三、解答题

16.(本题满分12分)

（Ⅰ）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：

……2分

直方图如右所示……………………………….4分

（Ⅱ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，

频率和为

所以，抽样学生成绩的合格率是 %......................................6分

利用组中值估算抽样学生的平均分

………………….8分

＝

＝71

估计这次考试的平均分是71分………………………………………….9分

（Ⅲ） ， ， ”的人数是18,15,3。所以从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，他们在同一分数段的概率。

……………………………………………………12分

17.(本题满分12分)

解：（Ⅰ） = …………………….4分

故 …………………………………………………5分

（Ⅱ）令 ， =0，又 …… ………….7分

…………………………………………9分

故 函数 的零点是 ……………. 12分

18．(本题满分12分)

证（Ⅰ）因为 侧面 ，故

在 中， 由余弦定理有

故有

而 且 平面

（Ⅱ）由

从而 且 故

不妨设 ，则 ，则

又 则

在 中有 从而 （舍负）

故 为 的中点时，

法二：以 为原点 为 轴，设 ，则 由 得 即

化简整理得 或

当 时 与 重合不满足题意

当 时 为 的中点

故 为 的中点使

（Ⅲ）取 的中点 ， 的中点 ， 的中点 ， 的中点

连 则 ，连 则 ，连 则

连 则 ，且 为矩形，

又 故 为所求二面角的平面角

在 中，

法二：由已知 ， 所以二面角 的平面角 的大小为向量 与 的夹角

因为

故

.

19. (本题满分14分)

解：(Ⅰ)依题意知，直线 的方程为： ．点 是线段 的中点，且 ⊥ ，∴ 是线段 的垂直平分线．…………………….2分

∴ 是点 到直线 的距离．

∵点 在线段 的垂直平分线，∴ ．…………4分

故动点 的轨迹 是以 为焦点， 为准线的抛物线，其方程为： ．…………………………………………………….7分

(Ⅱ) 设 ， ，直线AB的方程为

…………………………………………………….8分

　　　　　　　　　则

（1）—（2）得 ，即 ，……………………………………9分

代入方程 ，解得 ．

所以点Ｍ的坐标为 ．……………………………………10分

同理可得： 的坐标为 ．

直线 的斜率为 ，方程为

，整理得 ，………………12分

显然，不论 为何值， 均满足方程，

所以直线 恒过定点 ．………………14

20. (本题满分14分)

.解:

故 ,．……………………………………1分

又因为

则 ,即 ．………………………3分

所以 , ……………………………………4

(2)

= ……………………………………6

因为 =

所以,当 时, ……………………………7

当 时, ……….(1)

得 ……(2)

=

……………………………9

综上所述: ……………………………10

(3)因为

又 ,易验证当 ,3时不等式不成立; ……………………………11

假设 ,不等式成立,即

两边乘以3得:

又因为

所以

即 时不等式成立.故不等式恒成立. ……………………………14

21. (本题满分14分)

解：(Ⅰ)

…………………………

所以函数 在 上是单调减函数. …………………………4分

(Ⅱ) 证实:据题意 且x1<x2<x3,

由(Ⅰ)知f (x1)>f (x2)>f (x3), x2= …………………………6分

…………………8分

即⊿ 是钝角三角形……………………………………..9分

(Ⅲ) 假设⊿ 为等腰三角形，则只能是

即

① …………………………………………..12分

而事实上, ②

由于 ,故(2)式等号不成立.这与 式矛盾. 所以⊿ 不可能为等腰三角形..14分