高考理科数学测试试题

数学试卷（理科）

一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．若集合 ， ，则 等于（ ）

A．{0}　　　　　 B． 　　　　C．T　　　　　 D． S

2． 是“函数 \* MERGEFORMAT 的最小正周期为 \* MERGEFORMAT ”的 ( )．

　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．设 是方程 的解，则 属于区间（ ）

A. （0，1） B. （1，2） C. （2，3） D.（3，4）

4．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 （ ）

A．36种 B．48种 C．72种 D．96种

5．一个等差数列共n项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n为 （ ）

A.14 B.16 C.18 D.20

6．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为 （ ）

A. B. C. D. 6

7．已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图（如图所示），则甲、乙两人得

分的中位数之和是 （ ） （ ）

A．62

B．63

C．64

D．65

A

B

C

12.5元

8元

4.5元

10元

6元

D

8. A，B，C，D四个城市之间有笔直的公路相连接，客运车行驶于各城市之间，其票价与路程成正比.具体票价如图，则BD之间的票价应为（ ）

A、7.5元 B、7元

C、8元 D、8.5元

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，其中9-12题必做,在13,14,15题中选做两题,多选以前两题计分,把答案写在答题卷上）．

9. 已知 ，若 ，则

10．二项式 的展开式中的常数项是

11．随机地向半圆 （ 为正常数）内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与 轴的夹角小于 的概率为 .

12.已知函数f(x)满足：f(p q)=f(p)f(q), f(1)=3, 则

= ．

13、极坐标方程 所表示的曲线的直角坐标方程是 .

（第15小题）

14、已知 都是正数，且 则 的最小值是 .

15．已知圆 的半径为 ，从圆 外一点 引切线 和割线 ，

圆心 到 的距离为 ， ，则切线 的长

为 _______.

三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证实过程或演算步骤．

16．（本题满分(12分）

已知向量 \* MERGEFORMAT

（I）若 \* MERGEFORMAT 求 \* MERGEFORMAT （II）求 \* MERGEFORMAT 的最大值。

17．（本题满分(12分）已知函数 是定义在 上的奇函数,在 上 .

（Ⅰ）求函数 的解析式;并判定 在 上的单调性(不要求证实)

（Ⅱ）解不等式 .

B

P

A

E

D

C

18．（本题满分14分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥 中， ， 平面 ，且 ，点 是 的中点.（Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求证： 平面 ；（Ⅲ）求二面角 的大小.

19．（本题满分14分）已知直线 与 轴和 轴分别交于A、B两点，椭圆O以原点为中心，A、B为顶点，点C的坐标是 ，点D的坐标是 点P在椭圆O第一象限的部分上.

（1）求椭圆O的方程；（2）若 求点P的坐标；（3）求△PAB面积的最大值.

20.（本小题满分14分）一个蜂巢里有一只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了 个伙伴；第二天，它又飞出去，找回了 个伙伴……，第n天，它又飞出去，找回了 个伙伴，已知这只蜜蜂在这n天中它找到的伙伴总数 满足： .

（Ⅰ）求这只蜜蜂第1天中它找的伙伴数 及这只蜜蜂在第n天中它找的伙伴数 .

（Ⅱ）从第一天起，若这只蜜蜂找回的伙伴在家（蜂巢）建造小蜂房，已知第一天建造了 个小蜂房，第二天建造了 个小蜂房……，第n天建造了 个小蜂房；问数列 是否是等比数列，使得 成立（ ），若是，请求出数列 ；若不是，请说明理由。

21．（本题满分14分）对于三次函数 ，定义：设 是函数 的导函数 的导数，若 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”。现已知 ,请解答下列问题:

（Ⅰ）求函数 的“拐点”A的坐标;

(Ⅱ）求证 的图象关于“拐点”A 对称;并写出对于任意的三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论（此结论不要求证实）；

（Ⅲ）若另一个三次函数G（x）的“拐点”为B（0，1），且一次项系数为0，当 ， 时，试比较 与 的大小。

答案

一、选择题：1. D. 2.C　3.C　4.C 5.C　6.B 7. B 　8.A

二、填空题：9. 3　10. 15 11. 12. 24 13.

14. 15.

三.解答题:

16．（本题满分 分）

解析：（1） \* MERGEFORMAT \* MERGEFORMAT \* MERGEFORMAT \* MERGEFORMAT \* MERGEFORMAT \* MERGEFORMAT ；

\* MERGEFORMAT \* MERGEFORMAT \* MERGEFORMAT

当 \* MERGEFORMAT =1时 \* MERGEFORMAT 有最大值,此时 \* MERGEFORMAT ，最大值为 \* MERGEFORMAT 。

17. 解：（1） 设 ，则 …………………1分

…………………2分

又 是奇函数，所以 …………………3分

= ……4分

………………5分

是[-1，1]上增函数 ………………6分

（2） 是[-1，1]上增函数，由已知得: …………7分

等价于 …………10分

解得： ，所以 …………12分

18．解：（1）由 平面 可得PA^AC

又 ，所以AC^平面PAB，所以

（2）如图，连BD交AC于点O，连EO，则

EO是△PDB的中位线，\EO PB

\PB 平面

（3）如图，取AD的中点F，连EF，FO，则EF是△PAD的中位线，

\EF PA又 平面 ，\EF^平面

同理FO是△ADC的中位线，\FO AB\FO^AC由三垂线定理可知\ÐEOF是二面角E－AC－D的平面角.又FO＝ AB＝ PA＝EF\ÐEOF＝45°而二面角 与二面角E－AC－D互补，故所求二面角 的大小为135°.

19、A、B两点分别为（-5，0），（0，-3）即长轴在x轴，

椭圆的方程为 ................................................................................. 4分

（2）设点P坐标为

法一： 点P在椭圆O第一象限的部分上

.......................................................................................................... 5分

由 得： ........................... 6分

与椭圆方程联立得 ................................................................................ 8分

法二：由 得 P点在以CD为直径的圆 上......... 6分

与椭圆方程联立得 ................................................................................ 8分

（3）法一：设P点坐标为 ，则P点到直线AB的距离：

当 时P点在第一象限，此时d取得最大值

...................... 14分

法二：设直线 与椭圆相切，联立方程组得：

（2）代入（1）得：

解得： 点在第一象限

，

.......................................................... 14分

20.解：（Ⅰ）∵ ， 或 （舍去），

故 ；………………2分

∵ ……………………………①

∴ …………………………………②

①式减②式得： ，

，

∵ ，∴ ，即 ( 且 )

∴

又

∴

∴这只蜜蜂在第n天中它找的伙伴数是 .………………………………………7分

（Ⅱ）假设存在等比数列

使 成立

∴当 时， ；……10分

当 时， ，即 ，所以， ……12分

∴存在等比数列 为 ，使得 成立（ ））…14分

21 解：（1） ………………………………1分

令 得 ………………………2分

拐点 ……………………………………3分

（2）设 是 图象上任意一点，则 ，因为 关于 的对称点为 ，把 代入 得左边