一、填空题（本题共14题，每题5分，共70分，请将正确答案填写在答题试卷上）

1、已知 为实数集， ，则 　　　　.

2、若复数 ，则 　　　　.

3、已知0＜a＜1， ，则 与1三者的大小关系是　　　　　　.

4、如图（下面），一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是　　　　　　　.

5、设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线 与 的位置关系是　　　.

6、已知a与b均为单位向量，它们的夹角为60º，那么| a 3b |等于　　.

7、如图（下面）已知点F1、F2分别是椭圆 的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率 是　　　　.

8、已知函数 ，则方程 的实根共有　　.

9、假如数据x1、x2、…、xn 的平均值为 ，方差为S2 ，则3x1 5、3x2 5、…、3xn 5 的方差为 ．

10、若抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，则 的值为　　　　　　.

11、设奇函数 在 上是增函数，且 ．若函数， 对所有的 都成立，则当 时， 的取值范围是　　　　　　　　　.

12、考察下列一组不等式：

.

将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是___________________.

13、若框图所给的程序运行的结果为S=132，那么判定框中

应填入的关于k的判定条件是 .　　　　　　　　　　　　　　

14、等差数列 的前 项和为 ，公差 . 若存在正整数 ，使得 ，则当 （ ）时，有 （填“>”、“<”、“=”）.

否

结束

开始

k=12 , s=1

输出s

s=s×k

k=k-1

是

x

y

F1

F2

B

A

第7题图

俯视图

主视图

左视图

第4题图

.

第13题图

　　　　　　　　　　　　答题试卷 　　班级　　　姓名　　　学号　　

一、填空题（本题共14题，每题5分，共70分）

1.　　　　　2.　　　　 3. 　　　　 4.　　　　 5. 　　　　6. 　　　　7.　　　　　　

8.　　　　　9.　　　　 10. 　　　　 11.　　　　　　　　　　　

12.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

13．　　　　　　　　14.　　　　　　　　　　　　 　

二、解答题（本题6大题，共90分）

15．（本小题满分14分）

已知： ， （ ）.

(1) 求 关于 的表达式，并求 的最小正周期；

(2) 若 时 的最小值为5，求 的值.

16．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系 ，已知圆心在第二象限、半径为 的圆 与直线 相切于坐标原点 ．椭圆 与圆 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 ．

（1）求圆 的方程；

（2）试探究圆 上是否存在异于原点的点 ，使 到椭圆右焦点 的距离等于线段 的长，若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．

17．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ， 是 的中点．

（1）证实 ；

（2）证实 平面 ；

18、（本小题满分14分）

设数列 的前 项和为 ，且 ；数列 为等差数列，且 ， .

(1)求数列 的通项公式；

(2)若 ， 为数列 的前 项和. 求证： .

19．（本小题满分16分）

某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，假如降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 （单位：元， ）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．

（1）将一个星期的商品销售利润表示成 的函数；

（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

20．（本小题满分18分）

已知函数

(1) 若 在 上单调递增，求 的取值范围；

(2) 若定义在区间D上的函数 对于区间D上的任意两个值 总有以下不等式 成立，则称函数 为区间D上的“凹函数”.

试证当 时， 为“凹函数”.

高三数学模拟试题　班级　　　姓名　　　学号　　　　

附加题（理科考生做，本大题共4题，满分40分.考试时间30分钟）

21．（本题10分） 和 的极坐标方程分别为 ．

（1）把 和 的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）求经过 ， 交点的直线的直角坐标方程．

22.（本题10分）

已知实数 满足 ， .试求实数 的取值范围.

23．（本小题满分10分）

某陶瓷厂预备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为 ， ， ，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为 ， ， ．

（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；

（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为 ，求随机变量 的期望．

24．（本小题满分10分）

右图是一个直三棱柱（以 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为 ．已知 ， ， ， ， ．

（1）设点 是 的中点，证实： 平面 ；

（2）求二面角 的大小；

（3）求此几何体的体积．

数学试题参考答案和评分标准

一、填空题（每题5分，共70分）

1. 　2. 3. 1＜n＜m 4. 5. 垂直 　6. 7.

8. 7个 9. 9S2 　 10. 4 11. 或 或

12. （或 为正整数）.注：

填 以及是否注明字母的取值符号和关系，均不扣分；

若填 或 可给3分.

13． . 　14．<

二、解答题（共90分）

15. 解：(1) ……………………………………………………2分

………………………………………………………………………………………………4分

. …………………………………………………………………………………………………………6分

的最小正周期是 . …………………………………………………………………………………………………7分

(2) ∵ ，∴ 　…………………………………………………………………8分

∴当 即 时，函数 取得最小值是 . ………………………10分

∵ ，∴ . …………………………………………………………………………………………………12分

16.解析：（1）圆C： ；………………………………………………………………6分

（2）由条件可知a=5，椭圆 ，∴F（4，0），若存在，则F在OQ的中垂线上，又O、Q在圆C上，所以O、Q关于直线CF对称；

直线CF的方程为y-1= ,即 ，设Q（x,y），则 ，解得

所以存在，Q的坐标为 .…………………………………………14分

17. （1）证实：在四棱锥 中，因 底面 ， 平面 ，故 ．

， 平面 ．

而 平面 ， ．

（Ⅱ）证实：由 ， ，可得 ．

是 的中点， ．

由（1）知， ，且 ，所以 平面 ．

而 平面 ， ．

底面 在底面 内的射影是 ， ， ．

又 ，综上得 平面 ．

（3）（课后加）：过点 作 ，垂足为 ，连结 ．则（Ⅱ）知， 平面 ， 在平面 内的射影是 ，则 ．

因此 是二面角 的平面角．

由已知，得 ．设 ，

可得 ．

在 中， ， ，

则 ．在 中， ．

所以二面角 的大小是 ．

18. 解：（1）由 ，令 ，则 ，又 ，所以 .

，则 . ……………………………………………………………………………………2分

当 时，由 ，可得 .

即 . …………………………………………………………………………………………………………………………4分

所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，于是 . …………5分

（2）数列 为等差数列，公差 ,可得 . ………………7分

从而 . ……………………………………………………………………………………8分

∴ ……………10分

∴ . …………………11分

从而 . 　 …………………………………………………………………………14分

19．解：（1）设商品降价 元，则多卖的商品数为 ，若记商品在一个星期的获利为 ，

则依题意有 ，

又由已知条件， ，于是有 ，

所以 ．

（2）根据（1），我们有 ．

2

12

0

0

极小

极大

故 时， 达到极大值．因为 ， ，所以定价为 元能使一个星期的商品销售利润最大．

20.（1）由 ，得 ……………………………………2分

若函数为 上单调增函数，则 在 上恒成立，

即不等式 在 上恒成立. 也即 在 上恒成立. ……………………………………………………………………………………………………………………………4分

令 ，上述问题等价于 ，而 为在 上的减函数，则 ，于是 为所求. …………………………………………………………6分

（2）证实：由 得

……………………………………………………………………………7分

………………………………………………………………8分

而 ① ………………………………………10分

又 ， ∴ ② …………11分

∵ ∴ ，

∵ ∴ ③ ……………………………………………………………………13分

由①、②、③得

即 ，从而由凹函数的定义可知函数为凹函数. …………14分

21．解：以有点为原点，极轴为 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．（1） ， ，由 得 ．

所以 ．

即 为 的直角坐标方程．

同理 为 的直角坐标方程．

（2）由 　　　　　　解得 ．

即 ， 交于点 和 ．过交点的直线的直角坐标方程为 ．

22.解：由柯西不等式得，有

即 ，由条件可得，

解得， 当且仅当 时等号成立，

代入 时， ， 时， .

故所求实数 的取值范围是 .（学生只求范围，不写出等号成立不扣分）

23．解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件 ， ， ，

（1）设 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则

．

（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为 ，

所以 ，

故 ．

解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件 ，则

，

所以 ，

，

，

．

于是， ．

24．解法一：

（1）证实：作 交 于 ，连 ．

则 ．

因为 是 的中点，

所以 ．

则 是平行四边形，因此有 ．

平面 且 平面 ，

则 面 ．

（2）如图，过 作截面 面 ，分别交 ， 于 ， ．

作 于 ，连 ．

因为 面 ，所以 ，则 平面 ．

又因为 ， ， ．

所以 ，根据三垂线定理知 ，所以 就是所求二面角的平面角．

因为 ，所以 ，故 ，

即：所求二面角的大小为 ．

（3）因为 ，所以

．

．

所求几何体体积为

．

解法二：

（1）如图，以 为原点建立空间直角坐标系，

则 ， ， ，因为 是 的中点，所以 ，

．

易知， 是平面 的一个法向量．

因为 ， 平面 ，所以 平面 ．

（2） ， ，

设 是平面 的一个法向量，则

则 ， 得：

取 ， ．

显然， 为平面 的一个法向量．

则 ，结合图形可知所求二面角为锐角．

所以二面角 的大小是 ．