高考理科数学第一次模拟考试

数学试卷（理工类）

考试说明：本试卷分第 = 1 \* ROMAN I卷（选择题）和第 = 2 \* ROMAN II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．

（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；

（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；

（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；

（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．

第 = 1 \* ROMAN I卷 （选择题, 共60分）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1. 已知复数 , 则 等于

(A) 　 (B) 　　 (C) (D)

2. “ ”是“ ”的

(A) 充要条件 　　　　　　　　　　　　 (B) 充分不必要条件

(C) 必要不充分条件 　　　　　　　　　 (D) 既不充分也不必要条件

3. 是 内一点, , 则 的面积与 的面积之比为

(A) (B) (C) 　　 　 (D)

4. 已知直线 与平面 成 角，直线 ，若直线 在 内的射影与直线 也成

角，则 与 所成的角是

(A) 　　 (B) 　 (C) (D)

5. 函数 的反函数是

(A) (B)

(C) (D)

6. 已知过抛物线 焦点的弦长为 ，则此弦所在直线的倾斜角是

(A) 或 (B) 或 (C) 或 (D)

7. 若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为 ，值域为 的“孪生函数”共有

(A) 个 　　　　 (B) 个 　　　　 (C) 个 　　　 (D) 个

8. 已知 是周期为 的函数, 当 时, , 则方程

的解集为

(A) (B)

(C) (D)

9. 若圆 上有且只有两个点到直线 的距离等于 ,则半径 的取值范围是

(A) 　(B) (C) (D)

10. 下列各函数中值域为 的是

(A) 　 　　　　　　　　　　 　(B)

(C) 　　　　　　　　　　 (D)

11. 已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，点 在双曲线上，且 ，则此双曲线离心率的最大值为

(A) (B) (C) (D)

12. 已知 是定义在 上的不恒为零的函数，且对于任意实数 都有 , 则

(A) 是奇函数，但不是偶函数 (B) 是偶函数，但不是奇函数

(C) 既是奇函数，又是偶函数 (D) 既非奇函数，又非偶函

数学试卷（理工类）

第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题后的横线上．）

13. 若等差数列 的前六项的和 且 则 ．

14. 的展开式中 的系数为 ．（用数字作答）

15. 已知e是单位向量, 并且满足 ＋ , 则向量a在e方向内的投影是____________．

16. 已知点 在不等式组 表示的平面区域内运动，则 的

最小值为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证实过程或演算步骤．）

17.（本小题满分10分）

中，角 所对的边分别为 ，且 .

(Ⅰ) 求角 的大小；

(Ⅱ) 若向量m , 向量n , m⊥n，(m＋n)﹒(－m＋n)=－16，

求 的值．

18.（本小题满分12分）

如图，四面体 中， 是 的中点， ，

A

B

C

D

O

．

(Ⅰ) 求证：平面 平面BCD；

(Ⅱ) 求二面角 的大小．

19.（本小题满分12分）

2008年北京奥运会乒乓球比赛将产生男子单打、女子单打、男子团体、女子团体共四枚金牌，保守估计中国乒乓球男队获得每枚金牌的概率均为 ，中国乒乓球女队获得每枚金牌的概率均为 ．

(Ⅰ) 求按此估计中国乒乓球女队比中国乒乓球男队多获得一枚金牌的概率；

(Ⅱ) 记中国乒乓球队获得金牌的枚数为 ，求按此估计 的分布列和数学期望 ．

(结果均用分数表示)

20.（本小题满分12分）

已知函数 ．

(Ⅰ) 当 时，求 的单调区间和极值；

(Ⅱ) 若 在 上为单调函数，求实数 的取值范围．

21.（本小题满分12分）

x

y

O

A

B

C

E

D

直角三角形 的直角顶点 为动点， ， 为两个定点，作 于 ，动点 满足 ，当点 运动时，设点 的轨迹为曲线 ，曲线 与 轴正半轴的交点为 ．

(Ⅰ) 求曲线 的方程；

(Ⅱ) 是否存在方向向量为m 的直线 ，与曲线 交于 ， 两点，且 与 的夹角为 ？若存在，求出所有满足条件的直线方程；若不存在，说明理由．

22.（本小题满分12分）

已知 ， 为数列 的前 项和，数列 满足 ，

且函数 对于任意的 都满足 ．

(Ⅰ) 求函数 的解析式；

(Ⅱ) 求数列 的通项公式；

(Ⅲ) 若 ，求证： .