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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
1、复数 
的实部是（ B ）
A、 
B、 
C、 
D、 
2、函数 
的定义域为（ C ）
A、 
B、 
C、 
D、 
3、原命题：“设 
，若 
则 
”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有（ B ）
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
4、设向量 
，则 
等于（ C ）
A、 
B、 
C、 
D、 
4．若 
是两条不同的直线，
是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）
A．若 
，则 
B．若 
， 
，则 
C．若 
，
，则 
D．若 
， 
，则 
 6、函数
的图象大致是（ A ）
A、 B、 C、 D、
7、已知椭圆的中心为原点，离心率 
，且它的一个焦点与抛物线 
的焦点重合，则此椭圆方程为（ A ）
A、 
B、 
C、 
D、
8、对任意实数 
，定义运算 
，其中 
是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算。已知 
，并且有一个非零常数 
，使得对任意实数 
，都有 
，则
的值是（ C ）
A、 
B、 
C、
D、 
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．
9、如右下图给出一个程序框图，其运行结果是 。
 10．若 
的展开式各项系数和为64，则展开式中的常数项为 。
11．一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位：㎝），
则该几何体的表面积是 ，体积是 .
12．在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断,设第ｎ件首饰为 
，则 
_ 
_____________ (结果用 
表示)
13．（坐标系与参数方程选做题）以极坐标系中的点 
为圆心，1为半径的圆的方程是 ；
 14．（不等式选讲选做题）不等式 
的解集是 ；
15．（几何证实选讲选做题）
则 
_______.
答题卷
一、选择题：（共8小题，每小题5分，共计40分）
二、填空题：（共6小题，每小题5分，共计30分）
9． 10．
11． 12．
13． 14． 15．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证实过程和演算步骤．
16．（满分12分）在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，已知 
，且最长边的边长为l.求： （I）角C的大小； （II）△ABC最短边的长.
17．（本小题满分12分）一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球．（Ⅰ）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求:(1)两球恰好颜色不同的概率；（Ⅱ）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的期望和方差.（方差： 
）
18．（本小题满分14分）
如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D为AC的中点.
（Ⅰ）求证：AB1//面BDC1；
（Ⅱ）求二面角C1—BD—C的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱AA1上是否存在点P，
使得CP⊥面BDC1？并证实你的结论.
19.(本题满分14分)已知函数 
.
(1)求 
在 
上的最大值,最小值( 
是自然对数的底);
(2)当 
时,试讨论方程 
的解的个数.
20．（本小题满分14分）已知动圆过定点 
，且与直线 
相切.
(1) 求动圆的圆心轨迹 
的方程；
(2) 是否存在直线 
，使
过点（0，1），并与轨迹
交于 
两点，且满足 
？若存在，求出直线
的方程；若不存在，说明理由.
21．（本题满分14分）
已知数列 {an}、{bn} 满足：a1 = EQ \F(1,4) ，an bn = 1，bn 1 = EQ \F(bn,1－an2)
(1) 求证 bn 1 = EQ \F(1,2－bn) ；并求b1, b2, b3, b4的值；
(2) 求数列 {bn} 的通项公式；
(3) 设 Sn = a1a2 a2a3 a3a4 … anan 1，求实数a为何值时 4aSn < bn 恒成立.
答案
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证实过程和演算步骤．
16．（满分12分）在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，已知
，且最长边的边长为l.求： （I）角C的大小； （II）△ABC最短边的长.
解：（I）tanC＝tan[π－（A＋B）]＝－tan（A＋B） 
∵ 
， ∴ 
……………………5分
（II）∵0<tanB<tanA，∴A、B均为锐角, 则B<A，又C为钝角，
∴最短边为b ，最长边长为c……………………7分
由 
，解得 
……………………9分
由 
，∴ 
………………12分
17．（本小题满分12分）一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球．（Ⅰ）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求:(1)两球恰好颜色不同的概率；（Ⅱ）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的期望和方差.（方差：
）
解：
（Ⅰ）解法一：“有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”，
记“有放回摸球两次，两球恰好颜色不同”为事件 
，…………2分
∵“两球恰好颜色不同”共 
种可能，………5分
∴ 
．…………7分
解法二：“有放回摸取”可看作独立重复实验， …………2分
∵每次摸出一球得白球的概率为 
．…………5分
∴“有放回摸两次，颜色不同”的概率为 
． ………7分
（Ⅱ）设摸得白球的个数为 
，依题意得：
， 
， 
．…………10分
∴ 
，……12分
．…………14分
18．（本小题满分14分）
如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D为AC的中点.
（Ⅰ）求证：AB1//面BDC1；
（Ⅱ）求二面角C1—BD—C的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱AA1上是否存在点P，
使得CP⊥面BDC1？并证实你的结论.
（I）证实：
连接B1C，与BC1相交于O，连接OD
∵BCC1B1是矩形，
∴O是B1C的中点.
又D是AC的中点，
∴OD//AB1.………………………………………………2分
∵AB1 
面BDC1，OD 
面BDC1，
∴AB1//面BDC1.…………………………………………4分
（II）解：如力，建立空间直角坐标系，则
C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），
D（1，3，0）……………………5分
设 
=（x1，y1，z1）是面BDC1的一个法向量，则
即 
.…………6分
易知 
=(0，3，0)是面ABC的一个法向量.
.…………………………8分
∴二面角C1—BD—C的余弦值为 
.………………………………9分
（III）假设侧棱AA1上存在一点P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC1.
则 
∴方程组无解.
∴假设不成立.……………………………………………………11分
∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1.…………………12分
19.(本题满分14分)
已知函数
.
(1)求
在
上的最大值,最小值(
是自然对数的底);
(2)当
时,试讨论方程
的解的个数.
解:(1) 
因为 
,所以 
,
所以 
在
上单调递减,
所以当 
时,
取得最大值 
;当 
时,
取得最小值 
.
(2) 
即
.
|
O 1 x
| | 设 
,
,
,令 
得 
.
由图象得:①当 
时,原方程有2个解;
②当 
时,原方程有3个解;
③当 
时,原方程有4个解;
④当 
时,原方程有2个解;
⑤当 
时,原方程无解.
20．（本小题满分14分）
已知动圆过定点
，且与直线
相切.
(1) 求动圆的圆心轨迹
的方程；
(2) 是否存在直线
，使
过点（0，1），并与轨迹
交于
两点，且满足
？若存在，求出直线
的方程；若不存在，说明理由.
19．（本小题满分14分）
 解：（1）如图，设 
为动圆圆心， 
，过点
作直线 
的垂线，垂足为 
，由题意知： 
…………………2分
即动点
到定点
与到定直线
的距离相等，
由抛物线的定义知，点
的轨迹为抛物线，其中 
为焦点，
为准线， ……………………………………3分
∴动圆圆心的轨迹方程为 
……………………………………5分
（2）解法一：由题可设直线
的方程为 
由 
得 
△ 
， 
…………7分
设 
， 
，则 
， 
……………………………………………9分
由
，即 
， 
，于是 
， ……11分
即 
， 
，
，解得 
或 
（舍去） …………………………………13分
又 
， ∴ 直线
存在，其方程为 
……………………………14分
解法二：显然直线的斜率存在，由题可设直线
的方程为 
由 
得 
……………………………………7分
设
，
，则 
， 
…………………………………9分
由
，即
，
，于是
， ……11分
即 
， 
，
，解得 
……………………………13分
∴ 直线
存在，其方程为
……………………………14分
21．（本题满分14分）
已知数列 {an}、{bn} 满足：a1 = EQ \F(1,4) ，an bn = 1，bn 1 = EQ \F(bn,1－an2)
(1) 求证 bn 1 = EQ \F(1,2－bn) ；并求b1, b2, b3, b4的值；
(2) 求数列 {bn} 的通项公式；
(3) 设 Sn = a1a2 a2a3 a3a4 … anan 1，求实数a为何值时 4aSn < bn 恒成立.
20. 解：(1) bn 1 = EQ \F(bn,(1－an) (1 an)) = EQ \F(bn,bn (2－bn)) = EQ \F(1,2－bn)
∵ a1 = EQ \F(1,4) ,b1 = EQ \F(3,4) ∴ b2 = EQ \F(4,5) ,b3 = EQ \F(5,6) ,b4 = EQ \F(6,7) （4分）
(2) ∵ bn 1－1 = EQ \F(1,2－bn) －1 ∴ EQ \F(1,bn 1－1) = EQ \F(2－bn,bn－1) = －1 EQ \F(1,bn－1)
∴ 数列{ EQ \F(1,bn－1) }是以－4为首项，－1为公差的等差数列
∴ EQ \F(1,bn－1) = －4－(n－1) = －n－3
∴ bn = 1－ EQ \F(1,n 3) = EQ \F(n 2,n 3) （8分）
(3) an = 1－bn = EQ \F(1,n 3)
∴ Sn = a1a2 a2a3 … anan 1 = EQ \F(1,4×5) EQ \F(1,5×6) … EQ \F(1,(n 3)(n 4)) = EQ \F(1,4) － EQ \F(1,n 4)
= EQ \F(n,4 (n 4))
∴ 4aSn－bn = EQ \F(an,n 4) － EQ \F(n 2,n 3) = EQ \F((a－1) n 2 (3a－6) n－8,(n 3) (n 4))
由条件可知 (a－1)n 2 (3a－6)n－8<0恒成立即可满足条件设
f (n) = (a－1)n 2 3(a－2)n－8 （11分）
a = 1时， f (n) = －3n－8<0恒成立
a > 1 时，由二次函数的性质知不可能成立
a < 1 时，对称轴 － EQ \F(3,2) · EQ \F(a－2,a－1) = － EQ \F(3,2) (1－ EQ \F(1,a－1) )<0
f (n) 在 (－¥,1] 为单调递减函数.
f (1) = (a－1)n 2 (3a－6)n－8 = (a－1) (3a－6)－8 = 4a－15<0
∴ a < EQ \F(15,4) ∴a < 1 时 4aSn<b恒成立
综上知：a≤1时，4aSn < b 恒成立（14分）
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