命题人：广州市教育局教研室 曾辛金

如图，在圆 上任取一点P，过点P作X轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？

变式1：设点P是圆 上的任一点，定点D的坐标为（8，0）．当点P在圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹方程．

解：设点M的坐标为 ，点P的坐标为 ，则 ， ．即 ， ．

因为点P 在圆 上，所以

．

即 ，

即 ，这就是动点M的轨迹方程．

变式2：设点P是圆 上的任一点，定点D的坐标为（8，0），若点M满足 ．当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程．

解：设点M的坐标为 ，点P的坐标为 ，由 ，得

，

即 ， ．

因为点P 在圆 上，所以

．

即 ，

即 ，这就是动点M的轨迹方程．

变式3：设点P是曲线 上的任一点，定点D的坐标为 ，若点M满足 ．当点P在曲线 上运动时，求点M的轨迹方程．

解：设点M的坐标为 ，点P的坐标为 ，由 ，得

，

即 ， ．

因为点P 在圆 上，所以

．

即 ，这就是动点M的轨迹方程．

2．（人教A版选修1－1，2－1第40页练习第3题）

已知经过椭圆 的右焦点 作垂直于x轴的直线A B，交椭圆于A，B两点， 是椭圆的左焦点．

（1）求 的周长；

（2）假如AB不垂直于x轴， 的周长有变化吗？为什么？

变式1（2005年全国卷Ⅲ）：设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是

A． B． C． D．

解一：设椭圆方程为 ，依题意，显然有 ，则 ，即 ，即 ，解得 ．选D．

解二：∵△F1PF2为等腰直角三角形，∴ .

∵ ，∴ ，∴ ．故选D．

变式2：已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，点P在双曲线的右支上，且 ，则此双曲线的离心率e的最大值为 ．

解一：由定义知 ，又已知 ，解得 ， ，在 中，由余弦定理，得 ，要求 的最大值，即求 的最小值，当 时，解得 ．即 的最大值为 ．

解二：设 ，由焦半径公式得 ，∵ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ 的最大值为 ．

变式3（2005年全国卷Ⅰ）：已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点， 与 共线．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且 ，证实 为定值．

解：（Ⅰ）设椭圆方程为 ，

则直线AB的方程为 ，代入 ，化简得

.

设A（ ），B ），则

由 与 共线，得

又 ，

即 ，所以 ，

故离心率

（Ⅱ）证实：由（Ⅰ）知 ，所以椭圆 可化为

设 ，由已知得

在椭圆上，

即 ①

由（Ⅰ）知

又 ，代入①得

故 为定值，定值为1.

3．（人教A版选修1－1，2－1第47页习题2.1A组第6题）

已知点P是椭圆 上的一点，且以点P及焦点 ， 为顶点的三角形的面积等于1，求点P的坐标．

变式1（2004年湖北卷理）：已知椭圆 的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为

A． B．3 C． D．

解：依题意，可知当以F1或F2为三角形的直角顶点时，点P的坐标为 ，则点P到x轴的距离为 ，故选D．（可以证实不存在以点P为直角顶点的三角形）

变式2（2006年全国卷Ⅱ）：已知 的顶点B、C在椭圆 上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则 的周长是

A． 　　　　B．6　　　　 C． 　　　　 D．12

解：由于椭圆 的长半轴长 ，而根据椭圆的定义可知 的周长为 ，故选C．

4．（人教A版选修1－1，2－1第47页习题2.1B组第3题）

如图，矩形ABCD中， ， ，E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，R，S，T是线段OF的四等分点， ， ， 是线段CF的四等分点．请证实直线ER与 、ES与 、ET与 的交点L，M，N在同一个椭圆上．

变式1：直线 与双曲线 的右支交于不同的两点A、B.若双曲线C的右焦点F在以AB为直径的圆上时，则实数 ．

解：将直线 代入双曲线C的方程 整理，得

……①

依题意，直线L与双曲线C的右支交于不同两点，故

解得 ．

设A、B两点的坐标分别为 、 ，则由①式得

……②

∵双曲线C的右焦点F 在以AB为直径的圆上，则由FA⊥FB得：

整理，得 ……③

把②式及 代入③式化简，得

解得 ，故 ．

变式2（2002年广东卷）：A、B是双曲线 上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点．

（Ⅰ）求直线AB的方程；

（Ⅱ）假如线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？
解：（Ⅰ）直线AB的方程为 ．（求解过程略）

（Ⅱ）联立方程组 得 、 ．

由CD垂直平分AB，得CD方程为 ．

代入双曲线方程 整理，得 ．

记 ， 以及CD的中点为 ，

则有 从而 ．

∵ ．

∴ ．

又 ．

即A、B、C、D四点到点M的距离相等．

故A、B、C、D四点共圆．

变式3（2005年湖北卷）：设A、B是椭圆 上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.

（Ⅰ）确定 的取值范围，并求直线AB的方程；

（Ⅱ）试判定是否存在这样的 ，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.

（Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB的方程为 整理，得 ①

设 ①的两个不同的根，

②

是线段AB的中点，得

解得 ＝－1，代入②得， ＞12，即 的取值范围是（12，＋ ）.

于是，直线AB的方程为

解法2：设

依题意，

（Ⅱ）解法1： 代入椭圆方程，整理得

③

③的两根，

于是由弦长公式可得 ④

将直线AB的方程 ⑤

同理可得 ⑥

假设在在 ＞12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.点M到直线AB的距离为 ⑦

于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得

故当 时，A、B、C、D四点均在以M为圆心， 为半径的圆上.

（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：

A、B、C、D共圆 △ACD为直角三角形，A为直角

⑧

由⑥式知，⑧式左边＝

由④和⑦知，⑧式右边＝

∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆

解法2：由（Ⅱ）解法1及 .

代入椭圆方程，整理得

③ 解得 .

将直线AB的方程 代入椭圆方程，整理得

⑤ 解得 .

不妨设

∴

计算可得 ，∴A在以CD为直径的圆上.

又点A与B关于CD对称，∴A、B、C、D四点共圆.

（注：也可用勾股定理证实AC⊥AD）

5．（人教A版选修1－1，2－1第59页习题2.2B组第1题）

求与椭圆 有公共焦点，且离心率 的双曲线的方程．

变式1（2002年北京卷文）：已知椭圆 和双曲线 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是

A． B． C． D．

解：依题意，有 ，即 ，即双曲线方程为 ，故双曲线的渐近线方程是 ，即 ，选D．

变式2（2004年全国卷Ⅳ理）：已知椭圆的中心在原点，离心率 ，且它的一个焦点与抛物线 的焦点重合， 则此椭圆方程为（ ）

A． B．

C． D．

解：∵抛物线 的焦点坐标为（－1，0），则椭圆的 ，又 ，则 ，进而 ，所以椭圆方程为 ，选A．

6．（人教A版选修1－1，2－1第66页例4）

斜率为1的直线 经过抛物线 的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．

变式1：假如 ， ，…， 是抛物线 上的点，它们的横坐标依次为 ， ，…， ，F是抛物线的焦点，若 ，则 ___．

解：根据抛物线的定义，可知 （ ，2，……，8），

∴ ．

变式2（2004年湖南卷理）：设F是椭圆 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点 使 ，组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为 ．

解：设 ，则 ，于是 ，即 ，由于 ， ，故 ，又 ，故 ．

（Ⅰ）试证： ；

（Ⅱ）取 ，并记 为抛物线上分别以 与 为切点的两条切线的交点．试证： ．

证实：（Ⅰ）对任意固定的 ,因为焦点 ,所以可设直线 的方程为 ,将它与抛物线方程 联立，

得 ，由一元二次方程根与系数的关系得 ．

（Ⅱ）对任意固定的 ，利用导数知识易得抛物线 在 处的切线的斜率 ，故 在 处的切线方程为 ， ①

类似地，可求得 在 处的切线方程为 ， ②

由②减去①得 ，

从而 ， ， ， ③

将③代入①并注重到 得交点 的坐标为 .

由两点间距离公式,得

= .从而 .

现在 ，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得，

…

…

= .

7．（人教A版选修2－1第67页例5）

过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴．

证实1：因为抛物线 （ ）的焦点为 ，所以经过点F的直线AB的方程可设为

，代人抛物线方程得

．

若记 ， ，则 是该方程的两个根，所以

．

因为BC∥X轴，且点C在准线 上，所以点C的坐标为 ，

即 也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O．

证实2：如图，记X轴与抛物线准线L的交点为E，

过A作AD⊥L，D是垂足．则

AD∥FE∥BC．

连结AC，与EF相交于点N，则

根据抛物线的几何性质，|AF|=|AD|，|BF|=|BC| ，

即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O．

8．（人教A版选修1－1第74页，2－1第85页复习参考题A组第8题）

斜率为2的直线 与双曲线 交于A，B两点，且 ，求直线的方程．

变式1（2002年上海卷）：已知点 和 ，动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线 交于D、E两点，求线段DE的长．

解：根据双曲线的定义，可知C的轨迹方程为 ．

联立 得 ．

设 ， ，则 ．

所以 ．

故线段DE的长为 ．

变式2：直线 与椭圆 交于不同两点A和B，且 （其中O为坐标原点），求k的值．

解：将 代入 ，得 ．

由直线与椭圆交于不同的两点，得

即 ．

设 ，则 ．

由 ，得 ．

而

．

于是 ．解得 ．故k的值为 ．

变式3：已知抛物线 ．过动点M（ ，0）且斜率为1的直线 与该抛物线交于不同的两点A、B．若 ,求a的取值范围．

解：直线 的方程为 ，

将 ，

得 ．

设直线 与抛物线的两个不同交点的坐标为 、 ，

则

又 ，

∴

．

∵ ，

∴ ．

解得 ．