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高考数学下学期阶段性检测理科试题
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一．选择题（本题共有10个小题，每小题5分，共50分;在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，把正确的代号填在机读卡的指定位置上 ）
1．若 
，则下列结论不正确的是（ ）
A． 
B． 
C． 
D． 
2．已知 
为两不相等的实数，集合 
，映射 
表示把 
中的元素 
映射到集合 
中仍为
，则 
等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知方程 
的4个实根经过调整后组成一个以2为首项的等比数列，则 
（ ）
A． 
B． 
C． 
D．24
4．从8名女生，4名男生中选出6名学生组成课外小组，假如按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法种数为( )
A． 
B． 
C． 
D． 
5．若已知 
, 求 
的值, 那么在以下四个答案: ① 
; ② 
;
③ 
; ④ 
中, 正确的是（ ）
(A) ①和② (B) ②和③ (C) ③和④ (D) ①和④
6．椭圆 
的左准线为 
，左右焦点分别为 
和 
；抛物线 
的准线为
，焦点为 
与
的一个交点为
，则 
等于（ ）
A． 
B． 
C． 
D． 
7．已知 
平面上的一定点， 
、 
、 
是平面上不共线的三个动点，点 
满足 
，则动点
的轨迹一定通过 
的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
8． 
是 
的导函数，
的图象如图所示，则
的
图象只可能是下图中的（ ）
A． B． C． D．
 9．如右图所示，在单位正方体 
的面对角线 
上存在一点
使得 
最短，则
的最小值为 （ ）
A．2 B． 
C． 
D． 
10．设三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为1米，有一个小虫从
点A开始按以下规则前进：在每一个顶点处等可能的选择通过
这个顶点的三条棱之一，并且沿着这条棱爬到尽头，则它爬了4米之后恰好位于顶点A的概率为（ ）
A． 
B． 
C． 
D． 
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上．
11． 
是虚数单位，复数 
的虚部为 .
12、对于正整数 
和 
，定义 
！= 
，其中 
，且 
是满足 
的最大整数，则（ 
！）/（10 
！）=___________
13．由约束条件 
所确定的区域面积为 
，记 
，则 
等于 .
14．函数 
图像上至少存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则公比的取值范围是_________________________.
15．对于集合 
{1, 2, 3,…, n}及其它的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数。例如集合{1, 2, 4, 6, 9}的交替和是9–6＋4–2＋1＝6，集合{5}的交替和为5。当集合N中的n=2时，集合N={1, 2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1, 2}，则它的“交替和”的总和S2=1 2 (2–1)=4，请你尝试对 
、 
的情况，计算它的“交替和”的总和 
、 
，并根据其结果猜测集合
{1, 2, 3,…, n}的每一个非空子集的“交替和”的总和 
。(不必给出证实)
三、解答题：本大题共6个小题.共75分.解答要写出文字说明、证实过程或解题步骤.
16.（本小题满分12分）已知
三个顶点分别是A（3，0）、B（0，3）、C 
，其中 
．
（1）若 
，求角 
的值；
（2）若 
，求 
的值．
17．(本小题满分12分)设a>0,函数f(x)=x3-ax在[1, ∞ 
上是单调函数.
（1）求实数a的取值范围；
（2）设x0≥1，f(x0)≥1，且f(f(x0))=x0，求证：f(x0)=x0.
18.（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中， 
，D为棱 
上的一动点，
、
分别为 
的重心．
（1）求证： 
；
（2）若二面角C—AB—D的大小为 
，求点C1到平面A1B1D的距离；
（3）若点C在 
上的射影正好为M，试判定点C1在 
的射影是否
为N？并说明理由．
19．（本小题满分12分）
已知某车站天天8：00—9：00、9：00—10：00都恰好有一辆客车到站；8：00—9：00到站的客车
可能在8：10、8：30、8：50到，其概率依次为 
.9：00—10：00到站的客车
可能在9：10、9：30、9：50到，其概率依次为
.今有甲、乙两位旅客，他们到站的时间分别为8：00和8：20，试问他们候车时间的平均值哪个更多？
20． (本小题满分13分)
已知二次函数 
同时满足：①不等式 
的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在 
，使得不等式 
成立。 设数列 
的前
项和 
，
（1）求数列
的通项公式；
（2）试构造一个数列 
，（写出
的一个通项公式）满足：对任意的正整数
都有 
，且 
，并说明理由；
（3）设各项均不为零的数列 
中，所有满足 
的正整数
的个数称为这个数列
的变号数。令 
（
为正整数），求数列
的变号数。
21．(本小题满分14分)
如图，棱长为1的正方体,
、
为 
、 
的中点，
是 
的中点，过
作直线与 
交于
，与 
交于 
，
（1） 求 
的长度；
（2） 将平面 
无限延展开来，设平面
内有一动点 
，它到直线 
的距离减去它到
点的距离的平方差为1，请建立适当的直角坐标系，
 求出动点
所构成曲线
的方程；
（3） 在（2）的条件下，请说明以 
为直径的圆与曲线
是否有交点，假如有请求出；假如没有请使
用适当的文字加以说明
参考答案
一、选择题 C D D A B B C D C B
二、填空题 11. 
； 12. 
； 13. 
； 14. 
； 15. 
三、解答题
16.解：（1）∵
三个顶点分别是A（3，0）、B（0，3）、C
，
∴ 
， 
由
得， 
即 
∵
， ∴ 
．
（2）由
得， 
即 
，
∴ 
， 
又
， ∴ 
， 
∴ 
．
17．解（1）y′=f ′(x)=3x2-a.
若f(x)在[1, ∞]上是单调递减函数，则须y′<0,即a>3x2,这样的实数a不存在，
故f(x)在[1, ∞]上不可能是单调递减函数.
若f(x)在[1, ∞]上是单调递增函数，则a≤3x2，由于x∈[1, ∞]，故3x2≥3.从而0<a≤3 .
（6分）
（2）方法一 (反证法)由(1)可知f(x)在[1, ∞)上只能为单调递增函数.假设f(x0)≠x0,
若1≤x0<f(x0)，则f(x0)<f(f(x0))=x0矛盾，
若1≤f(x0)<x0,则f(f(x0))<f(x0),即x0<f(x0)矛盾，
故只有f(x0)=x0成立. （12分）
方法二 设f(x0)=u,则f(u)=x0，∴x 
-ax0=u,u3-au=x0,两式相减得(x
-u3)-a(x0-u)=u-x0，
∴(x0-u)(x 
x0u u2 1-a)=0,∵x0≥1,u≥1，∴x
x0u u2≥3.
又0<a≤3,∴x
x0u u2 1-a>0.
∴x0-u=0,即u=x0,亦即f(x0)=x0.
（18）解：（1）连结 
并延长，分别交 
于 
，连结 
，
分别为 
的重心，则 
分别为 
的中点 
在直三棱柱 
中， 
（2）连结 
即为二面角 
的平面角 
在 
中， 
连结 
同上可知， 
设 
 （3） 
∽ 
.
解法二：空间向量解法：以C1为原点，如图建立空间直角坐标系。
（1） 设 
，依题意有：
因为M、N分别为 
的重心．
所以 
∵ 
∴
（2） 因为平面ABC的法向量 
， 设平面ABD的法 向量 
令 
，设二面角C—AB—D为 
，则由 
因此 
设平面A1B1D的法向量为 
，则
设C1到平面A1B1D的距离为 
，则 
（3）若点C在平面ABD上的射影正好为M，则 
即 
（舍）
因为D为CC1的中点，根据对称性可知C1在平面A1B1D的射影正好为N。
19．本题考查离散型随机变量的分布列，考查运用数学知识解决问题的能力，以及推理和运算能力 |
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10 |
30 |
50 |
70 |
90 | |
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(1)如图，连 
（2）过 
