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高考理科数学测试试题
数学试卷（理科）
一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．若集合 
， 
，则 
等于（ ）
A．{0} B． 
C．T D． S
2． 
是“函数 
\* MERGEFORMAT
的最小正周期为 
\* MERGEFORMAT
”的 ( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设 
是方程 
的解，则
属于区间（ ）
A. （0，1） B. （1，2） C. （2，3） D.（3，4）
4．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 （ ）
A．36种 B．48种 C．72种 D．96种
5．一个等差数列共n项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n为 （ ）
A.14 B.16 C.18 D.20
 6．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为 （ ）
A. 
B. 
C. 
D. 6
7．已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图（如图所示），则甲、乙两人得
 分的中位数之和是 （ ） （ ）
A．62
B．63
C．64
D．65
 8. A，B，C，D四个城市之间有笔直的公路相连接，客运车行驶于各城市之间，其票价与路程成正比.具体票价如图，则BD之间的票价应为（ ）
A、7.5元 B、7元
C、8元 D、8.5元
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，其中9-12题必做,在13,14,15题中选做两题,多选以前两题计分,把答案写在答题卷上）．
9. 已知 
，若 
，则 
10．二项式 
的展开式中的常数项是
11．随机地向半圆 
（ 
为正常数）内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与 
轴的夹角小于 
的概率为 .
12.已知函数f(x)满足：f(p q)=f(p)f(q), f(1)=3, 则
= ．
13、极坐标方程 
所表示的曲线的直角坐标方程是 .
 14、已知 
都是正数，且 
则 
的最小值是 .
15．已知圆 
的半径为 
，从圆
外一点 
引切线 
和割线 
，
圆心
到 
的距离为 
， 
，则切线
的长
为 _______.
三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证实过程或演算步骤．
16．（本题满分(12分）
已知向量 
\* MERGEFORMAT
（I）若 
\* MERGEFORMAT
求 
\* MERGEFORMAT
（II）求 
\* MERGEFORMAT
的最大值。
17．（本题满分(12分）已知函数 
是定义在 
上的奇函数,在 
上 
.
（Ⅰ）求函数
的解析式;并判定
在
上的单调性(不要求证实)
（Ⅱ）解不等式 
.
 18．（本题满分14分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥 
中， 
， 
平面 
，且 
，点 
是 
的中点.（Ⅰ）求证： 
； （Ⅱ）求证： 
平面 
；（Ⅲ）求二面角 
的大小.
19．（本题满分14分）已知直线 
与
轴和 
轴分别交于A、B两点，椭圆O以原点为中心，A、B为顶点，点C的坐标是 
，点D的坐标是 
点P在椭圆O第一象限的部分上.
（1）求椭圆O的方程；（2）若 
求点P的坐标；（3）求△PAB面积的最大值.
20.（本小题满分14分）一个蜂巢里有一只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了 
个伙伴；第二天，它又飞出去，找回了 
个伙伴……，第n天，它又飞出去，找回了 
个伙伴，已知这只蜜蜂在这n天中它找到的伙伴总数 
满足： 
.
（Ⅰ）求这只蜜蜂第1天中它找的伙伴数 
及这只蜜蜂在第n天中它找的伙伴数
.
（Ⅱ）从第一天起，若这只蜜蜂找回的伙伴在家（蜂巢）建造小蜂房，已知第一天建造了 
个小蜂房，第二天建造了 
个小蜂房……，第n天建造了 
个小蜂房；问数列 
是否是等比数列，使得 
成立（ 
），若是，请求出数列
；若不是，请说明理由。
21．（本题满分14分）对于三次函数 
，定义：设
是函数 
的导函数
的导数，若 
有实数解
，则称点 
为函数
的“拐点”。现已知 
,请解答下列问题:
（Ⅰ）求函数
的“拐点”A的坐标;
(Ⅱ）求证
的图象关于“拐点”A 对称;并写出对于任意的三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论（此结论不要求证实）；
（Ⅲ）若另一个三次函数G（x）的“拐点”为B（0，1），且一次项系数为0，当 
，
时，试比较 
与
的大小。
答案
一、选择题：1. D. 2.C 3.C 4.C 5.C 6.B 7. B 8.A
二、填空题：9. 3 10. 15 11. 
12. 24 13.
14. 
15. 
三.解答题:
16．（本题满分 
分）
解析：（1）
\* MERGEFORMAT
\* MERGEFORMAT
\* MERGEFORMAT
\* MERGEFORMAT
\* MERGEFORMAT
\* MERGEFORMAT
；
\* MERGEFORMAT
\* MERGEFORMAT
\* MERGEFORMAT
当 
\* MERGEFORMAT
=1时
\* MERGEFORMAT
有最大值,此时 
\* MERGEFORMAT
，最大值为 
\* MERGEFORMAT
。
17. 解：（1） 设 
，则 
…………………1分
…………………2分
又 
是奇函数，所以 
…………………3分
 
= 
……4分
………………5分
是[-1，1]上增函数 ………………6分
（2） 
是[-1，1]上增函数，由已知得: 
…………7分
等价于 
…………10分
解得： 
，所以 
…………12分
18．解：（1）由
平面
可得PA^AC
又
，所以AC^平面PAB，所以
（2）如图，连BD交AC于点O，连EO，则
EO是△PDB的中位线，\EO 
PB
\PB 
平面
（3）如图，取AD的中点F，连EF，FO，则EF是△PAD的中位线，
\EF
PA又
平面
，\EF^平面
同理FO是△ADC的中位线，\FO
AB\FO^AC由三垂线定理可知\ÐEOF是二面角E－AC－D的平面角.又FO＝ 
AB＝
PA＝EF\ÐEOF＝45°而二面角
与二面角E－AC－D互补，故所求二面角
的大小为135°.
19、A、B两点分别为（-5，0），（0，-3）即长轴在x轴， 
椭圆的方程为 
................................................................................. 4分
（2）设点P坐标为 
法一： 
点P在椭圆O第一象限的部分上
.......................................................................................................... 5分
由
得： 
........................... 6分
与椭圆方程联立得
................................................................................ 8分
法二：由
得 
P点在以CD为直径的圆 
上......... 6分
与椭圆方程联立得
................................................................................ 8分
（3）法一：设P点坐标为 
，则P点到直线AB的距离：
当
时P点在第一象限，此时d取得最大值 
...................... 14分
法二：设直线 
与椭圆相切，联立方程组得：
（2）代入（1）得： 
解得： 
点在第一象限 
，
.......................................................... 14分
20.解：（Ⅰ）∵ 
， 
或 
（舍去），
故
；………………2分
∵
……………………………①
∴ 
…………………………………②
①式减②式得： 
， 
，
∵ 
，∴ 
，即 
( 
且 
)
∴ 
又
∴ 
∴这只蜜蜂在第n天中它找的伙伴数是 
.………………………………………7分
（Ⅱ）假设存在等比数列
使 
成立
∴当 
时， 
；……10分
当
时， 
，即 
，所以， 
……12分
∴存在等比数列
为 
，使得
成立（
））…14分
21 解：（1） 
………………………………1分
令 
得 
………………………2分
拐点 
……………………………………3分
（2）设 
是 
图象上任意一点，则 
，因为
关于
的对称点为 
，把 
代入
得左边 
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