汕头市高考理科数学模拟试题

数学（理）试题

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，试卷满分150分，答题时间为120分钟．

注重事项：

1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区

域内.

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.

3．非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字迹工整，笔迹清楚，请按照题号顺序在各个题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.

4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.

参考公式

球的表面积公式 其中Ｒ表示球的半径 球的体积公式 其中Ｒ表示球的半径

假如事件Ａ、Ｂ互斥，那么

假如事件Ａ、Ｂ相互独立，那么

假如事件Ａ在一次试验中发生的概率是Ｐ，那么

次独立重复试验中恰好发生 次的概率是

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1． 为虚数单位)等于 （ ）

A．– 1 B．1 C． D．

2． （ ）

A． B． C． D．

3．以抛物线 上的任意一点为圆心作圆与直线 相切，这些圆必过一定点，

则这一定点的坐标是 （ ）

A． B．（2，0） C．（4，0） D．

4．在 中,“ ”是“ ”的 （ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5． 函数 的反函数是 （ ）

A． B．

C． D．

6．已知四面体 ， 平面 ， 是棱 的中点， ，则异面

D

A

C

B

M

直线 与 所成的角等于 （ ）

A．

B．

C．

D．

7．公差不为零的等差数列 中， ，数列 是等比数列，

且 （ ）A．2 B．4 C．8 D．16

8．设函数 的最大值为3，则f(x)的图象的一

条对称轴的方程是 （ ）

A． B． C． D．

9．用数字0，1，2，3，4组成五位数中，中间三位数字各不相同，但首末两位数字相同的共有 （ ）

A．480个 B．240个 C．96个 D．48个

2,4,6

10．已知正整数 满足 ，使得 取最小值时，则实数对（ 是（ ）

A．5，10） B．（6，6） C．（10，5） D．（7，2）

11．函数 则a的所有可能值为（ ）

A．1 B． C．1， D．1，

12．已知直线 是椭圆 的右准线，假如在直线 上存在一点M，使得线段OM（O为坐标原点）的垂直平分线过右焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）

A． B． C ． D．

2,4,6

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在答题卡的横线上）

13．已知一个球与一个二面角的两个半平面都相切，若球心到二面角的棱的距离是 ，切点到二面角棱的距离是1，则球的体积是 .

14．点 到直线 的距离等于4，且在不等式 表示的平面区域内，则点P的坐标是 .

15．已知 的展开式中， 的系数为10，则实数 的值为

16．一个总体中的100个个体的号码分别为0，1，2，…，99，依次将其均分为10个小组.要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定：假如在第1组（号码为0～9）中随机抽取的号码为m ，那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取的号码的个位数为m k-1或m k-11（假如m k≥11）.若第6组中抽取的号码为52， 则m= .

三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证实过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

已知向量m n , m . n 分别为△ABC的三边a，b，c所对的角.

（Ⅰ）求角C的大小;

（Ⅱ）若sinA, sinC, sinB成等比数列, 且 , 求c的值.

18．（本小题满分12分）

“ 五·一”黄金周某旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条旅游线路.

（Ⅰ）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率；

（Ⅱ）求恰有2条线路被选择的概率；

（Ⅲ）求选择甲线路的旅游团个数的期望.

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD.BC=2AD，BC//AD，AD⊥DC.

（Ⅰ）证实：AC⊥PB；

（Ⅱ）求二面角C—PB—A的大小.

20．（本小题满分12分）

已知各项均为正数的数列{ }满足 （ ），且 是 的等差中项.

（Ⅰ）求数列{ }的通项公式 ；

（Ⅱ）若 = ，求使S >50成立的正整数n的最小值.

21．（本小题满分14分）

如图, 为双曲线 的右焦点, 为双曲线 在第一象限内的一点, 为左准线上一点, 为坐标原点,

（Ⅰ）推导双曲线 的离心率 与 的关系式；

（Ⅱ）当 时, 经过点 且斜率为 的

直线交双曲线于 两点, 交 轴于点 , 且

，求双曲线的方程.

22．（本小题满分12分）

已知函数 ，

（Ⅰ）求函数 的最小值；

（Ⅱ）若 ，求证： .

参考答案

一、选择题：

1．C 2．A 3．B 4．B 5．A 6．C 7．D 8．D 9．B 10．A 11．C 12．B

2,4,6

二、填空题

13． 14．（7，3） 15．2 16．7

17．解：（1） ∵ m n , m . n ,

∴sinAcosB cosAsinB=sin2C 1分

即 sinC=sin2C 3分

∴ cosC= 4分

又C为三角形的内角， ∴ 6分

（Ⅱ） ∵sinA,sinC,sinB成等比数列，

∴ sin2C=sinAsinB 7分

∴ c2=ab 8分

又 ,即 ， 9分

∴ abcosC=18 10分

∴ ab=36 故 c2=36

∴ c=6 12分

18．解：（Ⅰ）3个旅游团选择3条不同线路的概率为P1= …………3分

（Ⅱ）恰有两条线路被选择的概率为P2= ……6分

（Ⅲ）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3

P（ξ=0）= P（ξ=1）=

P（ξ=2）= P（ξ=3）= ……………………8分

ξ

0

1

2

3

P

∴ξ的分布列为：

∴期望Eξ=0× 1× 2× 3× = ……………………………12分

19．方法一

（2）

20．解：（Ⅰ）∵ ，

∴ ,

∵数列{ }的各项均为正数，

∴ ，

∴ ，

即 （ ），所以数列{ }是以2为公比的等比数列.………………3分

∵ 是 的等差中项，

∴ ，

∴ ，∴ ，

∴数列{ }的通项公式 .……………………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）及 = 得， ， ……………………………8分

∵ ，

∴ eq \o\ac(○,1)1

∴ ②

②- eq \o\ac(○,1)1得，

= ……………………………10分

要使S >50成立，只需2n 1-2>50成立，即2n 1>52，n³5

∴使S >50成立的正整数n的最小值为5. ……………………………12分

21．解：(Ⅰ) 为平行四边形.

设 是双曲线的右准线,且与 交于 点, ,

,

即 ………………6分

（Ⅱ）当 时,得

所以可设双曲线的方程是 ,…8分

设直线 的方程是 与双曲线方程联立得:

由 得 .

①

由已知， ，因为 ，

所以可得 ②…………10分

由①②得 ，

消去 得 符合 ，

所以双曲线的方程是 ………………14分

22．解：（Ⅰ） = ，………………2分

当 时， ，所以当 时， ，

则函数 在 上单调递增，

所以函数 的最小值为 ；………………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当 时， ，∵ ，

∴ ，

∴ ①……………………7分

∵ ，

∴ ②…………………………10分

由①②得 …………………………………12分