高考理科数学六校第二次联考

理科数学试卷

命题学校：东莞中学

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1. 已知 ，则

A. B. C. D.

2. 已知 为第二象限的角，且 ，则

A． \* MERGEFORMAT B． \* MERGEFORMAT C． \* MERGEFORMAT D． \* MERGEFORMAT

3. 设 ，则下列不等式成立的是

0

1

2

（第4题图）

A. B.

C. D.

4. 已知函数 ，其导数 的图象如右图，

则函数 的极小值是

A. B. C. D.

5. 在△ 中，若 ，则 是

A.­直角三角形 B. 等腰直角三角形

C.钝角三角形 D. 等边三角形

6. 函数 在（－2，0）上是单调递增的，则此函数在 上是

A.单调递增 B.单调递减 C.先增后减 D.先减后增

7. 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文 ， ， 对应密文 ， ， .例如,明文1，2，3对应密文7，14，6. 当接收方收到密文16，30，14时，则解密得到的明文为

A.2，4，7 B.2，7，4 C.4，2，7 D.7，4，2

8. 数列 中， ，则 =

A. B. C. D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分.

9. 已知命题 ， ，则 .

10. 已知 ，则 .

11. 数列 中， ，且数列 是等差数列，则 =___________．

12. 已知函数 的一条对称轴方程为 ，则函数 的位于对称轴 左边的第一个对称中心为 .

13. 给出下列四个命题：

①函数 （ 且 ）与函数 （ 且 ）的定义域相同；

②函数 与 的值域相同；

③函数 与 都是奇函数；

④函数 与 在区间 上都是增函数，

其中正确命题的序号是 .（把你认为正确的命题序号都填上）

14. 对于函数 ，若 \* MERGEFORMAT 有六个不同的单调区间，则 的取值范围为 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证实过程或演算步骤．

15. （本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）求 的最小正周期；

（Ⅱ）求 的单调增区间；

（Ⅲ）若 ，求 的值.

16. （本小题满分12分）

已知数列 的前n项和为 ， .

（Ⅰ）求 ；（Ⅱ）求数列 的通项公式.

17. （本小题满分14分）

设函数 的定义域为 ，对任意实数 、 都有 ，当 时 且 .

(Ⅰ) 求证：函数 为奇函数；

(Ⅱ) 证实函数 在 上是增函数；

(Ⅲ) 在区间［－4，4］上，求 的最值.

18. （本小题满分14分）

为庆祝东莞中学105周年，教师足球队与学生足球队进行一场足球对抗赛. 学生甲带着球，以9米/秒的速度向正南方向走，看到学生乙正好在他的正南方21米处，此时学生乙以6米/秒的速度向南偏东 方向走，学生甲想离学生乙最近的时候把球传给他.问经过多少时间后，两位学生相距最近，并求出两位学生的最近距离.

19. （本小题满分14分）

设 是函数 的两个极值点，且 .

（Ⅰ）求 的取值范围；

（Ⅱ）求 的最大值.

20. （本小题满分14分）

已知等差数列 满足 ，等比数列 前 项和 。

(Ⅰ) 求 的值以及数列 的通项公式；

(Ⅱ)试求 的最大值以及 最大时数列 的通项公式；

(Ⅲ)若 ，求数列 的前 项和.

答题卷

题号	一	二	三						总 分
			15	16	17	18	19	20
得分

第Ⅰ卷（本卷共计40分）

一、选择题：（共8小题，每小题5分，共计40分）

题 号	1	2	3	4	5	6	7	8
选 项

第Ⅱ卷（本卷共计110分）

二、填空题：（共6小题，每小题5分，共计30分）

9． 10．

11． 12．

13． 14．

三、解答题：（共6小题，共计80分，解答写出文字说明、证实过程或演算步骤）

15．（本小题满分12分）

16．（本小题满分12分）

17．（本小题满分14分）

18．（本小题满分14分）

19．（本小题满分14分）

20．（本小题满分14分）

参考答案

一、选择题

1. C 2. A 3. C 4. D 5.D 6. B 7. C 8. B

二、填空题

9. ， 10. 11. 12. 13. = 1 \* GB3 ① = 3 \* GB3 ③ 14.（1，2）

三、解答题

15. 解： 1分

2分

―――3分

（Ⅰ） 的最小正周期为 ；　　　　　　　 ―――6分

（Ⅱ）由 ， 7分

得 ， 　 8分

的单调增区间为 　　　　　―――9分

（Ⅲ）因为 ，即 10分

11分

　　　 ―――12分

16.解：(Ⅰ)∵

∴当 时，则 得 1分

解得 ―――3分

当 时，则由 4分

解得 ――6分

(Ⅱ) 当 时， ―――7分

―――8分

， 中各项不为零 ―――9分

―――10分

是以 为首项， 为公比的数列 ―――11分

―――12分

17. (Ⅰ) 证实：∵ ，

∴ 令 ，得 ―――1分

∴ ―――2分

令 ，得 ―――3分

即

∴函数 为奇函数 ―――4分

(Ⅱ) 证实：设 ，且 ―――5分

则 ―――6分

又∵当 时

∴ ―――7分

即 ―――8分

∴函数 在 上是增函数 ―――9分

(Ⅲ) ∵函数 在 上是增函数

∴函数 在区间［－4，4］上也是增函数 ―――10分

∴函数 的最大值为 ，最小值为 ―――11分

∵

∴ ―――12分

∵函数 为奇函数

∴ ―――13分

故，函数 的最大值为12，最小值为 . ―――14分

18. 解：设甲现在所在位置为A，乙现在所在位置为B，运动t秒后分别到达位置C、D,如图可知CD即为甲乙的距离. ――1分

当 时, ――2分

――3分

――5分

时， ――7分

当 时,C、B重合, ――9分

当 时,

――10分

――12分

――13分

综上所述：经过2秒后两人距离最近为 . ――14分

19. 解证：（I）易得 ―――1分

的两个极值点

的两个实根，又

―――3分

∴ ―――5分

∵

―――6分

―――8分

（Ⅱ）设 则

―――10分

由 ―――11分

上单调递减 ―――12分

―――13分

∴ 的最大值是 ―――14分

20.解：(Ⅰ)当 时， ， ，―――1分

数列 为等比数列， ，故 ―――2分

―――3分

(Ⅱ)设数列 公差 ，

根据题意有： ， ―――4分

即：

， ，代入上式有： ―――5分

, ―――7分

即关于 不等式 有解

―――8分

当 时，

―――9分

―――10分

(Ⅲ) ，记 前n项和为 ―――11分

―――12分

―――13分

―――14分