∴ 的分布列为

.

(Ⅱ) 的可能取值为 .当 时,函数 在区间 上单调递增,

当 时,函数 在区间 上不单调递增.∴ .

19.(本题满分12分)(文)已知函数 .

(Ⅰ)求 ； (Ⅱ)若 ,函数 的图象能否总在直线 的下方?说明理由.

(Ⅲ)若函数 在 上是增函数, 是方程 的一个根.求证： .

解：(文) (Ⅰ) .

(Ⅱ) 时, ,令 得 .由于 , ,

∴函数 的图象不能总在直线 的下方.

(Ⅲ)因函数 在 上是增函数,∴ 在区间 上恒成立,即 在

区间 上恒成立,∴ ,又由 得 ,而 ,

即 .

(理)已知函数 是定义在 上的奇函数,当 时, .

(Ⅰ)求 的解析式； (Ⅱ)试确定函数 的单调区间,并证实你的结论；

(Ⅲ)若 ,且 ,证实： .

(理)解：(Ⅰ)当 时, .设 ,则 ,∴

,∵ 是奇函数,∴ ,故 .

(Ⅱ)设 是区间 上的任意两个实数,且

则 ,当 时,

,而 及 ,∴ ,即 在 上

为减函数.同理,当 , ,即 在 上为增函数.

(Ⅲ)∵ ,∴ 同号,先证实 均为正数.∵ 在 是增函数,由 得

,又 ,∴ ,∴ .

∵ ,∴ .且 ,即 ,∴ ,

.

若 均为负数, ,则 .已知 在 上是增函数,

,又 ,∴

∴ , ,∴ .

20.(本小题共12分)已知斜三棱柱 , , , 在底面 上

的射影恰为 的中点 ,又知 .

(Ⅰ)求证： 平面 ； (Ⅱ)求 到平面 的距离；

(Ⅲ)求二面角 的大小.

解法 ：

得 ,又 ,∴ 平面 .

(Ⅱ)∵ ,四边形 为菱形,故 ,又 为

中点,知∴ .取 中点 ,则 平面 ,

从而面 面 ,过 作 于 ,则 面 ,

平面 的距离为 .

(Ⅲ)过 作 于 ,连 ,则 ,从而

为二面角 的平面角,在 中, ,

解法 ：(Ⅰ)如图,取 的中点 ,则 ,∵ ,∴ ,

又 平面 ,以 为 轴建立空间坐标系,

则 , , , , , ,

, ,由 ,知 ,

又 ,从而 平面 .

(Ⅱ)由 ,得 .设平面 的法向量

为 , , , ,设 ,则 .

∴点 到平面 的距离 .

(Ⅲ)设面 的法向量为 , , ,∴ .

设 ,则 ,故 ,根据法向量的方向

可知二面角 的大小为 .

于焦距,且 \* MERGEFORMAT 为它的右准线.

⑴求椭圆的方程；

⑵设 \* MERGEFORMAT 为右准线上不同于点 \* MERGEFORMAT 的任意一点,若直线 \* MERGEFORMAT 、 \* MERGEFORMAT

分别与椭圆相交于异于 、 的点 、 ,证实：点 在以

\* MERGEFORMAT 为直径的圆内.

解：⑴依题意得 , \* MERGEFORMAT ,解得 ,从而 \* MERGEFORMAT .故椭圆的方程为 \* MERGEFORMAT .

⑵解法 ：由⑴得 , , .∵M点在椭圆上,∴ \* MERGEFORMAT ①.又点 异于

点 、 ,∴ ,由 三点共线得 \* MERGEFORMAT .∴ , ,

∴ ②.将①代入②,化简得 .

∵ ,∴ \* MERGEFORMAT ,则 为锐角,∴ 为钝角,故点 在以 为直径的圆内.

解法 ：由⑴得 , ,设 .则 , .又 的中点

为 \* MERGEFORMAT ,依题意,点 到圆心 的距离与半径的差

③.又直线 ： ,

直线 ： ,而两直线 与 的交点 在准线 上,∴ ,即

\* MERGEFORMAT ④.又点M在椭圆上，则 \* MERGEFORMAT ，即 \* MERGEFORMAT ⑤.于是将④、⑤

代入③,化简后可得 \* MERGEFORMAT .从而,点 在以 为直径的圆内.

22.(本小题满分14分)(文)已知数列 满足 ,且对一切 ,有 ,其中 .

(Ⅰ)求数列 的通项公式； (Ⅱ)求证： .

解：(文)(Ⅰ)由 ① 得 ② ②-①得

,∵ , ∴ .

由 ,得 ,两式相减,得 .

∵ ,∴ .当 时易得, , ,∴ .

从而 是等差数列,其首项为 ,公差 ,故 .

(Ⅱ) .

(理)已知数列 中, \* MERGEFORMAT , .

⑴求 \* MERGEFORMAT 及通项 \* MERGEFORMAT ；

⑵设数列 \* MERGEFORMAT 满足 \* MERGEFORMAT ，求证： \* MERGEFORMAT .

解：⑴ , \* MERGEFORMAT ①； ②

① ②得 ,即 , \* MERGEFORMAT ,

∴ \* MERGEFORMAT .∴ \* MERGEFORMAT .

⑵由⑴得, \* MERGEFORMAT ,∴ 是单调递增数列.

故要证 ,只需证 .若 \* MERGEFORMAT ,则 \* MERGEFORMAT 显然成立.

若 \* MERGEFORMAT ,则 .∴ .

因此, , ∴ ,故 \* MERGEFORMAT .