一.　选择题（每小题5分，共60分）

1．复数 在映射 下的象是 ，则 的原象是（ ）

A．　 　 B. 　　　C. 　 D. 2

2．已知随机变量 ，若 ，则 （　）

Ａ.0 B.1 C.2 D.4

3.已知 、 是不同的两个平面，直线 ，直线 ，命题 ： 与 没有公共点；命题 ： ，则 是 的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．三棱锥 中， 、 、 两两互相垂直，且 ， ，则空间一点 到点 、 、 、 等距离 的值是 ( )

A． B． C． D．

5. 已知 为直角坐标系原点， 、 的坐标均满足不等式组 ，则

的最小值等于( )

A． B． C． D．0

6.已知 ， 若 为满足 的一随机整数，则 是直角三角形的概率是 ( )

A． B． C． D．

7. 数列 满足： ， 且 对于任何的正整数 成立，则 的值为（ ）

A．5032 B．5044 C．5048 D．5050

8.若函数 的导数是 ，则函数 的的单调递减区间是 ( )

A． B． C． D．

9. 有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2个人就坐，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2个人不左右相邻，那么不同的坐法种数是( )

A．234 B．346 C．350 D．363

10. 若 ，则常数 、 的值为( )

A． B． C． D．

11. 曲线 与直线 有两个公共点，则实数 的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

12．函数 的最大值与最小值依次为 、 ，则（　　）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

二、填空题：(每小题4分，共16分)

C

A

B

P

Q

R

13.已知 是双曲线 右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为 ，设 、 分别为左、右焦点，若 ，则 .

14.如图，在 中，设 ， ， 的中点为 ， 的中点为 ， 的中点为 ，则用 、 表示 的式子为 .

15.已知一个半径为 的球中有一个各棱长都相等的正三棱柱，则这个正三棱柱的体积是 .

16. 曲线 上的点到原点的距离的最小值是 .

三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）

17.(本小题满分12分)

已知向量 ， ，其中 为坐标原点.

（1）若 ，求向量 与 的夹角.

（2）若 对任意实数 、 都成立，求实数 的取值范围.

18．(本小题满分12分)最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万元钱进行投资理财，提出了三种方案：

第一种方案：李师傅的儿子认为，根据股市收益大的特点，应该将10万全部用来买股票，据分析猜测：投资股市一年可能获利 ，也可能亏损 （只有这两种可能），且获利的概率为 .

第二种方案：李师傅认为，现在股市风险大，基金风险较小，应该将10万全部用来买基金，据分析猜测：投资基金一年后可能获利 ，可能亏损 ，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 、 、 .

第三种方案：：李师傅的妻子认为，投资股市、基金均有风险，应该将10万全部存入银行一年，现在存款年利率为 ，存款利息税率为 .

针对上述三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方案，并说明理由.

19．(本小题满分12分)已知椭圆 的焦点在 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点，椭圆的离心率等于 .

（1）求椭圆 的方程；

（2）过椭圆 的右焦点 作直线 交椭圆于 、 两点，交 轴于点 ，若 ， ，求证： 为定值.

20．(本小题满分12分)如图，直三棱柱 中， ， ， ， 为棱 上的一动点， 、 分别为 、 的重心.

（1）求证： ；

（2）若二面角 的大小为 ，求点 到平面 的距离.

A

C

B

A1

B1

D

M

N

C1

（3）若点 在 上的射影正好为 ，试判定点 在 上的射影是否为 ，并说明理由．

21．(本小题满分12分)

已知 是定义在上的奇函数，当 时， ， .

（1）求 的解析式；

（2）求实数 ，使得当 时， 的最小值是3.

（3）设 ， ，求证：当 时， ．

22. (本小题满分14分)

已知 .

（1）设 展开式中 项的系数为 ，求 ；

（2）设 展开式中 项的系数为 ，求证： ；

（3）是否存在常数 、 ，使 对一切 ， 恒成立？假如存在，求出的值；假如不存在，说明理由

参考答案

一.　选择题（每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

D

B

B

C

A

C

B

C

B

C

B

B

二、填空题：(每小题4分，共16分)

13、5； 14、 15、 16、

三、解答题

17、（1）当 时，向量 与 的夹角为

当 时，向量 与 的夹角为

（2） 对任意 、 恒成立，即 对任意 、 恒成立，所以 或 ，解得 或 ，故所求实数 的取值范围是 。

4

-2

18、若按方案一，设收益为 万元，则其分布列为

(万元)

若按方案二，设收益为 万元，则其分布列为

2

0

-1

(万元)

若按方案三，收益 (万元)

，又

，可知 ，这说明虽然方案一、二收益相等，但方案二更稳妥，所以建议李师傅家选择方案二投资较合理。

19、（1）椭圆的方程为

（2）设点A、B、M的坐标分别为 ，易知点F的坐标为 ，将A的坐标代入椭圆方程得 ，

同理可得 ，则 是方程 的两根，

故 （定值）。

20、（1）连结DM、DN并延长，分别AB、A1B1交于点P、Q，连结PQ，

，

（2） 即为二面角 的平面角， 到平面 的距离为

（3） 在平面 的射影为 。

21、（1）

（2） ，当 即 时，由于 ，则 ，故函数 在 上单调递增，所以 ，

由 得 （舍去）；当 即 时，函数 在 上递减，在 上递增，所以 ，得

综上可知，存在实数 ，使得当 时， 的最小值是3.

（3）因为 与 都是偶函数，所以只要证实 时， 成立即可，证实如下：

当 且 时， ， ，

设 ，

， 在 上递减，在 上递增

，则

又 ， 当 时 ， 递减

，而

故当 时，

22、（1）

（2）设 ，则 ，

又

（3）假设存在 满足题设条件，则 ，即

，即

由 得 从而 代入上式得 ；

猜想 ，以下用数学归纳法证实从略。