本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．

参考公式：

假如事件A、B互斥，那么

P(A＋B)=P(A)＋P(B)

假如事件A、B相互独立，那么

P(A·B)=P(A)·P(B)

假如事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

正棱锥、圆锥的侧面积公式S锥体侧S锥体侧= 其中c表示底面周长, l表示斜高或母线长.

球的体积公式 球 球= 其中R表示球的半径.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合 =｛ ｝, ,则 为 （ ）

A． B. C.｛1｝ D.｛（ ）｝

2．若函数 的定义域是 ,则其值域为 （ ）

A. B. C. D.

3．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足 ，λ∈［0， ∞），则P的轨迹一定通过△ABC的 ( )

A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心

4．在坐标平面上，不等式组 所表示的平面区域的面积为 ( )

A． B． C． D．

5．全国十运会期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若天天排早、中、晚三班，每班4人，每人天天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 ( )

A. B. C. D.

6．对于不重合的两个平面 ，给定下列条件：

①存在平面 ，使得 都垂直于 ；

②存在平面 ，使得 都平行于 ；

③存在直线 ，直线 ，使得 ；

④存在异面直线l、m，使得

其中，可以判定α与β平行的条件有 （ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7.已知首项为正数的等差数列｛an｝满足:a2005 a2006>0,a2005·a2006<0,则使前项Sn>0成立的最大自然数n是 ( )

A. 4009 B.4010 C. 4011 D.4012

8. 函数 的反函数图像大致是 （ ）

A B C D

9. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为A1D1、B1C1的中点，则在面BCC1B1内到BC的距离是到EF的距离的2倍的点的轨迹是（ ）

A．一条线段 B．椭圆的一部分 C．抛物线的一部分 D．双曲线的一部分．

10.已知F1、F2是双曲线 的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （ ）

A． B． C． D．

11.已知函数 在 上恒正，则实数 的取值范围是 （ ）

A. B. C. D.

12. 如图，B地在A地的正东方向4 km处，C

地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流

的没岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离

比到B的距离远2 km.现要在曲线PQ上

选一处M建一座码头，向B、C两地转运

货物.经测算，从M到B、M到C修建公

路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，

那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）

A．(2 －2)a万元 B．5a万元

C．(2 1) a万元 D．(2 3) a万元

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题4个小题，每小题4分，共16分．

13．已知函数f(x)=Acos2(ωx ) 1（A>0，ω>0）的最大值为3，f(x)的图象在y轴上的截距为2，其相邻两对称轴间的距离为2，则f(1) f(2) f(3) … f(100)=____________

14. 设点P是曲线y=x3－ x 2上的任意一点,P点处切线倾斜角为α,则角α的取值范围是______________

15. 已知 的展开式中 的系数与 的展开式中 的系数相等，则 ＝_____________．

16.若函数 满足：对于任意 都有 ， 且 成立，则称函数 具有性质M.

给出下列四个函数：① ，② ③ ，④ .

其中具有性质M的函数是 （注：把满足题意的所有函数的序号都填上）

17．如图,在杨辉三角中,斜线l上方,从1开始箭头所示的数组成一个锯齿数列:1,3,3,4,6,5,10,…,记其前n项和为Sn,则S19等于­____________.

1

1 1 l

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

… … … … … … …

18. 已知f（x y）=f(x)·f(y)对任意的实数x、y都成立,且f(1)=2,则 eq \f(f(1),f(0)) eq \f(f(2),f(1)) eq \f(f(3),f(2)) … eq \f(f(2005),f(2004)) eq \f(f(2006),f(2005))= ___________________.

三、解答题：本大题6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明．推理过程或计算步骤.

19．（本题满分12分）

已知向量 ( ) 和 =( )， ∈［π，2π］．

(Ⅰ)求 的最大值；(Ⅱ)当 = 时，求 的值．

20．（本小题满分12分）

甲、乙两人在一场五局三胜制的象棋比赛中，规定甲或乙无论谁先赢满三局就获胜，并且比赛就此结束.现已知甲、乙两人每比赛一局甲取胜的概率是 ，乙取胜的概率为 ，且每局比赛的胜败是独立的，试求下列问题：

(Ⅰ)比赛以甲3胜1而结束的概率；

(Ⅱ)比赛以乙3胜2而结束的概率；

(Ⅲ)设甲获胜的概率为a，乙获胜的概率为b，求a：b的值.

21．（本题满分14分）

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，

AB= ，AF=1，M是线段EF的中点。

(Ⅰ)求证：AM∥平面BDE；

(Ⅱ) 求二面角A－DF－B的大小.

（Ⅲ）试问：在线段AC上是否存在一点P，使得直线PF与AD所成角为60°？

22.（本题满分14分）已知=（c,0）(c>0), =(n,n)(n∈R), ||的最小值为1,若动点P同时满足下列三个条件:

①|| = eq \f(c,a) ||(a>c>0);

② = (其中=( eq \f(a2,c),t), ≠0,t∈R);

③动点P的轨迹C经过点B(0,－1) .

(Ⅰ)求c的值;

(Ⅱ)求曲线C的方程;

(Ⅲ)是否存在方向向量为a=(1,k)(k≠0)的直线l,使l与曲线C交于两个不同的点M、N,且||=||?若存在,求出k的范围;若不存在,请说明理由.

23．（本题满分14分）

（Ⅰ）试求数列｛ ｝的通项公式 ；（用 的代数式表示）

（Ⅱ）求证：

（Ⅲ）求证： （注： ）.

08年咸阳市高考数学第一次模拟考试

参考答案及评分标准

一、选择题

1．C 易知A=｛-1，0，1｝，B=｛1，2｝，故A∩B=｛1｝.

2．D 分x<1与2≤x<5讨论.

3．D = λ( )= 2λ(其中D为BC的中点),于是有=2λ,从而点A、D、P共线，即点P的轨迹通过三角形ABC的重心.

4．B 作出不等式表示的平面区域即可.

5．A 先从14人中选出12人,再将12人进行分组,且每组4人.

6．B 由线面位置关系不难知道:①③正确的.

7．B [解析]由题意知:等差数列中,从第1项到第2005项是正数,且从第2006项开始为负数,S4010=2005(a1 a4010)=2005(a2005 a2006)>0,

S4011= eq \f(4011(a1 a4011),2)=4011a2006<0, 故n的最大值为4010.

另解:由题意可得:等差数列中,从第1项到第2005项是正数,且从第2006项开始是负数,则所有的正项的和为Sn的最大值,即当n=2005时,取得最大值,显然Sn是关于n的缺常数项的二次函数,且开口向下,所以第2005项离对称轴最近,故其对称轴介于2005到2005.5之间,又因为二次函数的图象与x轴的一个交点是(0,0),则设另一个交点(x,0),x应介于4010到4011之间.所以使Sn>0的最大自然数是4010,故选B.

本小题结论可以推广成一般结论:等差数列中,a1>0,ak ak 1>0,且akak 1<0,则使前n项和Sn>0的最大自然数n是2k..

8．B 原函数的图象是由y= eq \f(1,x)图象向下移动一个单位,且在(－∞,0),(0,＋∞)上为减函数,所以其反函数的图象是由y= eq \f(1,x)的图象向左移动一个单位,且在定义域上为减函数.

9．B 易知面BCC1B1内的点到点F的距离是到BC的距离倍的 eq \f(1,2)，由椭圆的第二定义即知.

10．D 设 M F eq \a(1)双曲线的交点为P，焦点F eq \a(1)（－c,0）, F2(c,0),由平面几何知识知：F2P⊥F eq \a(1)M，又|F eq \a(1) F2|=2c 于是 |PF2| =2csin60°= eq \r(3)c |PF1| =c

故 2a= |PF2| －|PF1| = eq \r(3)c－c =（ eq \r(3)－1）c e= eq \f(c,a) = eq \r(3) 1.

11．C 特值法：令a=2与 eq \f(2,3)可知 在 上恒正，显然选项D不正确.

12．B 依题意知PMQ曲线是以A、B为焦点、实轴长为2的双曲线的一支（以B为焦点），此双曲线的离心率为2，以直线AB为轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系，则该双曲线的方程为 x2－ eq \f(y2,3)＝1，点C的坐标为（3， eq \r(3)）.则修建这条公路的总费用ω=a[|MB| 2|MC|]=2a[ eq \f(1,2)|MB| |MC|],设点M、C在右准线上射影分别为点M eq \a(1) 、C eq \a(1) ，根据双曲线的定义有|M M eq \a(1)|= eq \f(1,2)|MB|，所以=2a[|M M eq \a(1)| |MC|]≥2a|C C eq \a(1)|=2a×（3- eq \f(1,2)）=5a.当且仅当点M在线段C C eq \a(1)上时取等号，故ω的最小值是5a.

二、填空题

13.200 易知A=2 ,ω= eq \f(π,2), =± eq \f(π,4),y=2－cos(πx eq \f(π,2))=2±sinπx,从而

f(1) f(2) f(3) … f(100)=2×100=200.

14. [解析]∵y’=3x2－ ≥－ , ∴tanα≥－

又∵ 0≤α≤∏ ∴0≤α<

15. 由二项式定理知: 的展开式中 的系数为 C· , 的展开式中 的系数为C· eq \f(5,4),于是有C· = C· eq \f(5,4),解得 = eq \f(1,2).

16.①、③ 可通过作差比较得到结论.

17. 283 [解析] 由条件知道:该数列的奇数项分别为1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,…,偶数项分别为3,4,5,6,7,8,9,10,11,…,把奇数项的前10项与偶数项的前9项相加即得S19=283.

18. 4012 [解析]∵f(1 0)=f(1)·f(0),2=2f(0),∴f(0)=1

∵f(2)=f(1 1)=f(1)·f(1)=22,

f(3)=f(2 1)=f(2)·f(1)=23,

依此类推:f(2005)=22005,f(2006)=22006,

∴原式= =4012.

三、解答题

19．解：(Ⅰ) 1分

=

= = 3分

∵θ∈［π，2π］，∴ ，∴ ≤1

max=2 ． 5分

(Ⅱ) 由已知 ,得 7分

又 ∴ 10分

∵θ∈［π，2π］∴ ，∴ ． 12分

20．解: (Ⅰ) 比赛以甲3胜1而结束,则第四局一定甲胜，前三局中甲胜两局, 1分

∴所求概率为: . 3分

答：比赛以甲3胜1而结束的概率为 . 4分

(Ⅱ) 比赛以乙3胜2而结束，则第五局一定乙胜，前四局中乙胜两局， 5分

∴所求概率为: 7分

答：比赛以乙3胜2而结束的概率为 . 8分

(Ⅲ)甲先胜3局的情况有3种:3胜无败,3胜1败,3胜2败.，则其概率分别为 9分

， = ， ，

于是甲获胜的概率 11分

∴乙获胜的概率 ∴ . 12分

21．方法一

解: (Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE, 1分

∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，

∴四边形AOEM是平行四边形， 2分

∴AM∥OE. 3分

∵ 平面BDE， 平面BDE，

∴AM∥平面BDE. 4分

(Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS，

∵AB⊥AF， AB⊥AD，

∴AB⊥平面ADF， 5分

∴AS是BS在平面ADF上的射影，

由三垂线定理得BS⊥DF.

∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角。 7分

在RtΔASB中，

∴ 8分

∴二面角A—DF—B的大小为60º. 9分

（Ⅲ）设CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD，

∵PQ⊥AB，PQ⊥AF， ，

∴PQ⊥平面ABF，QF 平面ABF，

∴PQ⊥QF. 11分

在RtΔPQF中，∠FPQ=60º，PF=2PQ.

∵ΔPAQ为等腰直角三角形，

∴ 12分

又∵ΔPAF为直角三角形，

∴ ，

∴

所以t=1或t=3(舍去)

即点P是AC的中点. 14分

方法二（ 仿上给分）

（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系。

设 ，连接NE，

则点N、E的坐标分别是（ 、（0,0,1）,

∴NE=( ,

又点A、M的坐标分别是

（ ）、（

∴ AM=（

∴NE=AM且NE与AM不共线，

∴NE∥AM.

又∵ 平面BDE， 平面BDE，

∴AM∥平面BDF.

（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF

∴AB⊥平面ADF.

∴ 为平面DAF的法向量。

∵NE·DB=（ · =0，

∴NE·NF=（ · =0得

NE⊥DB，NE⊥NF，

∴NE为平面BDF的法向量。

∴cos<AB,NE>=

∴AB与NE的夹角是60º.

即所求二面角A—DF—B的大小是60º.

（Ⅲ）设P(t,t,0)(0≤t≤ )得

∴DA=（0， ，0，），

又∵PF和AD所成的角是60º.

∴

解得 或 （舍去），

即点P是AC的中点.

22．解:(Ⅰ)法一: ||= eq \r((n－c)2 n2)= eq \r(2(n－ eq \f(c,2))2 eq \f(c2,2)) ,

当n= eq \f(c,2)时, ||min= eq \r( eq \f(c2,2))=1,所以c= eq \r(2). 3分

法二:设G(x,y),则G在直线y=x上,所以||的最小值为点F到直线y=x的距离,即

eq \f(|c－0|, eq \r(2))=1,得c= eq \r(2).

(Ⅱ)∵= ( ≠0),∴PE⊥直线x= eq \f(a2,c), 又 || = eq \f(c,a)|| (a>c>0).

∴点P在以F为焦点,x= eq \f(a2,c)为准线的椭圆上. 5分

设P(x,y), 则有 eq \r((x－ eq \r(2))2 y2) = eq \f( eq \r(2),a) | eq \f(a2, eq \r(2))－x|, 点B(0－1)代入, 解得a= eq \r(3).

∴曲线C的方程为 eq \f(x2,3) y2=1 7分

(Ⅲ)假设存在方向向量为a0=(1,k)(k≠0)的直线l满足条件,则可设l:y=kx m(k≠0),

与椭圆 eq \f(x2,3) y2=1联立,消去y得(1 3k2)x2 6kmx 3m2－3=0. 10分

由判别式△>0,可得m2<3k2 1. ①

设M(x1,y1),N(x2,y2), MN的中点P(x0,y0),由|BM|=|BN|, 则有BP⊥MN.

由韦达定理代入kBP=－ eq \f(1,k),可得到m= eq \f(1 3k2,2) ②

联立①②,可得到 k2－1<0, 12分

∵k≠0, ∴ －1<k<0或0<k1.

即存在k∈(－1,0)∪(0,1),使l与曲线C交于两个不同的点M、N,且||=||. 14分

23．解: (Ⅰ) ,若切点是 ,则

切线方程为 . 1分

当n=1时,切线过点(1,0),即 ,得

当n>1时,切线过点 ,即 ,解得 .

数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，

故所求通项 . 4分

(Ⅱ) 由（1）知

9分

(Ⅲ)设 ,则 ,

两式相减得 ，

. 故 . 14分