高考数学不等式复习测试

仲元中学 邹传庆

1（人教A版82页例1）

已知 ，求证： .

变式1：（1）假如 ，那么，下列不等式中正确的是（ ）

A. B. C. D.

解：选A

设计意图：不等式基本性质的熟练应用

变式2：设a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论中正确的是（ ）

A.a c>b d B.a－c>b－d C.ac>bd D.

解：选A

设计意图：不等式基本性质的熟练应用

2（人教A版89页习题3.2A组第3题）

若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围.

变式1：解关于x的不等式

解：下面对参数m进行分类讨论：

①当m= 时，原不等式为 –(x 1)>0，∴不等式的解为

②当 时，原不等式可化为

，∴不等式的解为 或

③当 时，原不等式可化为

，

当 时， 原不等式的解集为 ；

当 时， 原不等式的解集为 ；

当 时， 原不等式无解

综上述，原不等式的解集情况为：

①当 时，解为 ；

②当 时，无解；

③当 时，解为 ；

④当m= 时，解为 ；

⑤当 时，解为 或

设计意图：含参数的不等式的解法.

变式2：设不等式x2－2ax a 2≤0的解集为M，假如M ［1，4］，求实数a的取值范围？

解：（1）M ［1，4］有两种情况：其一是M= ，此时Δ＜0；其二是M≠ ，此时Δ=0或Δ＞0，分三种情况计算a的取值范围。

设f(x)=x2 －2ax a 2，有Δ=(－2a)2－4(a 2)=4(a2－a－2)

当Δ＜0时，－1＜a＜2，M= ［1，4］；

当Δ=0时，a=－1或2；

当a=－1时M={－1} ［1，4］；当a=2时，m={2} ［1，4］。

当Δ＞0时，a＜－1或a＞2。

设方程f(x)=0的两根x1，x2，且x1＜x2，

那么M=［x1，x2］，M ［1，4］ 1≤x1＜x2≤4 ，

即 ，解得2＜a＜ ，

∴M ［1，4］时，a的取值范围是(－1， ).

设计意图：一元二次不等式、一元二次方程及二次函数的综合应用.

3（人教A版103页练习1（1））

求 的最大值，使 满足约束条件 .

变式1：设动点坐标（x，y）满足

（x－y 1）（x y－4）≥0，x≥3，则x2 y2的最小值为( )

A B C D 10

解：数形结合可知当x=3，y=1时，x2 y2的最小值为10 选D

设计意图：用线性规划的知识解决简单的非线性规划问题.

4.(人教A版105习题3.3A组第2题)

画出不等式组 表示的平面区域.

变式1：点（－2，t）在直线2x－3y 6=0的上方，则t的取值范围是______

解：（－2，t）在2x－3y 6=0的上方，则2×（－2）－3t 6＜0，解得t＞ 答案：t＞

设计意图：熟悉判定不等式所代表的区域的方法.

变式2：求不等式｜x－1｜ ｜y－1｜≤2表示的平面区域的面积

解：｜x－1｜ ｜y－1｜≤2可化为

或 或 或

其平面区域如图

∴面积S= ×4×4=8

设计意图：不同形式的可行域的作图.

5.(人教A版113页习题3.4A组第1题)

（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？

（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？

变式1：函数y = ＋ 的值域为

解：y= ＋ = ( ＋1)＋ －1≥2-1=1 ，所以值域为[1, ∞)

设计意图：均值不等式的灵活应用.

变式2：设x≥0, y≥0, x2 =1,则 的最大值为＿＿

解法一: ∵x≥0, y≥0, x2 =1

∴ = =

≤ = =

当且仅当x= ,y= (即x2= )时, 取得最大值

解法二: 令 (0≤ ≤ )

则 =cos =

≤ =

当 = ,

即 = 时,x= ,y= 时， 取得最大值

设计意图：均值不等式的灵活应用.

6．(人教A版115复习参考题A组第2题)

已知集合 ， ，求 .

变式1：已知A={x|x3＋3x2＋2x＞0}，B={x|x2＋ax＋b≤0}且A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B＝｛x｜x＞－2｝，求a、b的值

解：A={x|－2＜x＜－1或x＞0}，

设B=［x1，x2］，由A∩B=（0，2］知x2＝2，

且－1≤x1≤0， ①

由A∪B=（－2， ∞）知－2≤x1≤－1 ②

由①②知x1＝－1，x2＝2，

∴a＝－（x1＋x2）＝－1，b＝x1x2＝－2

设计意图：一元二次不等式与集合的运算综合。

变式2：解关于x的不等式

解：下面对参数m进行分类讨论：

①当m= 时，原不等式为x 1>0，∴不等式的解为

②当 时，原不等式可化为

，∴不等式的解为 或

③当 时，原不等式可化为

，

当 时， 原不等式的解集为 ；

当 时， 原不等式的解集为 ；

当 时， 原不等式无解

综上述，原不等式的解集情况为：

①当 时，解为 ；

②当 时，无解；

③当 时，解为 ；

④当m= 时，解为 ；

⑤当 时，解为 或

设计意图：含参数的一元二次不等式的解法。

7. (人教A版115复习参考题B组第1题)

求证：

变式1：己知 都是正数，且 成等比数列，

求证：

证实：

成等比数列，

都是正数，

设计意图：基本不等式的灵活应用。

变式2：若 ，求证ab与 不能都大于

证实：假设ab, (1－a) (1－b)都大于

设计意图：基本不等式与累乘、反证法综合应用。

8. (人教A版116复习参考题B组第7题)

要制造一个无盖的盒子，外形为长方体，底宽为2m。现有制盒材料60m2,当盒子的长、高各为多少时，盒子的体积最大？

变式1：今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确,有人说要用它称物体的重量,只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量,这种说法对吗?并说明你的结论

解:不对

设左、右臂长分别是 ,物体放在左、右托盘称得重量分别为 真实重量为为G，则由杠杆平衡原理有：

，

①×②得G2= , ∴G=

由于 ，故 ,由平均值不等式 > 知说法不对

设计意图：基本不等式的应用。