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一. 选择题（每小题5分，共60分）
1．复数 
在映射 
下的象是 
，则 
的原象是（ ）
A． 
B. 
C. 
D. 2
2．已知随机变量 
，若 
，则 
（ ）
Ａ.0 B.1 C.2 D.4
3.已知 
、 
是不同的两个平面，直线 
，直线 
，命题 
： 
与 
没有公共点；命题 
： 
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．三棱锥 
中， 
、 
、 
两两互相垂直，且 
， 
，则空间一点 
到点 
、 
、 
、 
等距离 
的值是 ( )
A． 
B． 
C． 
D． 
5. 已知
为直角坐标系原点，
、 
的坐标均满足不等式组 
，则
的最小值等于( )
A．
B．
C． 
D．0
6.已知 
， 
若 
为满足 
的一随机整数，则 
是直角三角形的概率是 ( )
A． 
B． 
C． 
D． 
7. 数列 
满足： 
， 
且 
对于任何的正整数 
成立，则 
的值为（ ）
A．5032 B．5044 C．5048 D．5050
8.若函数 
的导数是 
，则函数 
的的单调递减区间是 ( )
A． 
B． 
C． 
D． 
9. 有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2个人就坐，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2个人不左右相邻，那么不同的坐法种数是( )
A．234 B．346 C．350 D．363
10. 若 
，则常数
、
的值为( )
A． 
B． 
C． 
D． 
11. 曲线 
与直线 
有两个公共点，则实数
的取值范围是（ ）
A． 
B． 
C． 
D． 
12．函数 
的最大值与最小值依次为 
、 
，则（ ）
Ａ． 
Ｂ． 
Ｃ． 
Ｄ． 
二、填空题：(每小题4分，共16分)
 13.已知
是双曲线 
右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为 
，设 
、 
分别为左、右焦点，若 
，则 
.
14.如图，在
中，设 
， 
， 
的中点为
， 
的中点为 
， 
的中点为
，则用 
、 
表示 
的式子为 .
15.已知一个半径为 
的球中有一个各棱长都相等的正三棱柱，则这个正三棱柱的体积是 .
16. 曲线 
上的点到原点的距离的最小值是 .
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）
17.(本小题满分12分)
已知向量 
， 
，其中
为坐标原点.
（1）若 
，求向量 
与 
的夹角.
（2）若 
对任意实数
、
都成立，求实数 
的取值范围.
18．(本小题满分12分)最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万元钱进行投资理财，提出了三种方案：
第一种方案：李师傅的儿子认为，根据股市收益大的特点，应该将10万全部用来买股票，据分析猜测：投资股市一年可能获利 
，也可能亏损 
（只有这两种可能），且获利的概率为
.
第二种方案：李师傅认为，现在股市风险大，基金风险较小，应该将10万全部用来买基金，据分析猜测：投资基金一年后可能获利
，可能亏损 
，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 
、 
、
.
第三种方案：：李师傅的妻子认为，投资股市、基金均有风险，应该将10万全部存入银行一年，现在存款年利率为 
，存款利息税率为 
.
针对上述三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方案，并说明理由.
19．(本小题满分12分)已知椭圆
的焦点在 
轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 
的焦点，椭圆的离心率等于 
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）过椭圆
的右焦点 
作直线 
交椭圆于
、
两点，交 
轴于点
，若 
， 
，求证： 
为定值.
20．(本小题满分12分)如图，直三棱柱 
中， 
， 
， 
， 
为棱 
上的一动点，
、
分别为 
、 
的重心.
（1）求证： 
；
（2）若二面角 
的大小为 
，求点 
到平面 
的距离.
 （3）若点
在
上的射影正好为
，试判定点
在
上的射影是否为
，并说明理由．
21．(本小题满分12分)
已知 
是定义在上的奇函数，当 
时， 
， 
.
（1）求
的解析式；
（2）求实数
，使得当 
时，
的最小值是3.
（3）设 
， 
，求证：当 
时， 
．
22. (本小题满分14分)
已知 
.
（1）设 
展开式中
项的系数为 
，求
；
（2）设
展开式中 
项的系数为 
，求证： 
；
（3）是否存在常数
、
，使 
对一切 
， 
恒成立？假如存在，求出的值；假如不存在，说明理由
参考答案
一. 选择题（每小题5分，共60分）
|
题号 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
答案 |
D |
B |
B |
C |
A |
C |
B |
C |
B |
C |
B |
B |
二、填空题：(每小题4分，共16分)
13、5； 14、 
15、 
16、 
三、解答题
17、（1）当 
时，向量
与 
的夹角为 
当 
时，向量
与
的夹角为 
（2）
对任意
、
恒成立，即 
对任意
、
恒成立，所以 
或 
，解得 
或 
，故所求实数
的取值范围是 
。
18、若按方案一，设收益为 
万元，则其分布列为
(万元)
若按方案二，设收益为 
万元，则其分布列为
(万元)
若按方案三，收益 
(万元)
，又
，可知 
，这说明虽然方案一、二收益相等，但方案二更稳妥，所以建议李师傅家选择方案二投资较合理。
19、（1）椭圆的方程为 
（2）设点A、B、M的坐标分别为 
，易知点F的坐标为 
，将A的坐标代入椭圆方程得 
，
同理可得 
，则 
是方程 
的两根，
故 
（定值）。
20、（1）连结DM、DN并延长，分别AB、A1B1交于点P、Q，连结PQ， 
， 
（2） 
即为二面角
的平面角，
到平面
的距离为 
（3）
在平面
的射影为
。
21、（1） 
（2） 
，当 
即 
时，由于
，则 
，故函数 
在 
上单调递增，所以 
，
由 
得 
（舍去）；当 
即 
时，函数
在 
上递减，在 
上递增，所以 
，得 
综上可知，存在实数
，使得当
时，
的最小值是3.
（3）因为 
与 
都是偶函数，所以只要证实
时，
成立即可，证实如下：
当
且
时， 
， 
，
设 
，
，
在 
上递减，在 
上递增
，则 
又
， 
当
时 
， 
递减
，而
故当
时，
22、（1） 
（2）设 
，则 
，
又 
（3）假设存在 
满足题设条件，则 
，即 
，即 
由 
得 
从而 
代入上式得 
；
猜想 
，以下用数学归纳法证实从略。
|
