12分)设 \* MERGEFORMAT 、 \* MERGEFORMAT 分别为椭圆 \* MERGEFORMAT 的左、右顶点,椭圆长半轴的长等

于焦距,且 \* MERGEFORMAT 为它的右准线.

⑴求椭圆的方程；

⑵设 \* MERGEFORMAT 为右准线上不同于点 \* MERGEFORMAT 的任意一点,若直线 \* MERGEFORMAT 、 \* MERGEFORMAT

分别与椭圆相交于异于 、 的点 、 ,证实：点 在以

\* MERGEFORMAT 为直径的圆内.

解：⑴依题意得 , \* MERGEFORMAT ,解得 ,从而 \* MERGEFORMAT .故椭圆的方程为 \* MERGEFORMAT .

⑵解法 ：由⑴得 , , .∵M点在椭圆上,∴ \* MERGEFORMAT ①.又点 异于

点 、 ,∴ ,由 三点共线得 \* MERGEFORMAT .∴ , ,

∴ ②.将①代入②,化简得 .

∵ ,∴ \* MERGEFORMAT ,则 为锐角,∴ 为钝角,故点 在以 为直径的圆内.

解法 ：由⑴得 , ,设 .则 , .又 的中点

为 \* MERGEFORMAT ,依题意,点 到圆心 的距离与半径的差

③.又直线 ： ,

直线 ： ,而两直线 与 的交点 在准线 上,∴ ,即

\* MERGEFORMAT ④.又点M在椭圆上，则 \* MERGEFORMAT ，即 \* MERGEFORMAT ⑤.于是将④、⑤

代入③,化简后可得 \* MERGEFORMAT .从而,点 在以 为直径的圆内.

22.(本小题满分14分)(文)已知数列 满足 ,且对一切 ,有 ,其中 .

(Ⅰ)求数列 的通项公式； (Ⅱ)求证： .

解：(文)(Ⅰ)由 ① 得 ② ②-①得

,∵ , ∴ .

由 ,得 ,两式相减,得 .

∵ ,∴ .当 时易得, , ,∴ .

从而 是等差数列,其首项为 ,公差 ,故 .

(Ⅱ) .

(理)已知数列 中, \* MERGEFORMAT , .

⑴求 \* MERGEFORMAT 及通项 \* MERGEFORMAT ；

⑵设数列 \* MERGEFORMAT 满足 \* MERGEFORMAT ，求证： \* MERGEFORMAT .

解：⑴ , \* MERGEFORMAT ①； ②

① ②得 ,即 , \* MERGEFORMAT ,

∴ \* MERGEFORMAT .∴ \* MERGEFORMAT .

⑵由⑴得, \* MERGEFORMAT ,∴ 是单调递增数列.

故要证 ,只需证 .若 \* MERGEFORMAT ,则 \* MERGEFORMAT 显然成立.

若 \* MERGEFORMAT ,则 .∴ .

因此, , ∴ ,故 \* MERGEFORMAT .