一、选择题

1、已知m,n是两条不同直线，α,β,Υ是三个不同平面.下列命题中正确的是

（A）若α⊥Υ，β∥Υ，则α∥β (B)若m⊥α，n⊥α，则m∥n

（C）若m∥α，n∥α，则m∥n （D）若m∥α，m∥β，则a∥β

2、如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为

A. B. C. D.

3、用与球心距离为1的平面去截面面积为 ，则球的体积为

A. B. C. D.

4、已知直线m、n和平面a、b满足m⊥n，a⊥b， 则

A. n⊥b B. n∥b或n b C. n⊥a D. n∥a或n a

5、长方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB＝2，AD＝ ，AA1＝1，则顶点A、B间的球面距离是

A. B. C. D.

6、设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是

A. 在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直

B. 过直线m有且只有一个平面与平面α垂直

C. 与直线m垂直的直线不可能与平面α平行

D. 与直线m平行的平面不可能与平面α垂直

7、已知三棱柱ABC－ 的侧棱与底面边长都相等， 在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则A 与底面ABC所成角的正弦值等于

(A) (B) (C) (D)

8、正四棱锥的侧棱长为 ，侧棱与底面所成的角为 ，则该棱锥的体积为

A. 3 B. 6 C. 9 D.18

9、已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于

A.1 B. C. D. 2

10、设M是球O的半径OP的中点，分别过M、O作垂直于OP的平面，截球面得到两个圆，则这两个圆的面积比值为

（A） （B） （C） （D）

11、设直线 ，过平面 外一点A且与 、 都成30°角的直线有且只有

（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条

12、若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60°的菱形，则该棱柱的体积为

（A） （B） （C） （D）

13、设 是两条直线， 是两个平面，则 的一个充分条件是（ ）

A． B．

C． D．

14、对两条不相交的空间直线 和 ，必定存在平面 ，使得

（A） （B） （C） （D）

15、设有直线m、n和平面 、 。下列四个命题中，正确的是

A.若m∥ ,n∥ ,则m∥n

B.若m ,n ,m∥ ,n∥ ,则 ∥

C.若 ，m ,则m

D.若 ，m ，m ,则m∥

16、已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为

A． B. C. D.

二、填空题

1、 如图，已知球O点面上四点A、B、C、D，DA 平面ABC，AB BC，

DA=AB=BC= ，则球O点体积等于

2、已知点A，B，C，D在同一球面上，AB⊥平面BCD，BC⊥CD.若AB=6,AC=2 ,AD=8,则B，C两点间的球面距离是　　　　.

3、若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 ，则其外接球的表面积是　　　　.

4、在体积为 的球的表面上有A、B、C三点，AB=1,BC= ，A、C两点的球面距离为 ，则球心到平面ABC的距离为 .

5、已知菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角A-BD-C为120°，则点A到△BCD所在平面的距离等于　　　　　　.

6、若一个球的体积为 ，则它的表面积为 ．

三、解答题

1、如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF， BCF= CEF= ,AD= ,EF=2。

（Ⅰ）求证：AE//平面DCF；

（Ⅱ）当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为 ？

2、如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝ ,OA⊥底面ABCD，OA=2,M为OA的中点.

（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；

（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离.

3、如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.

（Ⅰ）求证：PC⊥AC；

（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小；

（Ⅲ）求点C到平面APB的距离.

4、如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD= ,底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O为AD中点.

(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；

(Ⅲ)求点A到平面PCD的距离.

5、如图，在直三棱柱 中，平面 侧面

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）若 ，直线AC与平面 所成的角为 ，二面角

6、如图所示，四棱锥P－ABCD的底面积ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面积ABCD，PA＝ .

(Ⅰ)证实：平面PBE⊥平面PAB；

(Ⅱ)求二面角A－BE－P的大小.

7、四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，

BC＝2，CD＝ ，AB=AC.

(1) 证实：AD⊥CE;

(2) 设侧面ABC为等边三角形，求二面角C-AD-E的大小.

8、如图，正四棱柱ABCD- 中 ，点E在 上且

①证实：

① 求二面角 的大小

9、如图，面ABEF⊥面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC∥ AD，BE∥ AF，G、H分别是FA、FD的中点。

(Ⅰ)证实：四边形BCHG是平行四边形；

(Ⅱ)C、D、E、F四点是否共面？为什么？

(Ⅲ)设AB=BE，证实：平面ADE⊥平面CDE.

10、

（Ⅰ）证实 平面 ；

（Ⅱ）求异面直线 与 所成的角的大小；

（Ⅲ）求二面角 的大小．

参考答案

一、选择题

1-5：BDDDB

6-10：BABBD

11-16：BBCBDC

二、填空题

1、 2、 3、 4、 5、 6、

三、解答题

1、

2、

3、解法一：

（Ⅰ）取AB中点D，连结PD，CD.

∵AP=BP，

∴PD⊥AB.

∵AC=BC.

∴CD⊥AB.

∵PD∩CD＝D.

∴AB⊥平面PCD.

∵PC 平面PCD，

∴PC⊥AB.

（Ⅱ）∵AC=BC,AP=BP,

∴△APC≌△BPC.

又PC⊥AC，

∴PC⊥BC.

又∠ACB＝90°，即AC⊥BC，

且AC∩PC=C，

∴AB＝BP，

∴BE⊥AP.

∵EC是BE在平面PAC内的射影，

∴CE⊥AP.

∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.

在△BCE中，∠BCE=90°,BC=2,BE= ，

∴sin∠BEC=

∴二面角B-AP-C的大小为aresin

解法二：

（Ⅰ）∵AC=BC,AP=BP,

∴△APC≌△BPC.

又PC⊥AC.

∴PC⊥BC.

∵AC∩BC=C,

∴PC⊥平面ABC.

∵AB 平面ABC，

∴PC⊥AB.

(Ⅱ)如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.

则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.

设P（0，0，t）,

∵｜PB｜=｜AB｜＝2 ，

∴t=2,P(0,0,2).

取AP中点E，连结BE，CE.

∵｜AC｜=｜PC｜,｜AB｜=｜BP｜,

∴CE⊥AP,BE⊥AP.

∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.

∵E(0,1,1),

∴cos∠BEC=

∴二面角B-AP-C的大小为arccos

4、解法一：

（Ⅰ）证实：在△PAD卡中PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD.

又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO 平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD.

（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD,AD=2AB=2BC，

有OD∥BC且OD＝BC，所以四边形OBCD是平行四边形，

所以OB∥DC.

由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBO为锐角，

所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.

因为AD＝2AB＝2BC＝2，在Rt△AOB中，AB＝1，AO＝1，所以OB＝ ，

在Rt△POA中，因为AP＝ ，AO＝1，所以OP＝1，

在Rt△PBO中，PB＝ ,

cos∠PBO= ,

所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为 .

(Ⅲ)由（Ⅱ）得CD＝OB＝ ，

在Rt△POC中，PC＝ ，

所以PC＝CD＝DP，S△PCD= ·2= .

又S△=

设点A到平面PCD的距离h，

由VP-ACD=VA-PCD，

得 S△ACD·OP＝ S△PCD·h，

即 ×1×1＝ × ×h，

解得h＝ .

解法二：

（Ⅰ）同解法一，

（Ⅱ）以O为坐标原点， 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.

则A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），

D（0，1，0），P（0，0，1）.

所以 ＝（-1，1，0）， ＝（t，-1，-1），

∞〈 、 〉= ，

所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为 ，

（Ⅲ）设平面PCD的法向量为n＝（x0,y0,x0），

由（Ⅱ）知 =（-1，0，1）， ＝（-1，1，0），

则　　n· ＝0，所以　　-x0 x0=0,

n· ＝0，　　　　-x0 y0=0，　
即x0=y0=x0,　　　　

取x0=1，得平面的一个法向量为n=(1,1,1).

又 =(1,1,0).

从而点A到平面PCD的距离d＝

5、(Ⅰ)证实：如右图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，则

由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC∩侧面A1ABB1＝A1B，

得AD⊥平面

A1BC.又BC 平面A1BC

所以AD⊥BC.

因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱,

则AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥BC.

又AA1∩AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1,

又AB 侧面A1ABB1，

故AB⊥BC.

(Ⅱ)证法1：连接CD,则由(Ⅰ)知∠ACD就是直线AC与平面A1BC所成的角，∠ABA1就是二面角A1－BC－A的颊角，即∠ACD＝θ，∠ABA1=j.

于是在RtΔADC中，sinθ= ,在RtΔADA1中，sin∠AA1D＝ ,

∴sinθ=sin∠AA1D,由于θ与∠AA1D都是锐角，所以θ＝∠AA1D.

又由RtΔA1AB知，∠AA1D＋j＝∠AA1B＋j＝ ，故θ＋j＝ .

证法2：由(Ⅰ)知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

设AB=c（c＜a＝，则B(0,0,0)，A(0,c,0)，C( ),

A1(0,c,a)，于是 ， ＝（0，c,a）,

, =(0,c,a)

设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z),

则由

可取n＝（0，－a，c），于是

n· =ac＞0， 与n的夹角b为锐角,则b与q互为余角.

sinq=cosb= ,

cosj=

所以sinq=cosj=sin( ),又0＜q，j＜ ，所以q j= .

6、解法一（I）如图所示, 连结 由 是菱形且 知，

是等边三角形. 因为E是CD的中点，所以

又 所以

又因为PA 平面ABCD， 平面ABCD，

所以 而 因此 平面PAB.

又 平面PBE，所以平面PBE 平面PAB.

（II）由（I）知， 平面PAB, 平面PAB, 所以

又 所以 是二面角 的平面角．

在 中, ．

故二面角 的大小为

解法二：如图所示,以A为原点，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是

（I）因为 平面PAB的一个法向量是 所以 和 共线.

从而 平面PAB. 又因为 平面PBE，所以平面PBE 平面PAB.

（II）易知 设 是平面PBE的一个法向量,

则由 得 所以

故可取 而平面ABE的一个法向量是

于是, ．

故二面角 的大小为

7、解：（1）取 中点 ，连接 交 于点 ，

， ，

又面 面 ， 面 ，

．

，

， ，即 ，

面 ， ．

（2）在面 内过 点作 的垂线，垂足为 ．

， ， 面 ， ，

则 即为所求二面角的平面角．

， ， ，

，则 ，

，即二面角 的大小

8、

9、（Ⅰ）由题意知，

所以

又 ，故

所以四边形 是平行四边形。

（Ⅱ） 四点共面。理由如下：

由 ， 是 的中点知， ，所以

由（Ⅰ）知 ，所以 ，故 共面。又点 在直线 上

所以 四点共面。

（Ⅲ）连结 ，由 ， 及 知 是正方形

故 。由题设知 两两垂直，故 平面 ，

因此 是 在平面 内的射影，根据三垂线定理，

又 ，所以 平面

由（Ⅰ）知 ，所以 平面 。

由（Ⅱ）知 平面 ，故 平面 ，得平面 平面

解法二：

由平面 平面 ， ，得 平面 ，以 为坐标原点，

射线 为 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系

（Ⅰ）设 ，则由题设得

所以

于是

又点 不在直线 上

所以四边形 是平行四边形。

（Ⅱ） 四点共面。理由如下：

由题设知 ，所以

又 ，故 四点共面。

（Ⅲ）由 得，所以

又 ，因此

即

又 ，所以 平面

故由 平面 ，得平面 平面

10、