一、 加强典型研讨，学会举一反三

近几年数学高考题依据教学大纲与考试大纲，在努力保持连续稳定的前提下解放思想，在改革中发展，在探索中创新，每年都有一些有背景、内涵深刻、富有新意的试题，逐步推出了应用题、探索题、阅读理解题，所以考生应加强并通过对典型问题的研讨，探求试题的一般解题规律，学会举一反三．

二、 把握通性通法，提高解题能力

高考试题一般不要求非凡技巧，着重在“通性、通法”上，总结数学学科中解决问题的基本思想和方法，重点放在有价值的常规方法的应用上，非凡是教材中每章节所给出的解决问题的一般方法．

三、 理解思想方法，把握数学特点
数学思想方法是数学的精髓，只有深刻理解并能熟练地运用数学思想方法，才能把数学的知识与技能转化为分析问题和解决问题的能力，才能体现数学学科的特点，才能形成良好的数学素质．在复习中考生非凡要注重以下的数学思想和方法：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想和转化（化归）思想，配方法、消元法、换元法、待定系数法、归纳法、坐标法、参数法、类比法、一般法，观察与分析、概括与抽象、分析与综合、非凡与一般、归纳与演绎．

四、 重视能力培养，提高解题效率

考查能力是高考永恒的主题．高考数学能力的考查主要是对逻辑思想能力、运算能力、空间想像能力、分析问题和解决问题的能力．在高三数学二、三复习中，尤其要注重逻辑思维能力与运算能力的提高，要学会观察，比较、分析、综合、抽象和概括，会用归纳、演绎和类比进行推理，会用简明准确的数学语言阐述自己的思想和观点，要会根据法则、公式定理、定律正确地进行运算的同时，会理解算理，能够根据题目的条件寻求合理、简捷的运算途径，以达到准确、熟练、迅速的运算．

专题一 函数与导数

能力培养

1． (启东中学, 中档题, 5分值, 4分钟) 设定义域为R的函数 ，则关于 的方程 有7个不同实数解的充要条件是（ ）

A． 且 B． 且

C． 且 D． 且

2． (启东中学, 中档题, 5分值, 4分钟) 若 ，则a的取值范围是( )

A． Ｂ ． Ｃ． Ｄ．

3． (启东中学, 中档题, 5分值, 4分钟) 若函数 在区间 内单调递增，则 的取值范围是( )

A、 B、 C、 D、

4． (启东中学, 中档题, 5分值, 4分钟) 已知 是定义在Ｒ上的单调函数，实数 ， ， ， ．若 ，则 ( )

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

5． (启东中学, 基础题, 4分值, 4分钟)

已知a,b为常数，若 则 ．

6． (启东中学, 中档题, 4分值, 4分钟) 当 时， 在 上是减函数．

7． (启东中学, 难题, 4分值, 4分钟) 已知 = 在区间 上的最大值 ．则 的最小值等于 ．

8． (启东中学, 中档题, 12分值, 10分钟) 设 ，点P（ ，0）是函数

的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．

（Ⅰ）用 表示a，b，c；

（Ⅱ）若函数 在（－1，3）上单调递减，求 的取值范围．

9． (启东中学, 难题, 14分值, 12分钟) 已知 函数

（Ⅰ）当a=2时，求使f（x）＝x成立的x的集合；

（Ⅱ）求函数y＝f (x)在区间[1,2]上的最小值．

答 案

1． 答案C

解析

有7个不同实数解的充要条件是方程 有两个根，一个等于0，一个大于0．此时应 且 ．选C

2．答案C

解析 法一：代非凡值验证

法二：①当 ，即 时，无解；

②当 ，即 时， ，故选C．

3． 答案B

解析 记 ，则

当 时，要使得 是增函数，则需有 恒成立，所以 ．矛盾．排除C、D

当 时，要使得 是增数，则需有 恒成立，所以 ．
排除A 本题答案选B

4． A 解析 数形结合法：当 ，如图Ａ所示，有 ，当 时，如图Ｂ所示，有 ，故选A．

5． 答案2． 解析由f(x)=x2 4x 3, f(ax b)=x2 10x 24,

得：（ax b）2 4(ax b) 3=x2 10x 24,

即：a2x2 2abx b2 4ax 4b 3=x2 10x 24,

比较系数得：

求得：a=－1,b=－7, 或a=1,b=3，则5a－b=2．

6． 答案 解析 ，由题意知 是函数的单调减区间，因此 ．

7． 答案 解析 为偶函数, 即 在 内最大值．

当a＜0时, = , =1－a;

当a＞0时, 若 ≥1, 则 =a． 若 ≤1, 则 =1－a．

∴ = 当a= 时, 有最小值 ．

8． 解析（I）因为函数 ， 的图象都过点（ ，0），所以 ，

即 ．因为 所以 ．

又因为 ， 在点（ ，0）处有相同的切线，所以

而

将 代入上式得 因此 故 ， ，

（II）解法一: ．

当 时，函数 单调递减．

由 ，若 ；若

由题意，函数 在（－1，3）上单调递减，则

所以

又当 时，函数 在（－1，3）上单调递减．

所以 的取值范围为

解法二：

因为函数 在（－1，3）上单调递减，且 是（－1，3）

上的抛物线，

所以 即 解得

所以 的取值范围为

9． 解析(Ⅰ)由题意,f(x)=x2

当x<2时,f(x)=x2(2－x)=x,解得x=0,或x=1;

当x

综上所述,所求解集为 ．

(Ⅱ)设此最小值为m．

①当

因为:

则f(x)是区间[1,2]上的增函数,所以m=f(1)=1－a．．

②当1<a ．

③当a>2时，在区间[1，2]上，

若 在区间(1，2)内f/(x)>0,从而f(x)为区间[1，2]上的增函数，

由此得：m=f(1)=a－1．

若2<a<3,则

当

当

因此，当2<a<3时，m=f(1)=a－1或m=f(2)=4(a－2)．

当 ;

当

综上所述，所求函数的最小值

专题二 不等式

复习策略

一．不等式的证实策略

不等式的证实，方法灵活多样，它可以和很多内容结合．高考解答题中，常渗透不等式证实的内容，纯不等式的证实，历来是高中数学中的一个难点，本专题着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力．

二．不等式的解法策略

不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点，解不等式的应用非常广泛，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围等，高考试题中对于解不等式要求较高，往往与函数概念，非凡是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系，应重视；从历年高考题目看，关于解不等式的内容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的则是间接考查解不等式．

三．不等式的应用策略

不等式是继函数与方程之后的又一重点内容之一，作为解决问题的工具，与其他知识综合运用的特点比较突出．不等式的应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题、本专题提供相关的思想方法，使考生能够运用不等式的性质、定理和方法解决函数、方程、实际应用等方面的问题．

典例剖析

例1已知函数 ，数列 满足

（Ⅰ）设 ，证实： ；

（Ⅱ）设（Ⅰ）中的数列 的前n项和为Sn，证实

解析（Ⅰ）由题意得，

（Ⅱ）证实：由（Ⅰ）证实过程可知，

点评 本题主要考查函数、数列、不等式的证实等基本知识，考查应用放缩法证实不等式 ．

例2已知函数

（1）求函数 的最大值；

（2）当 时，求证 ；

解析（1）

令 得

当 时， 当 时 ，又

当且仅当 时， 取得最大值0

（2）

由（1）知

又

例3 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴

有两个不同的公共点，若f(c)＝0，

解析 由已知，f(x)的图象与x轴有两个不同的公共点 ∴f(x)＝0有两个不同的实数根x1、x2
∵f(c)＝0，且x1·x2＝ EQ \f(c,a), ∴f(x)＝0的两个根就是c和 EQ \f(1,a) ．

假如 EQ \f(1,a)＜c，∵a＞0，故 EQ \f(1,a)＞0，即0＜ EQ \f(1,a)＜c
而当0＜x＜c时，f(x)＞0，所以有f( EQ \f(1,a))＞0，这与 EQ \f(1,a)时f(x)＝0的根矛盾 ∴ EQ \f(1,a)＞c

(2)证实：∵f(c)＝0，∴ac2＋bc＋c＝0
又c＞0，故ac＋b＋1＝0
∵a＞0，c＞0，所以ac＞0，于是b＋1＜0，故b＜－1

又f(x)的图象对称轴x＝－ EQ \f(b,2a)，且f(x)＝0的两根为c和 EQ \f(1,a)，且c＜ EQ \f(1,a)
∴－ EQ \f(b,2a)＜ EQ \f(1,a) Þ b＞－2 , 故－2＜b＜－1

(3)证实：∵t＞0，要证 EQ \f(a,t＋2)＋\f(b,t＋1)＋\f(c,t)＞0
对左边通分后知，只需证分子(a＋b＋c)t2＋(a＋2b＋3c)t＋2c＞0即可
记g(t)＝(a＋b＋c)t2＋(a＋2b＋3c)t＋2c
由0＜1＜c且0＜x＜c时f(x)＞0，有f(1)＝a＋b＋c＞0
又a＋2b＋3c＝(a＋b＋c)＋(b＋2c)＞b＋2c＞b＋2＞2

∴g(t)图象的对称轴t＝－ EQ \f(a＋2b＋3c,2(a＋b＋c))＜0 ∴函数g(t)在[0，＋∞ 上递增
故当t＞0时，g(t)＞g(0)＝2c＞0 ∴原结论成立．

例4已知数列 中， ， ．

(1)若 ，求实数 的取值范围；

(2)求证：不存在正实数 ，使 ，对任意 恒成立．

解析 (1) ，

∴

∵ ，∴ ，故 ．

(2)(反证法) 假设存在正实数 ，对任意 ，使 恒成立．则 恒成立，

∴ ，∴ ， ∴ ，

又 ， ，……， ，

∴ ，即 ，

故取 即 ，有 ，则与 矛盾．

因此，不存在正实数 ，使 ，对任意 恒成立．

点评 存在性问题经常可用反证法证实．

例5已知函数 的最大值不大于 ，又当

（1）求a的值；

（2）设

解析（1）由于 的最大值不大于

所以 ①

又 所以 ． ②

由①②得

（2）证法一：（i）当n=1时， ，不等式 成立；

因 时不等式也成立．

（ii）假设 时，不等式 成立，

因为 的对称轴为

知 为增函数，所以由 得

于是有

所以当n=k 1时，不等式也成立．

根据（i）（ii）可知，对任何 ，不等式 成立．

证法二：（i）当n=1时， ，不等式 成立；

（ii）假设 时不等式成立，即 ，则当n=k 1时，

因 所以

于是 因此当n=k 1时，不等式也成立．

根据（i）（ii）可知，对任何 ，不等式 成立．

点评 本题要考查函数和不等式的概念，考查数学归纳法，以及灵活运用数学方法分析和解决问题的能力． 根据题意利用二次函数在结定区间上最值确定a的值；利用数学归纳法解决不等式问题．

例6 数列{an}满足 ．

（Ⅰ）用数学归纳法证实： ；

（Ⅱ）已知不等式 ，其中无理数

e=2．71828…．

解析（Ⅰ）证实：（1）当n=2时， ，不等式成立．

（2）假设当 时不等式成立，即

那么 ． 这就是说，当 时不等式成立．

根据（1）、（2）可知： 成立．

（Ⅱ）证法一：

由递推公式及（Ⅰ）的结论有

两边取对数并利用已知不等式得

故

上式从1到 求和可得

即

（Ⅱ）证法二：

由数学归纳法易证 成立，故

令

取对数并利用已知不等式得

上式从2到n求和得

因

故 成立．

不等式证实解题技巧

1．不等式证实常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证实不等式的最基本的方法．

(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判定三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判定过程必须具体叙述；假如作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证．

(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野．

2．不等式证实还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等．换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注重代换的等价性．放缩性是不等式证实中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查．有些不等式，从正面证假如不易说清楚，可以考虑反证法．凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法．

3．与数列有关的问题或者与正整数有关的问题时常用数学归纳法证实．

证实不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证实方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并把握相应的步骤、技巧．

例7已知函数 （a，b为常数）且方程f(x)－x 12=0有两个实根为x1=3, x2=4．

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）设k>1，解关于x的不等式；

解析 本题主要考查求函数的解析式及含参分式不等式的解法．

（1）将 得

（2）不等式即为

即

①当

②当

③ ．

点评 解不等式的过程实质上就是转化的过程,分式不等式转化成整式不等式,解分式不等式一般情况下是移项,通分,然后转化成整式不等式,对于高次不等式,借助数轴法,则简单,快捷,另外 , ,含有参数问题要对参数加以讨论．

例8设函数f(x)＝|x－m|－mx，其中m为常数且m<0．

（1）解关于x的不等式f(x)<0；

（2）试探求f(x)存在最小值的充要条件，并求出相应的最小值．

解析（1）由f(x)<0得，|x－m|<mx，得－mx<x－m<mx，即

①当m=－1时， x<－ eq \f(1,2)

②当－1< m<0时， eq \f(m,1 m)<x< eq \f(m,1－m)

③当m<－1时， x< eq \f(m,1－m)

综上所述，当m<－1时，不等式解集为{x|x< eq \f(m,1－m)}

当m=－1时，不等式解集为{x|x<－ eq \f(1,2)}

当－1<m<0时，不等式解集为{x| eq \f(m,1 m)<x< eq \f(m,1－m)}

（2）f(x)=

∵m<0，∴1－m>0，f(x)在[m， ∞)上单调递增，要使函数f(x)存在最小值，

则f(x)在(－∞，m)上是减函数或常数，

∴－(1 m)≤0即m≥－1，又m<0，∴－1≤m<0．

点评 有关绝对值问题先去掉绝对值符号即利用 等价转化为不等式组．然后对m分类讨论．

例9已知定义在R上函数f(x)为奇函数，且在 上是增函数，对于任意 实数m，使 恒成立．

解析 ∵ f(x)在R上为奇函数，且在 上是增函数，

∴ f(x)在 上为增函数

又 ∵

∴ ＞－ ＝

∴ 即

∵ 2－ ， ∴ 2

∴ m>

令2－ ∴ m>4－

即4－m< 在 上恒成立．

即求 在 上的最小值

∵ ≥2 等号成立条件t= ,即 成立

∴ ∴ 4－m< 即m>4－

∴ m的取值范围为（4－ ，＋∞）

点评 解含参数不等式的问题有时可用分离参数法． 所谓分离参数法也就是将参数与未知量分离于表达式的两边，然后根据未知量的取值范围情况决定参数的范围．这种方法可避免分类讨论的麻烦，使问题得到简单明快的解决．

一般地，利用最值分离参数法来确定不等式 , （ 为实参数）中参数取值范围的基本步骤:

（1） 将参数与变量分离，即化为 的形式；

（2） 求 在 D时的最大（或最小）值；

（3） 解不等式 得 的取值范围．

思想方法：把不等式中恒成立问题转化为求函数最值问题．

适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出．

利用这种方法可以顺利解决许多含参数不等式中的取值问题，还可以用来证实一些不等式．

不等式解法解题技巧

解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注重下面几个问题：

(1)熟练把握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法．

(2)把握用序轴标根法解高次不等式和分式不等式，非凡要注重因式的处理方法．

(3)把握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法．

(4)把握含绝对值不等式的几种基本类型的解法．

(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式．

(6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论．

例10某段城铁线路上依次有A、B、C三站，AB=5km，BC=3km，在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A站发车，8时07分到达B站并停车1分钟，8时12分到达C站，在实际运行中，假设列车从A站正点发车，在B站停留1分钟，并在行驶时以同一速度 匀速行驶，列车从A站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差．

（I）分别写出列车在B、C两站的运行误差

（II）若要求列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，求 的取值范围．

解析（I）列车在B，C两站的运行误差（单位：分钟）分别是

和

（II）由于列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，所以

（*）

当 时，（*）式变形为

解得

当 时，（*）式变形为

解得

当 时，（*）式变形为

解得

综上所述， 的取值范围是[39， ]

例11设f(x)是定义在[0, 1]上的函数，若存在x*∈(0，1)，使得f(x)在[0, x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称f(x)为[0, 1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．

对任意的[0，l]上的单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法．

（ = 1 \* ROMAN I）证实：对任意的x1，x2∈(0，1)，x1＜x2，若f(x1)≥f(x2)，则(0，x2)为含峰区间；若f(x1)≤f(x2)，则(x*，1)为含峰区间；

（ = 2 \* ROMAN II）对给定的r（0＜r＜0．5），证实：存在x1，x2∈(0，1)，满足x2－x1≥2r，使得由（I）所确定的含峰区间的长度不大于 0．5＋r；

（ = 3 \* ROMAN III）选取x1，x2∈(0, 1)，x1＜x2，由（ = 1 \* ROMAN I）可确定含峰区间为(0，x2)或(x1，1)，在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为(0，x2)的情况下，试确定x1，x2，x3的值，满足两两之差的绝对值不小于0．02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0．34．

（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）

解析（I）证实：设x*为f(x) 的峰点，则由单峰函数定义可知，f(x)在[0, x*]上单调递增，在[x*, 1]上单调递减．

当f(x1)≥f(x2)时，假设x* (0, x2)，则x1<x2<x*，从而f(x*)≥f(x2)>f(x1)，

这与f(x1)≥f(x2)矛盾，所以x*∈(0, x2)，即(0, x2)是含峰区间．

当f(x1)≤f(x2)时，假设x* ( x2, 1)，则x*≤x1<x2，从而f(x*)≥f(x1)>f(x2)，

这与f(x1)≤f(x2)矛盾，所以x*∈(x1, 1)，即(x1, 1)是含峰区间．

（ = 2 \* ROMAN II）证实：由（I）的结论可知：

当f(x1)≥f(x2)时，含峰区间的长度为l1＝x2；

当f(x1)≤f(x2)时，含峰区间的长度为l2=1－x1；

对于上述两种情况，由题意得

①

由①得 1＋x2－x1≤1＋2r，即x1－x1≤2r．

又因为x2－x1≥2r，所以x2－x1=2r, ②

将②代入①得

x1≤0．5－r, x2≥0．5－r， ③

由①和③解得 x1＝0．5－r， x2＝0．5＋r．

所以这时含峰区间的长度l1＝l1＝0．5＋r，即存在x1，x2使得所确定的含峰区间的长度不大于0．5＋r．

（ = 3 \* ROMAN III）对先选择的x1；x2，x1<x2，由（ = 2 \* ROMAN II）可知

x1＋x2＝l， ④

在第一次确定的含峰区间为(0, x2)的情况下，x3的取值应满足

x3＋x1＝x2， = 5 \* GB3 ⑤

由④与⑤可得 ,

当x1>x3时，含峰区间的长度为x1．

由条件x1－x3≥0．02，得x1－(1－2x1)≥0．02，从而x1≥0．34．

因此，为了将含峰区间的长度缩短到0．34，只要取

x1＝0．34，x2＝0．66，x3=0．32．

点评 本题为信息题,通过题目中给出的信息结合已学过的数学知识解决这类问题．

例12 在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图 所示）．将矩形折叠，使A点落在线段DC上．

（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；

解析(I) （1）当 时,此时A点与D点重合, 折痕所在的直线方程

（2）当 时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G(a,1)

所以A与G关于折痕所在的直线对称，有

故G点坐标为 ，从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为

折痕所在的直线方程 ，即

由（1）（2）得折痕所在的直线方程为：

（II）折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为

解 得 ； 解 得

当A与D重合时，k=－2

（1）当 时，直线交BC于

．

（2）当 时，

, 令 解得 , 此时

∴

（3）当 时，直线交DC于

所以折痕的长度的最大值为

点评 利用导数可解有关不等式综合应用问题．

不等式应用解题技巧

1．应用不等式知识可以解决函数、方程等方面的问题，在解决这些问题时，要害是把非不等式问题转化为不等式问题，在化归与转化中，要注重等价性．

2．对于应用题要通过阅读，理解所给定的材料，寻找量与量之间的内在联系，抽象出事物系统的主要特征与关系，建立起能反映其本质属性的数学结构，从而建立起数学模型，然后利用不等式的知识求出题中的问题．

专题二 不等式

能力培养

1． (启东中学, 基础题, 5分值, 4分钟) 设有两个命题：①关于x的不等式mx2 3mx 1>0的解集是R，②函数f(x)=logmx是减函数．假如这两个命题中有且只有一个真命题，则实数m的取值范围是 ．

2． (启东中学, 基础题, 5分值, 4分钟) 某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买 黄金，售货员先将 的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将 的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金　　　 （ ）

A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于

3． (启东中学, 基础题, 5分值, 4分钟) 在“ eq \f(4, ) eq \f(9, ) =1”中的“ ”处分别填上一个自然数，并使他们的和最小．

4． (启东中学, 中档题, 5分值, 4分钟) 已知实数a，b，c，d满足：a<b，c<d，(a－c)(a－d)=4，(b－c)(b－d)=4， 则 （ ）

A． a<b<c<d　 B． c<d< a <b C．c <a<d<b　 D ．a <c<d<b

5． (启东中学, 中档题, 4分值, 4分钟) 对于在区间 上有意义的两个函数 假如对于任意 ，均有 则称 在 上是接近的．若函数 与函数 在区间 上非常接近，则该区间可以是　　　　　　　　．

6． (启东中学, 中档题, 4分值, 4分钟) 已知A={x|x2－4x 3＜0,xÎR}, B={x| ≤0, x2－2(a 7)x 5≤0,xÎR}．若AÍB, 则实数a的取值范围是____________．

7．(启东中学, 难题, 4分值, 5分钟) 设0<a ,若满足不等式 的 一切实数x，

亦满足不等式 则正实数b的取值范围 ．

8． (启东中学, 中档题, 10分值, 10分钟)

已知函数 ．

（1）若对任意的 ；

（2）若对任意的x1、

9． (启东中学, 难题, 12分值, 12分钟) 已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足；

（1）对于任意 ；

（2）f (x)=1;

（3）若x1≥0, x2≥0, x1＋ x2≤1，则有f (x1＋x2) ≥f (x1)＋f (x2)

( I )试求f (0)的值；（Ⅱ）试求函数 的最大值．

（Ⅲ）（文）试证实：当 当

（IV）（理）试证实： 当

答 案

1． 答案m＝0或 eq \f(4,9)≤m<1． 解析 ∵关于x的不等式mx2 3mx 1>0的解集是R m=0或 0≤m< eq \f(4,9)；函数f(x)=logmx是减函数 0<m<1．∴要使这两个命题中有且只有一个真命题，则有m＝0或 eq \f(4,9)≤m<1．

2． 答案 ＞ 解析 设天平的两边臂长分别为 ，两次所称黄金的重量分别是 ，于是有关系式　 ， ．则　

3． 答案 10 , 15 解析 设这两个自然数分别为x，y，则有x y=(x y)( eq \f(4,x) eq \f(9,y) =1)=13 eq \f(4y,x) eq \f(9x,y)≥13 2 eq \r(\f(4y,x)·\f(9x,y))≥25，等号当且仅当 eq \f(4y,x) = eq \f(9x,y)且 eq \f(4,x) eq \f(9,y) =1，即x=10，y=15时成立．

4． 答案 D 解析 作函数y＝(x－c)(x－d)及函数 y＝(x－c)(x－d)－4的图象，由图易得a <c<d<b．选D．

5．答案 或填 或填它们的任一子区间（答案有无数个）

解析: 由 得 即 ．

6． 答案－4≤a≤1 解析 易得A=(1,3), 设 , 在(1,3) 上的图象均在x轴下方． 其充要条件是：同时有 ≤0, ≤0, ≤0, ≤0． ∴－4≤a≤1

7． 答案 解析 设集合A＝ ，

B=

于是得不等式组：

又 ，最小值为 ；

最小值为 ；

∴ , 即 b的取值范围是

8． 解析 ⑴令

∴ 在 上恒成立，等价于

若 ,显然

若 ，

且当 时， ；当 时，

∴ 当 ， =

即 · 解得 a≤5 ∴2＜a≤5

∴ a的范围是

⑵由题意

显然 = （当x=0时，取最小值）

a≥0时，g(x)无最大值， 不合题意，∴a＜0．

又 ，

∴ ，

∴a的范围 ．

9． 解析（Ⅰ）．令 ，依条件（3）可得f (0 0)≥f (0) f (0),即f (0) ≤0

又由条件（1）得f (0) ≥0，则f (0)= 0

（Ⅱ）任取0≤ ≤1，可知 ，

则 ，

即 ≥0，故 于是当0≤x≤1时，有f (x) ≤f (1) =1,因此，当x=1时，f (x)有最大值1

（Ⅲ）证实：当 时，f (x) ≤1<2x

当 时，f (2x) ≥f (x) f (x)=2f (x)，∴

（Ⅳ）证实：当 时，f (x) ≤1≤2x ．

当 时，f (2x) ≥f (x) f (x)=2 f(x)，∴ ，

显然，当 时， · · 成立

假设当 时，有 成立，其中k=1,2,…

那么当 时，

· · · ·

可知对于 ，总有 ，其中n∈N*

此时 ，故 时，有f (x)＜2x (n∈N*)

专题三 数列、极限与数学归纳法

能力培养

1． (启东中学, 基础题, 5分值, 4分钟) 已知等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，若S16＞0，且S17＜0，则当Sn最大时，n的值为( )
A．16 B．9 C．8 D．10
2． (启东中学, 中档题, 5分值, 4分钟) 等比数列{an} 中，已知a1 a2 a3= 64，a4 a5 a6= －16，则此数列的前18项的和等于（）

A． B． C． D．

3． (启东中学, 中档题, 5分值, 4分钟) 已知lg3,lg(sinx－ ),lg(1－y)顺次成等差数列，则

A． y有最小值 ，无最大值 B．y有最大值1，无最小值

C．y有最小值 ，最大值1 D．y有最小值－1，最大值1

4． (启东中学, 中档题, 5分值, 4分钟) 已知数列 满足 ， ， ．若 ，则

A． B．3 C．4 D．5

5． (启东中学, 中档题, 4分值, 4分钟) 用 个不同的实数 可得到 个不同的排列，每个排列为一行写成一个 行的数阵．对第 行 ，记 ， ．

例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以， ，那么，

在用1，2，3，4，5形成的数阵中， =________．

6． (启东中学, 中档题, 4分值, 4分钟) 设平面内有 条直线 ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用 表示这 条直线交点的个数，则 =____________；当 时， ．（用 表示）

7． (启东中学, 中档题, 5分值, 4分钟) 一给定函数 的图象在下列图中，并且对任意 ，由关系式 得到的数列 满足 ，则该函数的图象是( )

（Ａ） 　 （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）

8． (启东中学, 中档题, 12分值, 10分钟) 设 （ 为常数），若 ，且 只有唯一实数根

（1）求 的解析式

（2）令 求数列 的通项公式．

9． (启东中学, 难题, 12分值, 12分钟) 已知数列

（1）证实

（2）求数列 的通项公式an．

答 案

1． 答案 C 解析 S16＞0 Þ EQ \f(16(a1＋a16),2)＞0，即a1＋a16＞0，也即a8＋a9＞0, S17＜0

Þ 17a9＜0，即a9＜0 ∴a9＜0，a8＞0 ∴当n＝8时，Sn最大．选C

2． 答案B 解析 由题设得 故前18项的和为64－16 4－1 － =

3． 答案A 解析由已知得2lg(sinx－ )=lg3 lg(1－y)，且 ,

得(sinx－ )2=3(1－y) 得y=1－ ,

当sinx=1时，ymin= ，无最大值，选A．

4． 答案B 解析解法一：非凡值法，当 时，

由此可推测 ，故选B．

解法二：∵ ，∴ ， ，

∴ 是以（ ）为首项，以 为公比6的等比数列，

令 ，则

…

…

∴ ，∴ ，故选B．

5． 答案 －1080 解析在用1，2，3，4，5形成的数阵中，每一列各数之和都是360，

6． 答案 5， ．解析 由图可得 ，

∵n每增加1，则交点增加 个，

∴

．

7． 答案A 解析 由 ， ，得 ，即 ，故选A ．

8． 解析（1） ，又

令 得

当 时得方程的实数根 和 于是

当 时 方程有唯一实数根

或

（2）当 时， ，令 则 ，

当 时， 为等比数列，

或

9． 解析（1）方法一 用数学归纳法证实：

1°当n=1时，

∴ ，命题正确．

2°假设n=k时有

则

而

又

∴ 时命题正确．

由1°、2°知，对一切n∈N时有

方法二：用数学归纳法证实：

1°当n=1时， ∴ ；

2°假设n=k时有 成立，

令 ， 在[0，2]上单调递增，所以由假设

有： 即

也即当n=k 1时 成立，所以对一切

（2）下面来求数列的通项： 所以

,

又bn=－1，所以 ．

专题四 三角函数

能力培养

1． (启东中学, 基础题, 5分值, 3分钟) 曲线y=2sin(x eq \f(π,4))cos(x － eq \f(π,4))和直线y= eq \f(1,2) 在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则|P2P4|等于 （ ）

A．π B ．2π C．3π D．4π

2． (启东中学, 中档题, 5分值, 3分钟) 若 的内角满足 则角 的取值范围是 （ ）

A．(0， eq \f(π,4))　　 　B．( eq \f(π,4)， eq \f(π,2)) C．( eq \f(π,2)， eq \f(3π,4))　　　D． ( eq \f(3π,4)，π)

3． (启东中学, 中档题, 5分值, 4分钟) 在锐角 中，下列结论一定成立的是（ ）

A． B．

C． D．

4． (启东中学, 中档题, 5分值, 4分钟) 定义在Ｒ上的周期函数 ，其周期Ｔ＝２，直线 是它的图象的一条对称轴，且 上是减函数．假如Ａ、Ｂ是锐角三角形的两个内角，则 （ 　）　　　　　　　　　　

Ａ． 　　　　　 Ｂ．

Ｃ． 　　　　 Ｄ．

5． (启东中学, 中档题, 4分值, 4分钟) 已知sin(α＋β)＝ EQ \f(2,3)，sin(α－β)＝ EQ \f(1,5)，则tanαcotβ的值是_____________
6． (启东中学, 中档题, 4分值, 4分钟)

是正实数，设 ，若对每个实数a ， ∩ 的元素不超过２个，且有a使 ∩ 含有２个元素，则 的取值范围是___________．

7． (启东中学, 中档题, 4分值, 4分钟) 设函数f (x)的图象与直线x =a，x =b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积，已知函数y＝sinnx在[0， ]上的面积为 （n∈N*），（i）y＝sin3x在[0, ]上的面积为　　　；（ii）y＝sin（3x－π）＋1在[ ， ]上的面积为　　 　．

8． (启东中学, 中档题, 10分值, 7分钟) 已知 是方程 的两个根中较小的根，求 的值．

9． (启东中学, 中档题, 10分值, 8分钟) 求函数f (x) =︱sinx cosx tanx cotx secx cscx︱ 的最小值 ． 其中 secx= , cscx= ．

答 案

1． 答案A 解析∵y=2sin(x eq \f(π,4))cos(x － eq \f(π,4))=2sin2(x eq \f(π,4))=1 － cos(2x eq \f(π,2))=1 sin2x，∴根据题意作出函数图象得知：|P2P4|=T=π．选A．

2． 答案C 解析 由 的内角满足 ，易得cosA<0，∴A为钝角，取 代入 ，显然满足．选C．

3． 答案D 解析 依题意

4． 答案A 解析由已知可得 上是增函数，且 ．

5． 答案 EQ \f(13,7) 解析由已知sinαcosβ＋cosαsinβ＝ EQ \f(2,3) ①
sinαcosβ－cosαsinβ＝ EQ \f(1,5) ②
EQ \f(1,2)(①＋②)：sinαcosβ＝ EQ \f(13,30)， EQ \f(1,2)(①－②)：cosαsinβ＝ EQ \f(7,30), 于是tanαcotβ＝ EQ \f(13,7)．

6． 答案 解析 ∵ 是奇函数，且 ，

∴ ， ∴ ， Z，

∵ ∩ 的元素不超过２个，

∴ ，∴ ，∵且有a使 ∩ 含有２个元素，

∴ ，∴ ，∴ ，

7． 答案 解析由题意得：

为一个半周期结合图象分析其面积为 ．

8． 解析 ∵ 是方程 的较小根，∴ 方程的较大根是 ．

∵ ＋ = ，即 , ∴ ．

解得 ，或 ．

当 时， ， ；

当 时， ， ，不合题意．

∴ ．

9． 解析 设 u = sin x cos x , 则 sin x cos x = ( u2 － 1 ) ．

sin x cos x tan x cot x sec x csc x = u ,

当 u > 1 时 , f ( x ) = 1 u －1 1 2 ．

当 u < 1 时 , f ( x ) = －1 1－u 2 －1 ( u = 1－ 时等号成立 )

因此, f ( x ) 的最小值是 2 －1 ．

专题五 平面向量

能力培养

1． (启东中学, 基础题, 5分值, 3分钟) 已知a、b为两个非零向量，有以下命题：①a2=b2，②a·b=b2，③| a |=| b |且a∥b．其中可以作为a = b的必要但不充分条件的命题是（ ）

A．② B．①②③ C．②③ D．①③

2． (启东中学, 中档题, 5分值, 3分钟)

已知向量 （ ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

3． (启东中学, 中档题, 5分值, 3分钟) | a |=1，| b |=2，c = a b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为 （ ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

4． (启东中学, 中档题, 5分值, 3分钟) P是△ABC所在平面上一点，若 ，则P是△ABC的（　 ）

　　A．外心　 B．内心　 C．重心　 D．垂心

5． (启东中学, 中档题, 4分值, 4分钟) 的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H， ，则实数 　　 ．

6． (启东中学, 中档题, 4分值, 4分钟) 在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，

则 的最小值是 ．

7． (启东中学, 中档题, 4分值, 5分钟)

已知向量 和 ，且 则 的值是 ．

8． (启东中学, 中档题, 10分值, 10分钟) 已知向量 ＝(cos x，sin x)， ＝( )，且x∈[0， ]．若f (x)＝ · －2 ｜ ＋ ｜的最小值是 ，求 的值．

9． (启东中学, 难题, 10分值, 12分钟) 已知 分别是x轴，y轴方向上的单位向量， ，

在射线y=x(x≥0)上从下到上依次有点Bi=（i=1，2，3，…）， （n=2，3，4…）．

（Ⅰ）求 ；

（Ⅱ）求 ；

（III）求四边形 面积的最大值．

答 案

1． 答案B 解析 显然①②③均为a = b的必要但不充分条件，故选B．

2． 答案C 解析设 ，则 ，又

，所以 ，得 ， ，选C．

3． 答案C 解析 设所求两向量的夹角为

　　即：

所以

4． 答案D 解析由 ．

即

则

所以P为 的垂心． 故选D．

5． 答案1 解析（特例法）设 为一个直角三角形，则O点斜边的中点，H点为直角顶点，这时有 ，∴ ．

=

7． 答案 解析

=

= =

由已知 ,得 又

8． 解析 a · b
| a＋b |
∴cos x≥0，因此| a＋b |＝2 cos x
　　∴f (x)＝a · b－2 ｜a＋b｜即
　　 ∴0≤cos x≤1
　　①若 ＜0，则当且仅当cos x＝0时，f (x)取得最小值－1，这与已知矛盾；

　　②若0≤ ≤1，则当且仅当cos x＝ 时，f (x)取得最小值 ，
　　由已知得 ，解得：

　　③若 ＞1，则当且仅当cos x＝1时，f (x)取得最小值 ，
　　由已知得 ，解得： ，这与 相矛盾．
　　综上所述， 为所求．

9． 解析（Ⅰ）

（II）由（1）知

专题一 直线与圆的方程

能 力 培 养

1. (启东中学, 基础题, 5分值, 4分钟) “a=b”是“直线 ”的 （ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

2. (启东中学, 基础题, 5分值, 4分钟) “ ”是“直线

相互垂直”的 （ ）

A．充分必要条件 B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

3. (启东中学, 基础题, 5分值, 4分钟) 已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A、B

两点，且|AB|＝ ，则 　= ( )

A. B. C. D.

4. (启东中学, 中档题, 5分值, 4分钟) 已知ab≠0,点M(a,b)是圆x2 y2=r2内一点,直线m是以点M为中点的弦所在的直线,直线l的方程是ax by=r2,则下列结论正确的是( )

A m∥l,且l与圆相交 B m⊥l,且l与圆相切

C m∥l,且l与圆相离 D m⊥l,且l与圆相离

5. (启东中学, 中档题, 4分值, 4分钟) 从原点向圆 作两条切线，则该圆夹

在两条切线间的劣弧长为 .

6. (启东中学, 中档题, 4分值, 4分钟) 若直线 按向量 平移后与圆 相切，则c的值为 .

7. (启东中学, 中档题, 4分值, 4分钟) 设直线 和圆 相交于点A、B，则弦AB的垂直平分线方程是 .

8. (启东中学, 中档题, 12分值, 10分钟) 定义映射f：A(x,y) B(x y, x－y) 是否存在这样的直线l：若点A在直线l上移动,点B仍在这条直线上.若存在请你求出所有这些直线 l;若不存在,请你说明理由.

9. (启东中学, 难题, 12分值, 10分钟) 某商场只设有超市部、服装部、家电部三个部门，共有200名售货员，计划三个部门日营业额共为55万元，各部门的商品每1万元营业额所需售货员人数如表（1），每1万元营业额所得利润如表（2），若商场预期每日的总利润为 万元，且满足 ，又已知商场分配给三个部门的日营业额为正整数万元，问商场怎样分配营业额给三个部门？各部门分别安排多少名售货员？

表（1） 表（2）

部门

每1万元营业额所需人数

超市部

4

服装部

5

家电部

2

①

②

①