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三角函数式的化简与求值
三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生把握化简和求值问题的解题规律和途径，非凡是要把握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.
●难点磁场
(★★★★★)已知 
＜β＜α＜ 
,cos(α－β)= 
,sin(α β)=－ 
,求sin2α的值_________.
●案例探究
［例1］不查表求sin220° cos280° 
cos20°cos80°的值.
命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目.
知识依托：熟知三角公式并能灵活应用.
错解分析：公式不熟，计算易出错.
技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会.
解法一：sin220° cos280°
sin220°cos80°
= 
(1－cos40°)
(1 cos160°)
sin20°cos80°
=1－
cos40°
cos160°
sin20°cos(60° 20°)
=1－
cos40°
(cos120°cos40°－sin120°sin40°)
sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)
=1－
cos40°－ 
cos40°－ 
sin40°
sin40°－ 
sin220°
=1－ 
cos40°－
(1－cos40°)=
解法二：设x=sin220° cos280°
sin20°cos80°
y=cos220° sin280°－
cos20°sin80°，则
x y=1 1－
sin60°=
，x－y=－cos40° cos160°
sin100°
=－2sin100°sin60°
sin100°=0
∴x=y=
，即x=sin220° cos280°
sin20°cos80°=
.
［例2］设关于x的函数y=2cos2x－2acosx－(2a 1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=
的a值，并对此时的a值求y的最大值.
命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目
知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题.
错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错.
技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等.
解：由y=2(cosx－ 
)2－ 
及cosx∈［－1，1］得：
f(a)
∵f(a)=
,∴1－4a=
a= 
［2, ∞ 
故－ 
－2a－1=
，解得：a=－1，此时，
y=2(cosx
)2
，当cosx=1时，即x=2kπ，k∈Z，ymax=5.
［例3］已知函数f(x)=2cosxsin(x 
)－
sin2x sinxcosx
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值；
(3)若当x∈［ 
， 
］时，f(x)的反函数为f－1(x)，求f-－1(1)的值.
命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力，属★★★★★级题目.
知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识.
错解分析：在求f-－1(1)的值时易走弯路.
技巧与方法：等价转化，逆向思维.
解：(1)f(x)=2cosxsin(x
)－
sin2x sinxcosx
=2cosx(sinxcos
cosxsin
)－
sin2x sinxcosx
=2sinxcosx
cos2x=2sin(2x
)
∴f(x)的最小正周期T=π
(2)当2x
=2kπ－
，即x=kπ－ 
(k∈Z)时，f(x)取得最小值－2.
(3)令2sin(2x
)=1，又x∈［ 
］,
∴2x
∈［
, 
］,∴2x
= 
，则
x= 
，故f-－1(1)=
.
●锦囊妙计
本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：
1.求值问题的基本类型：1°给角求值，2°给值求值，3°给式求值，4°求函数式的最值或值域，5°化简求值.
2.技巧与方法：
1°要寻求角与角关系的非凡性，化非特角为非凡角，熟练准确地应用公式.
2°注重切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用.
3°对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法.
4°求最值问题，常用配方法、换元法来解决.
●歼灭难点练习
一、选择题
1.(★★★★★)已知方程x2 4ax 3a 1=0(a＞1)的两根均tanα、tanβ，且α，β∈
(－ 
)，则tan 
的值是( )
A.
B.－2 C. 
D.
或－2
二、填空题
2.(★★★★)已知sinα=
，α∈(
，π)，tan(π－β)=
，则tan(α－2β)=_________.
3.(★★★★★)设α∈( 
)，β∈(0，
)，cos(α－
)=
，sin(
β)= 
，则sin(α β)=_________.
三、解答题
4.不查表求值: 
5.已知cos(
x)=
，( 
＜x＜ 
)，求 
的值.
6.(★★★★★)已知α－β= 
π，且α≠kπ(k∈Z).求 
的最大值及最大值时的条件.
 7.(★★★★★)如右图，扇形OAB的半径为1，中心角60°，四边形PQRS是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P的位置，并求此最大面积.
8.(★★★★★)已知cosα sinβ=
，sinα cosβ的取值范围是D，x∈D，求函数y= 
的最小值，并求取得最小值时x
的值.
参考答案
难点磁场
解法一：∵ 
＜β＜α＜ 
,∴0＜α－β＜ 
.π＜α β＜
,
∴sin(α－β)= 
∴sin2α=sin［(α－β) (α β)］
=sin(α－β)cos(α β) cos(α－β)sin(α β)
解法二：∵sin(α－β)=
,cos(α β)=－ 
,
∴sin2α sin2β=2sin(α β)cos(α－β)=－ 
sin2α－sin2β=2cos(α β)sin(α－β)=－ 
∴sin2α= 
歼灭难点练习
一、1.解析：∵a＞1，tanα tanβ=－4a＜0.
tanα tanβ=3a 1＞0,又α、β∈(－
,
)∴α、β∈(－
,θ),则
∈(－
,0),又tan(α β)= 
,
整理得2tan2 
=0.解得tan 
=－2.
答案：B
2.解析：∵sinα=
,α∈(
,π),∴cosα=－
则tanα=－
,又tan(π－β)=
可得tanβ=－
,
答案： 
3.解析：α∈( 
),α－
∈(0,
),又cos(α－
)=
.
答案： 
三、4.答案：2
（k∈Z）, 
（k∈Z）
∴当 
即 
（k∈Z）时, 
的最小值为－1.
7.解：以OA为x轴.O为原点，建立平面直角坐标系，并设P的坐标为(cosθ,sinθ)，则
｜PS｜=sinθ.直线OB的方程为y=
x，直线PQ的方程为y=sinθ.联立解之得Q( 
sinθ；sinθ)，所以｜PQ｜=cosθ－
sinθ.
于是SPQRS=sinθ(cosθ－
sinθ)=
(
sinθcosθ－sin2θ)=
( 
sin2θ－ 
)=
(
sin2θ
cos2θ－
)=
sin(2θ 
)－ 
.
∵0＜θ＜ 
,∴
＜2θ
＜ 
π.∴
＜sin(2θ
)≤1.
∴sin(2θ
)=1时，PQRS面积最大，且最大面积是
，此时，θ=
，点P为 
的中点，P( 
).
8.解：设u=sinα cosβ.则u2 (
)2=(sinα cosβ)2 (cosα sinβ)2=2 2sin(α β)≤4.∴u2≤1,－1≤u≤1.即D=［－1,1］,设t= 
,∵－1≤x≤1,∴1≤t≤ 
.x= 
.
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