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[组图]期末复习——代数部分

查询数九年下单元的详细结果
期末复习——代数部分
重点、难点：
　　本学期期末考试代数部分主要考察二次函数的内容
　　在二次函数的学习中，要求我们能够体会二次函数的意义，了解二次函数的有关概念；会运用配方法确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴，并能确定其最值；会运用待定系数法求二次函数的解析式；利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思.较为困难的是二次函数图象的平移；和将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策.

知识要点:
1.二次函数的概念及图象特征
　　二次函数：如果，那么y叫做x的二次函数.
　　通过配方可写成，它的图象是以直线为对称轴，以为顶点的一条抛物线.

2.二次函数的性质
值 函数的图象及性质
⑴开口向上，并且向上无限伸展；
⑵当时，函数有最小值；
　当时，y随x的增大而减小；
　当时，y随x的增大而增大.		 image010
⑴开口向下，并且向下无限伸展；
⑵当时，函数有最大值；
　当时，y随x的增大而增大；
　当时，y随x的增大而减小.		 image013

3.二次函数图象的平移规律
　　
　　抛物线可由抛物线平移得到.由于平移时，抛物线上所有的点的移动规律都相同，所以只需研究其顶点移动的情况.因此有关抛物线的平移问题，需要利用二次函数的顶点式来讨论.

4.、、及的符号与图象的关系
　　(1)a→决定抛物线的开口方向；，函数图象开口向上；，函数图象开口向下.
　　(2)a、b→决定抛物线的对称轴的位置：
　　　 a、b同号，对称轴在y轴的左侧；
　　　 a、b异号，对称轴在y轴的右侧.
　　(3)c→决定抛物线与y轴的交点(此时点的横坐标x=0)的位置：
　　　 c＞0，与y轴的交点在y轴的正半轴上；
　　　 c=0，抛物线经过原点；
　　　 c＜0，与y轴的交点在y轴的负半轴上.
　　(4)b2-4ac→决定抛物线与x轴交点的个数：
　　　 ①当b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；
　　　 ②当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点；
　　　 ③当b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.

5.二次函数解析式的确定
　　用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立的条件，根据不同的条件选择不同的设法：⑴设一般形式：；⑵设顶点形式：；⑶设交点式：.

6.二次函数的应用问题
　　解决实际应用问题的关键是选准变量，建立好二次函数模型，同时还要注意符合实际情景.

典型例题
　　1．二次函数通过向______(左、右)平移_____个单位，再向_____(上、下)平移______个单位，便可得到二次函数的图象.
　　分析：的顶点为(3，2)，的顶点为(0，0)，因此可以根据顶点坐标确定平移的方向和距离.
　　解：，
　　　　∴ 把二次函数向左平移3个单位，再向下平移2个单位，
　　　　便得到的图象.

　　2．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图所示，则下列5个代数式：ab，ac，image026a-b+c，b2-4ac，2a+b中，值大于0的个数有( )
　　A．5 　　　B．4 　　　C．3 　　　D．2
　　解析：∵ 抛物线开口向上，∴ a＞0.
　　　　　∵ 对称轴在y轴左侧，∴ a，b同号.
　　　　　又a＞0，∴b＞0.
　　　　　∵ 抛物线与y轴的交点在x轴下方，
　　　　　∴ c＜0.∴ ab＞0，ac＜0.
　　　　　∵ 抛物线与x轴有两个交点，∴ b2-4ac＞0.
　　　　　∵ 对称轴，
　　　　　∴ b=2a.∴ 2a+b＞0
　　　　　当x=-1时，y=a-b+c＜0.
　　　　　∴ 选C.

　　3．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，且OA：OB=3：1，则m的值为( )
　　A． 　　　B．0　　　 C．或0 　　　D. 1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　image028
　　分析：二次函数的图象与x轴交点的横坐标与点到原点的距离即线段的长度应区分开，当点A在原点右侧时，xA=OA；当点A在原点左侧时，xA+OA=0(注：点A在x轴上).
　　解：设OB=x，则OA=3x(x＞0)，则B(-x，0)，A(3x，0).
　　　　∵ -x，3x是方程-x2+2(m+1)x+m+3=0的根，
　　　　∴ -x+3x=2(m+1)，.
　　　　解得，.
　　　　又∵ ，∴ 不合题意.
　　　　∴ m=0，因此选B.

　　4．已知二次函数有最小值为0，求m的值.
　　分析：二次函数有最大(小)值.
　　解：∵ 二次函数有最小值为0，
　　　　∴
　　　　即
　　　　解得m=1.

　　5．已知关于x的二次函数y=(m+6)x2+2(m-1)x+(m+1)的图象与x轴总有交点，求m的取值范围.
　　分析：这个函数是二次函数，应注意m+6≠0这个条件.
　　解：∵ 二次函数y=(m+6)x2+2(m-1)x+(m+1)的图象与x轴总有交点，
　　　　∴ ∴ 且.

　　6．如图所示，有一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCO的三边组成，隧道的最大高度为4.9m，AB=10m，BC=2.4m.现把隧道的横断面放在平面直角坐标系中，若有一辆高为4m，宽为2m的装有集装箱的汽车要通过隧道.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　image035
　　问：如果不考虑其他因素，汽车的右侧离开隧道右壁多少米才不至于碰隧道顶部？(抛物线部分为隧道顶部，AO、BC为壁)
　　分析：由已知条件知，抛物线经过原点O(0，0)、C(10，0)，顶点的纵坐标为(4.9-2.4)=2.5.由此可求出抛物线的关系式，要想使汽车的顶部不碰到隧道的顶部，看y=4-2.4=1.6时，求出x的值.
　　解：由已知条件知，该抛物线顶点的横坐标为，纵坐标为4.9-2.4=2.5，C点坐标为(0，0)，
　　　　∴ 设抛物线的函数关系式为.
　　　　把(0，0)或(10，0)代入上式，得.解得.
　　　　∴ .
　　　　当y=4-2.4=1.6时，.
　　　　解得，(不合题意，舍去).
　　　　∴ ，∴ (米).
　　　　故汽车离开右壁至少2米，才不会碰到顶部.
　　点拨：将实际问题转化成数学问题时，要注意(1)顶点纵坐标是(4.9-2.4)而不是4.9；(2)求出的x=2是汽车的右侧离开隧道右壁的距离(因为该隧道是双向的，因此会出现两种情况)，若改为“汽车离开隧道壁多少米才不至于碰隧道顶部”，则x1=2，x2=8都合题意.

　　7．今年夏季我国部分地区遭受水灾，空军某部奉命赶赴灾区空投物资。已知在空投物资离开飞机后在空中沿抛物线降落，抛物线的顶点在机舱口A处，如图.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　image038
　　(1)如果空投物资离开A处后下落的垂直高度AB=160米时，它到A处的水平距离为BC=200米，那么要使飞
　 　　机在垂直高度AO=1000米的高空进行空投，物资恰好准确落在P处，飞机距P处的水平距离OP为多少
　 　　米？
　　(2)如果根据空投时的实际风力和风向测算，当空投物资离开A处的垂直距离为160米时，它到A处的水
　 　　平距离为400米，要使飞机仍在(1)中O点的正上方空投，且使空投物资准确地落在P处，那么飞机空
　 　　投的高度应调整为多少米？
　　分析：(1)由题意可知抛物线的顶点坐标为(0，1000)，点C的坐标为(200，840)，因此可设抛物线关系式为y=ax2+1000，再把点C的坐标代入即可；(2)由题意知C(400，h-160)，再由P点坐标即可求出关系式.
　　解：(1)由题意知，A(0，1000)，C(200，840).
　 　　　　设抛物线的关系式为y=ax2+1000，把x=200，y=840代入上式，得
　 　　　　840=a·40000+1000.解得.∴ .
　 　　　　当y=0时，.解得x1=500，x2=-500(舍去).
　 　　　　∴ 飞机应在距P处的水平距离OP=500米的上空空投物资.
　　　　(2)设飞机空投时离地面的高度应调整为h米，
　 　　　　则设抛物线的关系式为y=ax2+h.把点C(400，h-160)代入上式，
　 　　　　得.解得.
　 　　　　∴ .把x=500，y=0代入上式，得.
　 　　　　∴ h=250.
　 　　　　∴ 飞机空投时离地面的高度应调整为250米.
　　点拨：已知抛物线的顶点时，可先列出二次函数的顶点式，然后根据条件用待定系数法求函数关系式.

　　8．有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：
　　甲：对称轴是直线x=4；
　　乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；
　　丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个点为顶点的三角形面积为3.
　　请你写出满足上述全部特点的一个二次函数关系式___________.
　　分析：本题主要考查二次函数的性质、待定系数法、数形结合思想及抛物线与x轴、y轴交点坐标、分类讨论思想.
　　解：如图，设抛物线与x轴交于A、B，与y轴交于C，则.∴ AB·OC=6.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　image042
　　分类讨论：(1)若AB=2，则OC=3.
　　　　　　　　　∴ A(3，0)，B(5，0)，C(0，3)或(0，-3).
　　　　　　 　(2)若AB=4，则OC=1.5.∴ A、B、C三点的坐标都为整数，故不合题意.
　　　　　　 　(3)若AB=6，则OC=1.∴ A(1，0)，B(7，0)，C(0，1)或(0，-1).
　　　　　　　　　用待定系数法求得
　　　　　　　　　或或或
　　点拨：只需填写一个答案即可.

　　9．阅读下面材料，再回答问题.
　　一般地，如果函数对于自变量取值范围内的任意x，都有，那么就叫做奇函数；如果函数对于自变量取值范围内的任意x，都有，那么f(x)就叫偶函数.
　　例如，当x取任意实数时，，即，所以是奇函数.
　　又如，当x取任意实数时，，即，所以是偶函数.
　　问题：
　　(1)下列函数中：①；②；③；④；⑤.所有奇函数
　　　 是___________，所有偶函数是___________.
　　(2)请你再分别写出一个奇函数、一个偶函数.
　　分析：本题综合运用函数及一次函数、二次函数等知识，通过阅读理解奇函数、偶函数的定义，分析理解所给例子，灵活解决问题，因此要认真理解奇函数，偶函数定义，仔细比较所给的两个例子.
　　解：(1)∵ (-x)4=x4，∴ y=x4是偶函数.
　　　　　 ∵ (-x)2+l=x2+1，∴ y=x2+l是偶函数.
　　　　　 ∵ ，∴ 是奇函数.
　　　　　 ∵ 和不一定相等，∴ 即不是奇函数，也不是偶函数.
　　　　　 ∵ ，∴ 是奇函数.
　　　　　 ∴ ①②是偶函数，③⑤是奇函数.
　　　　(2)如y=x是奇函数，y=2x2-1是偶函数.

　　10．已知：在平面直角坐标系xOy中，过点P(0，2)任作一条与抛物线y=ax2(a＞0)交于两点的直线，设交点分别为A、B，且∠AOB=90°.
　　(1)判断A、B两点纵坐标的乘积是否为一个确定的值，并说明理由；
　　(2)确定抛物线y=ax2(a＞0)的关系式；
　　(3)当△AOB的面积为时，求直线AB的关系式.
　　分析：(1)中A、B两点是抛物线与直线的交点，因此可列方程组并结合一元二次方程根与系数的关系来求解，在此基础上，再求(2)(3).
　　解：(1)直线AB过P(0，2)，∴ 设直线AB的关系式为y=kx+2.
　　　　　 由y=kx+2 ①，y=ax2 ②，得ax2-kx-2=0.③
　　　　　 设A(x1，y1)，B(x2，y2)且x1＜x2，则x1，x2是方程ax2-kx-2=0的两根，
　　　　　 ∴ ，.∴ .
　　　　　 ∴ A、B两点的纵坐标的乘积为常数4，是一个确定的值.
　　　　(2)如图，分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为M、N.
　　　　　 ∵ ∠AOB=90°，∴ ∠1+∠2=90°.
　　　　　 又∵ ∠2+∠3=90°，∴ ∠3=∠1.
　　　　　 ∴ Rt△AOM∽Rt△OBN.
　　　　　 image059∴ .∴ .
　　　　　 ∴ ，，即，∴ .
　　　　　 ∴ .
　　　　(3)，即.
　　　　　 ∴ ，
　　　　　 .
　　　　　 ∵ ，，∴ .
　　　　　 又∵ .
　　　　　 ∴ ，.
　　　　　 ∴ .解得，.∴ 或
　　点拨：二次函数与一元二次方程、相似形等有着密切的联系，解答综合题时要充分展开联想，弄清它们之间的密切联系.

来源：中国哲士网

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