班级 .姓名 .得分 .
一、填空题:(每小题5分,共70分)
1.不等式
的解集是 .
2.设A={x|x2-2x-3>0},B={x|x2 5x≤0},则
等于 .
3. 若0<x<
, 函数y=x(1–2x)的最大值是 .
4.设
,函数
有最小值,则不等式
的解集为 。
5.若关于x的不等式ax2-ax 1>0对于x∈R恒成立,则实数a的取值范围是 .
6.若实数a、b满足a b=2,则3a 3b的最小值是 .
7.
表示的平面区域内的整点的个数是 .
8.建造一个容积为18 m3,深为2 m的长方体无盖水池,假如池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元,那么池的最低造价为 (元)
9.设
,则
的大小关系是
10.不等式(x-2)(x 1)<0解集为
11.设
满足约束条件:
则
的最大值是
12.已知方程
有两个正实数根,则实数
的取值范围是_____________
13.若
的最大值是 .
14.已知集合
,
则
.
二、解答题:(6小题,共90分)
15.(14分)解关于
的一元二次不等式
16.(14分)二次函数
的图象开口向下,且满足
是等差数列,
是等比数列,试求不等式
的解集。
17.(15分)已知数列
满足
,
是其前
项和,且
,二次函数
的图象与
轴有两个交点
,且
,试求
的值。
18.(15分)某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱,已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨,二级子棉1吨;生产乙种棉纱1吨需耗一级子棉1吨,二级子棉2吨;每一吨甲种棉纱的利润是600元,每一吨乙种棉纱的利润是900元,工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨。甲、乙两种棉纱应各生产多少吨,才能能使利润总额最大?
19.(16分)如图,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间。
一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成。
⑴现有可围成36
长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼的面积最大?
⑵若使每间虎笼的面积为24
,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成的四间虎笼的钢筋网总长最小?
20.设函数f(x)=logb
(b>0且b≠1),
(1)求f(x)的定义域;
(2)当b>1时,求使f(x)>0的所有x的值。
答案
1.(-2,1) 2.
3.
, 4.
5..
6.6 7.2个 8.5400 9.
10
11.2
12.
13.
14.
15. 解:(14分)∵
,∴
⑴当
,不等式解集为
;
⑵当
时,不等式为
,解集为
;
⑶当
,不等式解集为
;
16.解:(14分)由已知条件得
∴不等式
即为
,又∵
,∴
,
。故不等式
的解集为
。
17.解:(15分)∵数列
满足
,∴数列
是等差数列,且公差
,又∵
,∴
又
,∴
,从而
,
。
∴
,由于
,又
,∴
的图象的开口向上,与
轴有两个交点
,依题意有
,
由于
,故
。
18.解:(15分)先列出下面表格
|
一级子棉(t) |
二级子棉(t) |
利润(元) |
甲种棉纱(t) |
2 |
1 |
600 |
乙种棉纱(t) |
1 |
2 |
900 |
限制条件 |
不超过300t |
不超过250t |
|
 设生产甲种棉纱
吨,乙种棉纱
吨,
总利润为
元,依题意得
目标函数为:
作出可行域如图阴影所示。
目标函数可变形为
,从图上可知,当
直线
经过可行域的
点时,直线的截距
最大,从而
最大。
,即
。故生产甲种棉纱
吨,乙种棉纱
吨时,总利润最大。最大总利润是
(元)
19.解:(16分)⑴设每间虎笼长为
,宽为
,
则
,面积
。由于
,所以
,即
,当
且仅当
时取等号。
,所以,每间虎笼长、宽
分别为
时,可使面积最大。
⑵设围成四间虎笼的钢筋网总长为
,则
,所以
,当
且仅当
时取等号。
。故每间虎笼长、宽分别为
、
时,可使钢筋的总长最小,为
。
20解 (1)∵x2-2x 2恒正,
∴f(x)的定义域是1 2ax>0,
即当a=0时,f(x)定义域是全体实数。
当a>0时,f(x)的定义域是(-
, ∞)
当a<0时,f(x)的定义域是(-∞,-
)
(2)当b>1时,在f(x)的定义域内,f(x)>0
>1
x2-2x 2>1 2ax
x2-2(1 a)x 1>0
其判别式Δ=4(1 a)2-4=4a(a 2)
(i)当Δ<0时,即-2<a<0时
∵x2-2(1 a)x 1>0
∴f(x)>0
x<-
(ii)当Δ=0时,即a=-2或0时
若a=0,f(x)>0
(x-1)2>0
x∈R且x≠1
若a=-2,f(x)>0
(x 1)2>0
x<
且x≠-1
(iii)当△>0时,即a>0或a<-2时
方程x2-2(1 a)x 1=0的两根为
x1=1 a-
,x2=1 a
若a>0,则x2>x1>0>-
∴
或
若a<-2,则
∴f(x)>0
x<1 a-
或1 a
<x<-
综上所述:当-2<a<0时,x的取值集合为
x|x<-
当a=0时,x∈R且x≠1,x∈R,当a=-2时:
x|x<-1或-1<x<
当a>0时,x∈
x|x>1 a
或-
<x<1 a-
当a<-2时,x∈
x|x<1 a-
或1 a
<x<-
|