高考数学一模考试试题(理科)

参考公式：

假如事件 互斥，那幺 球的表面积公式

其中 表示球的半径

假如事件 相互独立，那幺 球的体积公式

其中 表示球的半径

假如事件 在一次试验中发生的概率是 ，

那幺 次独立重复试验中恰好发生 次的概率

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. = ( )

A. B. C. D.

2. 若 ，且 ，则 =（ ）

A． B． C． D．－

3. 已知 、 是不同的两个平面，直线 ，直线 ，命题 ：a与b没有公共点；命题 ： ，则 是 的( )

A.充分不必要的条件 B.必要不充分的条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件

4. 若 的展开式中各项系数之和为1024，则展开式中含x的整数次幂的项共有 （ ）

A．2项 B．3项 C．5项 D．6项

5. 函数 的图象恒过定点 ，若点 在直线 上，其中 ，则 的最小值为（ ）

A．2 B．4 C．8 D．16

6. 等比数列{an}的首项a1=－1，前n项和为Sn,若 ，则 Sn等于 ( )

C 2 D －2

7. 从1，2，3，…，20这20个数中任取2个不同的数，则这两个数之和是3的倍数的概率为 ( )

A． B． C． D．

8. 正三棱锥S—ABC中，M是SC的中点， =0，若侧棱 ，则此正三棱锥S—ABC外接球的表面积是

A．36π B．64π C．144π D．256π

9. 已知双曲线 的离心率为 ，若它的一条准线与抛物线 的准线重合。设双曲线与抛物线的一个交点为 ,抛物线的焦点为 ，则

. . . .

10.已知函数 上的最小值为－2，则 的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

11. 已知f(x)= x ,过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线,则m的取值范围是( )

A. (-1,1) B. (-2,3) (C) (-1,-2) (D) (-3,-2)

12. 对于函数

，令集合 ，则集合M为（ ）

A．空集 B．实数集 C．单元素集 D．二元素集

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．

13. 设函数 的反函数为 ，且 =a,则 __________

14. 设x，y满足 则该不等式组表示的平面区域 ,则z=2x y的最大值是_____________.

15. 两个三口之家，拟乘两艘小游艇一起水上游，每艘游艇最多只能坐4个人，其中两个小孩（另4个为两对夫妇）不能独坐一艘游艇，则不同的乘坐方法共有__________.

16. 如图，矩形ABCD中，DC= ，AD=1，在DC上截取DE=1，将△ADE沿AE翻折到D1点，点D1在平面ABC上的射影落在AC上时，二面角D1­—AE—B的平面角的余弦值是 .

三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证实过程或演算步骤)

17.（本小题满分12分）已知 , ,函数 .

(1)求 的单调递增区间； (2)若 ， = ,求 的值.

18.（本小题满分12分）某工厂组织工人参加上岗测试，每位测试者最多有三次机会，一旦某次测试通过，便可上岗工作，不再参加以后的测试；否则就一直测试到第三次为止。设每位工人每次测试通过的概率依次为0.2，0.5，0.5.

(1)若有4位工人参加这次测试，求恰有2人通过测试的概率；

(2) 求工人甲在这次上岗测试中参加考试次数 的分布列及E .

19.（本小题满分12分）如图，直三棱柱A1B1C1—ABC中，C1C=CB=CA=2，AC⊥CB. D、E分别为棱C1C、B1C1的中点.

（1）求 与平面A1C1CA所成角的大小；

(2)求二面角B—A1D—A的大小；

（3）在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A1BD？若存在，确定其位置并证实结论；若不存在，说明理由.

20.（本小题满分12分）已知函数f (x) =lnx,g(x) = ，（a为常数），若直线l与y =f(x), y =g(x)的图象都相切，且l与y = f(x)的图象相切的切点的横坐标为1.

（1）求直线l的方程及a的值；

(2) 当 –2 ≤m < 时,求h(x)= f(x)—f (x)[2g(x)- m 1]在[ ,2]上的最大值.

21.（本小题满分12分）已知F1、F2是椭圆 的两个焦点，O为坐标原点，点P ）在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足 ；⊙O是以F1F2为直径的圆，一直线l: y=kx m与⊙O相切，并与椭圆交于不同的两点A、B.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）当 ，且满足 时，求△AOB面积S的取值范围.

22.(本小题满分14分) 已知数列 满足

（1） 求数列 的通项公式；

（2） 设b = (n∈N ,n≥2), b ,

①求证：b b …… b < 3 ;

②设点M (n,b )((n∈N ,n>2)在这些点中是否存在两个不同的点同时在函数

y = (k>0)的图象上,假如存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.

参考答案

一、选择题 (1)B (2) B (3) B (4) B (5) C(6)B (7)C (8)C(9) D(10) C(11) D(12) A

二、填空题 (13)-2 (14) 15 (15) 48 (16)

三、解答题

17.解：（１）

……4分

由

所以 的单调递增区间为 ………6分

（２）由 = 得：

∴ ………8分

∴

= …………12分

18.解：（1）每位工人通过测试的概率为 .…………2分

每位工人不能通过测试的概率为 . …………4分

4位工人中恰有2人通过测试的概率为P = C ( = 。…………6分

(2) 的取值为1、2、3.

, , .…………8分

故工人甲在这次上岗测试参加考试次数 的分布列

1

2

3

…………10分

.…………12分

19. 解：（1）∵A1B1C1－ABC为直三棱柱 ∴CC1⊥底面ABC ∴CC1⊥BC

∵AC⊥CB ∴BC⊥平面A1C1CA ………………2分

∴ 为 与平面A1C1CA所成角

∴ 与平面A1C1CA所成角为 ……………4分

（2）分别延长AC，A1D交于G. 过C作CM⊥A1G 于M，连结BM

∵BC⊥平面ACC­1A1 ∴CM为BM在平面A1C1CA的内射影

∴BM⊥A1G ∴∠CMB为二面角B—A1D—A的平面角……6分

平面A1C1CA中，C1C=CA=2，D为C1C的中点

∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，

,

即二面角B—A1D—A的大小为 …………………8分

（3）在线段AC上存在一点F，使得EF⊥平面A1BD………10分

其位置为AC中点，证实如下：

∵A1B1C1—ABC为直三棱柱 ， ∴B1C1//BC

∵由（1）BC⊥平面A1C1CA，∴B1C1⊥平面A1C1CA

∵EF在平面A1C1CA内的射影为C1F ，F为AC中点 ∴C1F⊥A1D ∴EF⊥A1D ……11分

同理可证EF⊥BD, ∴EF⊥平面A1BD …………12分

∵E为定点，平面A1BD为定平面 ,点F唯一

解法二：（1）同解法一……………………4分

（2）∵A1B1C1—ABC为直三棱住 C1C=CB=CA=2 , AC⊥CB D、E分别为C1C、B1C1的中点, 建立如图所示的坐标系得

C（0，0，0） B（2，0，0） A（0，2，0）

C1（0，0，2） B1（2，0，2） A­1（0，2，2）

D（0，0，1） E（1，0，2）………………6分

设平面A1BD的法向量为

……………8分

平面ACC1A1­的法向量为 =（1，0，0） …9分

即二面角B—A1D—A的大小为 ……………10分

（3）在线段AC上存在一点F，设F（0，y，0）使得EF⊥平面A1BD

欲使EF⊥平面A1BD 由（2）知，当且仅当 // …………11分

… ……13分

∴存在唯一一点F（0，1，0）满足条件. 即点F为AC中点……12分

20. 解：（1） ， ， ， 。

又切点为 的方程为 。……………2分

又 与 相切，由 得

…………………4分

(2) h(x)= f(x)—f (x)[2g(x)- m 1]= lnx , …………………5分

当–2 ≤m < 时，由 得 ，

显然 ，又

当 时， ，h(x)单调递增；（注重画草图，利用数形结合）

当 时， ，h(x)单调递减 ,

∴h(x) =h(x )= - .

当 时， h(x) = - .………6分

21.解：（1） ∴点M是线段PF2的中点 ∴OM是△PF1F2的中位线 ,

又OM⊥F1F2 ∴PF1⊥F1F2

∴椭圆的标准方程为 =1………………5分

（2）∵圆O与直线l相切

由

∵直线l与椭圆交于两个不同点， , 设 ，则

…………………………12分

22. (1) 解法一∵ ∴ ………4分

∴数列{ }是以首项a1 1，公比为2的等比数列，即

……………6分

解法二、 ……………………①

…………………………②

②－①得

为公比为2，首项为2的等比数列. …………4分

递推迭加得

…………………………6分

(也可用数学归法证实： )

(1) b = = =

≤ (n≥2)………8分

∴b b …… b

=1 , n=1时,b =1<3 成立, 所以b b …… b < 3 .………10分

(2) 假设有两个点A(p,b ),B(q,b )(p≠q,p,q∈N*,且P>2,q>2),都在y = 上,

即b = , , ∴

……① ………12分

以下考查数列 ， 的增减情况， ，

当n>2时, n2 －3n 1>0 ,所以对于数列{Cn }有C2>C3>C4>……>Cn>……,所以不可能存在p,q使①成立,因而不存在这样的两个点.……14分