理科数学试卷

命题学校：东莞中学

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1. 已知 ，则

A. B. C. D.

2. 已知 为第二象限的角，且 ，则

A． \* MERGEFORMAT B． \* MERGEFORMAT C． \* MERGEFORMAT D． \* MERGEFORMAT

3. 设 ，则下列不等式成立的是

C. D.

4. 已知函数 ，其导数 的图象如右图，

则函数 的极小值是

A. B. C. D.

5. 在△ 中，若 ，则 是

A.­直角三角形 B. 等腰直角三角形

C.钝角三角形 D. 等边三角形

6. 函数 在（－2，0）上是单调递增的，则此函数在 上是

A.单调递增 B.单调递减 C.先增后减 D.先减后增

7. 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文 ， ， 对应密文 ， ， .例如,明文1，2，3对应密文7，14，6. 当接收方收到密文16，30，14时，则解密得到的明文为

A.2，4，7 B.2，7，4 C.4，2，7 D.7，4，2

8. 数列 中， ，则 =

A. B. C. D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分.

9. 已知命题 ， ，则 .

10. 已知 ，则 .

11. 数列 中， ，且数列 是等差数列，则 =___________．

12. 已知函数 的一条对称轴方程为 ，则函数 的位于对称轴 左边的第一个对称中心为 .

13. 给出下列四个命题：

①函数 （ 且 ）与函数 （ 且 ）的定义域相同；

②函数 与 的值域相同；

③函数 与 都是奇函数；

④函数 与 在区间 上都是增函数，

其中正确命题的序号是 .（把你认为正确的命题序号都填上）

14. 对于函数 ，若 \* MERGEFORMAT 有六个不同的单调区间，则 的取值范围为 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证实过程或演算步骤．

15. （本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）求 的最小正周期；

（Ⅱ）求 的单调增区间；

（Ⅲ）若 ，求 的值.

16. （本小题满分12分）

已知数列 的前n项和为 ， .

（Ⅰ）求 ；（Ⅱ）求数列 的通项公式.

17. （本小题满分14分）

设函数 的定义域为 ，对任意实数 、 都有 ，当 时 且 .

(Ⅰ) 求证：函数 为奇函数；

(Ⅱ) 证实函数 在 上是增函数；

(Ⅲ) 在区间［－4，4］上，求 的最值.

18. （本小题满分14分）

为庆祝东莞中学105周年，教师足球队与学生足球队进行一场足球对抗赛. 学生甲带着球，以9米/秒的速度向正南方向走，看到学生乙正好在他的正南方21米处，此时学生乙以6米/秒的速度向南偏东 方向走，学生甲想离学生乙最近的时候把球传给他.问经过多少时间后，两位学生相距最近，并求出两位学生的最近距离.

19. （本小题满分14分）

设 是函数 的两个极值点，且 .

（Ⅰ）求 的取值范围；

（Ⅱ）求 的最大值.

20. （本小题满分14分）

已知等差数列 满足 ，等比数列 前 项和 。

(Ⅰ) 求 的值以及数列 的通项公式；

(Ⅱ)试求 的最大值以及 最大时数列 的通项公式；

(Ⅲ)若 ，求数列 的前 项和.

答题卷

第Ⅰ卷（本卷共计40分）

一、选择题：（共8小题，每小题5分，共计40分）

第Ⅱ卷（本卷共计110分）

二、填空题：（共6小题，每小题5分，共计30分）

9． 10．

11． 12．

13． 14．

三、解答题：（共6小题，共计80分，解答写出文字说明、证实过程或演算步骤）

15．（本小题满分12分）

16．（本小题满分12分）

17．（本小题满分14分）

18．（本小题满分14分）

19．（本小题满分14分）

20．（本小题满分14分）

参考答案

一、选择题

1. C 2. A 3. C 4. D 5.D 6. B 7. C 8. B

二、填空题

9. ， 10. 11. 12. 13. = 1 \* GB3 ① = 3 \* GB3 ③ 14.（1，2）

三、解答题

15. 解： 1分

2分

―――3分

（Ⅰ） 的最小正周期为 ；　　　　　　　 ―――6分

（Ⅱ）由 ， 7分

得 ， 　 8分

的单调增区间为 　　　　　―――9分

（Ⅲ）因为 ，即 10分

11分

　　　 ―――12分

16.解：(Ⅰ)∵

∴当 时，则 得 1分

解得 ―――3分

当 时，则由 4分

解得 ――6分

(Ⅱ) 当 时， ―――7分

―――8分

， 中各项不为零 ―――9分

―――10分

是以 为首项， 为公比的数列 ―――11分

―――12分

17. (Ⅰ) 证实：∵ ，

∴ 令 ，得 ―――1分

∴ ―――2分

令 ，得 ―――3分

即

∴函数 为奇函数 ―――4分

(Ⅱ) 证实：设 ，且 ―――5分

则 ―――6分

又∵当 时

∴ ―――7分

即 ―――8分

∴函数 在 上是增函数 ―――9分

(Ⅲ) ∵函数 在 上是增函数

∴函数 在区间［－4，4］上也是增函数 ―――10分

∴函数 的最大值为 ，最小值为 ―――11分

∵

∴ ―――12分

∵函数 为奇函数

∴ ―――13分

故，函数 的最大值为12，最小值为 . ―――14分

18. 解：设甲现在所在位置为A，乙现在所在位置为B，运动t秒后分别到达位置C、D,如图可知CD即为甲乙的距离. ――1分

当 时, ――2分

――3分

――5分

时， ――7分

当 时,C、B重合, ――9分

当 时,

――10分

――12分

――13分

综上所述：经过2秒后两人距离最近为 . ――14分

19. 解证：（I）易得 ―――1分

的两个极值点

的两个实根，又

―――3分

∴ ―――5分

∵

―――6分

―――8分

（Ⅱ）设 则

―――10分

由 ―――11分

上单调递减 ―――12分

―――13分

∴ 的最大值是 ―――14分

20.解：(Ⅰ)当 时， ， ，―――1分

数列 为等比数列， ，故 ―――2分

―――3分

(Ⅱ)设数列 公差 ，

根据题意有： ， ―――4分

即：

， ，代入上式有： ―――5分

, ―――7分

即关于 不等式 有解

―――8分

当 时，

―――9分

―――10分

(Ⅲ) ，记 前n项和为 ―――11分

―――12分

―――13分

―――14分