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汕头市高考理科数学模拟试题
数学（理）试题
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，试卷满分150分，答题时间为120分钟．
注重事项：
1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区
域内.
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.
3．非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字迹工整，笔迹清楚，请按照题号顺序在各个题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
参考公式
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球的表面积公式
其中Ｒ表示球的半径
球的体积公式
其中Ｒ表示球的半径
|  假如事件Ａ、Ｂ互斥，那么 
假如事件Ａ、Ｂ相互独立，那么 
假如事件Ａ在一次试验中发生的概率是Ｐ，那么
次独立重复试验中恰好发生 
次的概率是
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1． 
为虚数单位)等于 （ ）
A．– 1 B．1 C． 
D． 
2． 
（ ）
A． 
B． 
C． 
D． 
3．以抛物线 
上的任意一点为圆心作圆与直线 
相切，这些圆必过一定点，
则这一定点的坐标是 （ ）
A． 
B．（2，0） C．（4，0） D． 
4．在 
中,“ 
”是“ 
”的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5． 函数 
的反函数是 （ ）
A． 
B． 
C． 
D． 
6．已知四面体 
， 
平面 
， 
是棱 
的中点， 
，则异面
 直线 
与 
所成的角等于 （ ）
A． 
B． 
C． 
D． 
7．公差不为零的等差数列 
中， 
，数列 
是等比数列，
且 
（ ）A．2 B．4 C．8 D．16
8．设函数 
的最大值为3，则f(x)的图象的一
条对称轴的方程是 （ ）
A． 
B． 
C． 
D． 
9．用数字0，1，2，3，4组成五位数中，中间三位数字各不相同，但首末两位数字相同的共有 （ ）
A．480个 B．240个 C．96个 D．48个
10．已知正整数 
满足 
，使得 
取最小值时，则实数对（ 
是（ ）
A．5，10） B．（6，6） C．（10，5） D．（7，2）
11．函数 
则a的所有可能值为（ ）
A．1 B． 
C．1，
D．1， 
12．已知直线 
是椭圆 
的右准线，假如在直线
上存在一点M，使得线段OM（O为坐标原点）的垂直平分线过右焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． 
B． 
C ． 
D． 
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在答题卡的横线上）
13．已知一个球与一个二面角的两个半平面都相切，若球心到二面角的棱的距离是 
，切点到二面角棱的距离是1，则球的体积是 .
14．点 
到直线 
的距离等于4，且在不等式 
表示的平面区域内，则点P的坐标是 .
15．已知 
的展开式中， 
的系数为10，则实数 
的值为
16．一个总体中的100个个体的号码分别为0，1，2，…，99，依次将其均分为10个小组.要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定：假如在第1组（号码为0～9）中随机抽取的号码为m ，那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取的号码的个位数为m k-1或m k-11（假如m k≥11）.若第6组中抽取的号码为52， 则m= .
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证实过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
已知向量m 
n 
, m . n 
分别为△ABC的三边a，b，c所对的角.
（Ⅰ）求角C的大小;
（Ⅱ）若sinA, sinC, sinB成等比数列, 且 
, 求c的值.
18．（本小题满分12分）
“ 五·一”黄金周某旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条旅游线路.
（Ⅰ）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率；
（Ⅱ）求恰有2条线路被选择的概率；
（Ⅲ）求选择甲线路的旅游团个数的期望.
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD.BC=2AD，BC//AD，AD⊥DC.
 （Ⅰ）证实：AC⊥PB；
（Ⅱ）求二面角C—PB—A的大小.
20．（本小题满分12分）
已知各项均为正数的数列{ 
}满足 
（ 
），且 
是 
的等差中项.
（Ⅰ）求数列{
}的通项公式
；
（Ⅱ）若 
=
，求使S 
>50成立的正整数n的最小值.
21．（本小题满分14分）
如图, 
为双曲线 
的右焦点, 
为双曲线 
在第一象限内的一点,
为左准线上一点, 
为坐标原点, 
（Ⅰ）推导双曲线
的离心率 
与 
的关系式；
 （Ⅱ）当 
时, 经过点 
且斜率为 
的
直线交双曲线于 
两点, 交 
轴于点 
, 且
，求双曲线的方程.
22．（本小题满分12分）
已知函数 
，
（Ⅰ）求函数 
的最小值；
（Ⅱ）若 
，求证： 
.
参考答案
一、选择题：
1．C 2．A 3．B 4．B 5．A 6．C 7．D 8．D 9．B 10．A 11．C 12．B
二、填空题
13． 
14．（7，3） 15．2 16．7
17．解：（1） ∵ m
n
, m . n 
,
∴sinAcosB cosAsinB=sin2C 1分
即 sinC=sin2C 3分
∴ cosC=
4分
又C为三角形的内角， ∴ 
6分
（Ⅱ） ∵sinA,sinC,sinB成等比数列，
∴ sin2C=sinAsinB 7分
∴ c2=ab 8分
又
,即 
， 9分
∴ abcosC=18 10分
∴ ab=36 故 c2=36
∴ c=6 12分
18．解：（Ⅰ）3个旅游团选择3条不同线路的概率为P1= 
…………3分
（Ⅱ）恰有两条线路被选择的概率为P2= 
……6分
（Ⅲ）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3
P（ξ=0）= 
P（ξ=1）= 
P（ξ=2）= 
P（ξ=3）= 
……………………8分 |
ξ |
0 |
1 |
2 |
3 |
P |
|
|
|
| | 
∴使S 
