一、选择题
1、已知m,n是两条不同直线，α,β,Υ是三个不同平面.下列命题中正确的是
（A）若α⊥Υ，β∥Υ，则α∥β (B)若m⊥α，n⊥α，则m∥n
（C）若m∥α，n∥α，则m∥n （D）若m∥α，m∥β，则a∥β
2、如图，在长方体ABCD-A1B
A. 
3、用与球心距离为1的平面去截面面积为 
A. 
4、已知直线m、n和平面a、b满足m⊥n，a⊥b， 
A. n⊥b B. n∥b或n 
b C. n⊥a D. n∥a或n a
5、长方体ABCD－A1B
A. 
6、设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是
A. 在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直
B. 过直线m有且只有一个平面与平面α垂直
C. 与直线m垂直的直线不可能与平面α平行
D. 与直线m平行的平面不可能与平面α垂直
7、已知三棱柱ABC－ 
(A) 
8、正四棱锥的侧棱长为 
A. 3 B.
9、已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于
A.1 B. 
10、设M是球O的半径OP的中点，分别过M、O作垂直于OP的平面，截球面得到两个圆，则这两个圆的面积比值为
（A） 
11、设直线 
（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条
12、若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60°的菱形，则该棱柱的体积为
（A） 
13、设 
A． 
C． 
14、对两条不相交的空间直线 
（A） 
15、设有直线m、n和平面 
A.若m∥
B.若m 
C.若 
D.若 
16、已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为
A．
二、填空题
1、 
如图，已知球O点面上四点A、B、C、D，DA
DA=AB=BC=
2、已知点A，B，C，D在同一球面上，AB⊥平面BCD，BC⊥CD.若AB=6,AC=2 
3、若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 
4、在体积为 
5、已知菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角A-BD-C为120°，则点A到△BCD所在平面的距离等于 .
6、若一个球的体积为
三、解答题
1、如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF， 
（Ⅰ）求证：AE//平面DCF；
（Ⅱ）当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为
2、如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝ 
（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离.
3、如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.
（Ⅰ）求证：PC⊥AC；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小；
（Ⅲ）求点C到平面APB的距离.
4、如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD=
(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD；
(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
(Ⅲ)求点A到平面PCD的距离.
5、如图，在直三棱柱 
（Ⅰ）求证： 
（Ⅱ）若 
6、如图所示，四棱锥P－ABCD的底面积ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面积ABCD，PA＝
(Ⅰ)证实：平面PBE⊥平面PAB；
(Ⅱ)求二面角A－BE－P的大小.
7、四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，
BC＝2，CD＝
(1) 证实：AD⊥CE;
(2) 设侧面ABC为等边三角形，求二面角C-AD-E的大小.
8、如图，正四棱柱ABCD- 
①证实： 
① 求二面角 
|
G |
|
H |
|
F |
|
E |
|
D |
|
C |
|
B |
|
A |
9、如图，面ABEF⊥面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC∥ 
(Ⅰ)证实：四边形BCHG是平行四边形；
(Ⅱ)C、D、E、F四点是否共面？为什么？
(Ⅲ)设AB=BE，证实：平面ADE⊥平面CDE.
10、
|
A |
|
B |
|
C |
|
D |
|
P |
如图，在四棱锥 
（Ⅰ）证实 
（Ⅱ）求异面直线 
（Ⅲ）求二面角 
参考答案
一、选择题
1-5：BDDDB
6-10：BABBD
11-16：BBCBDC
二、填空题
1、 
三、解答题
1、 
2、 
3、解法一：
（Ⅰ）取AB中点D，连结PD，CD.
∵AP=BP，
∴PD⊥AB.
∵AC=BC.
∴CD⊥AB.
∵PD∩CD＝D.
∴AB⊥平面PCD.
∵PC
∴PC⊥AB.
（Ⅱ）∵AC=BC,AP=BP,
∴△APC≌△BPC.
又PC⊥AC，
∴PC⊥BC.
又∠ACB＝90°，即AC⊥BC，
且AC∩PC=C，
∴AB＝BP，
∴BE⊥AP.
∵EC是BE在平面PAC内的射影，
∴CE⊥AP.
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.
在△BCE中，∠BCE=90°,BC=2,BE= 
∴sin∠BEC= 
∴二面角B-AP-C的大小为aresin 
解法二：
（Ⅰ）∵AC=BC,AP=BP,
∴△APC≌△BPC.
又PC⊥AC.
∴PC⊥BC.
∵AC∩BC=C,
∴PC⊥平面ABC.
∵AB
∴PC⊥AB.
(Ⅱ)如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.
则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.
设P（0，0，t）,
∵｜PB｜=｜AB｜＝2
∴t=2,P(0,0,2).
取AP中点E，连结BE，CE.
∵｜AC｜=｜PC｜,｜AB｜=｜BP｜,
∴CE⊥AP,BE⊥AP.
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.
∵E(0,1,1), 
∴cos∠BEC= 
∴二面角B-AP-C的大小为arccos 
4、解法一：
（Ⅰ）证实：在△PAD卡中PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD.
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO
所以PO⊥平面ABCD.
（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD,AD=2AB=2BC，
有OD∥BC且OD＝BC，所以四边形OBCD是平行四边形，
所以OB∥DC.
由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBO为锐角，
所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.
因为AD＝2AB＝2BC＝2，在Rt△AOB中，AB＝1，AO＝1，所以OB＝
在Rt△POA中，因为AP＝
在Rt△PBO中，PB＝ 
cos∠PBO= 
所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为 
(Ⅲ)由（Ⅱ）得CD＝OB＝
在Rt△POC中，PC＝ 
所以PC＝CD＝DP，S△PCD= 
又S△= 
设点A到平面PCD的距离h，
由VP-ACD=VA-PCD，
得
即
解得h＝ 
解法二：
（Ⅰ）同解法一，
（Ⅱ）以O为坐标原点， 
则A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），
D（0，1，0），P（0，0，1）.
所以 
∞〈 
所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为
（Ⅲ）设平面PCD的法向量为n＝（x0,y0,x0），
由（Ⅱ）知
则 n·
n·
即x0=y0=x0,
取x0=1，得平面的一个法向量为n=(1,1,1).
又 
从而点A到平面PCD的距离d＝ 
5、(Ⅰ)证实：如右图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，则
由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC∩侧面A1ABB1＝A1B，
得AD⊥平面
A1BC.又BC 平面A1BC
所以AD⊥BC.
因为三棱柱ABC－A1B
则AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥BC.
又AA1∩AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1,
又AB 侧面A1ABB1，
故AB⊥BC.
(Ⅱ)证法1：连接CD,则由(Ⅰ)知∠ACD就是直线AC与平面A1BC所成的角，∠ABA1就是二面角A1－BC－A的颊角，即∠ACD＝θ，∠ABA1=j.
于是在RtΔADC中，sinθ= 
∴sinθ=sin∠AA1D,由于θ与∠AA1D都是锐角，所以θ＝∠AA1D.
又由RtΔA1AB知，∠AA1D＋j＝∠AA1B＋j＝
证法2：由(Ⅰ)知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设AB=c（c＜a＝，则B(0,0,0)，A(0,c,0)，C( 
A1(0,c,a)，于是 
设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z),
则由 
可取n＝（0，－a，c），于是
n· 
sinq=cosb= 
cosj= 
所以sinq=cosj=sin( 
6、解法一（I）如图所示, 连结 
又因为PA 
所以 
又
（II）由（I）知， 
又 
在 
故二面角 
解法二：如图所示,以A为原点，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是
（I）因为 
从而
（II）易知 
则由 
故可取 
于是, 
故二面角
7、解：（1）取 
又面 
（2）在面 
则 
8、
9、（Ⅰ）由题意知， 
所以 
又
所以四边形 
（Ⅱ） 
由 
由（Ⅰ）知 
所以
（Ⅲ）连结 
故 
因此 
又 
由（Ⅰ）知 
由（Ⅱ）知 
解法二：
由平面 
射线 
（Ⅰ）设 
所以 
于是 
又点
所以四边形
（Ⅱ）
由题设知 
又
（Ⅲ）由 
又 
即 
又 
故由 
10、 
