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第一学期开学测验初三数学试卷及答案
（考试时间为90分钟，试卷满分为120分）
开学测验
A卷（满分100分）
一、选择题（共8个小题，每小题3分，共24分，各题均为四个选项，其中只有一个是符合题意的。）
1．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．经过点P(-1，2)的双曲线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
3．⊙O的半径为4，圆心O到直线 的距离为3，则直线与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
4．已知反比例函数 的图象上有两点A( ， )、B( ， )，且 ，则 的
值是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．不能确定
5．某地连续10天的最高气温统计如下表：
| 最高气温(℃) |
23 |
24 |
25 |
26 |
| 天数 |
3 |
2 |
1 |
4 | 则这组数据的中位数和平均数分别为（ ）
A．24.5,24.6 B．25,26 C．26,25 D．24,26
6．把代数式 分解因式，下列结果中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．小明用作函数图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相 应的两个一次函数图
象 、 如图所示，他解的这个方程组是（ ）
 
 
8．已知：M(2,1)，N(2,6)两点，反比例函数 与线段MN相交，过反比例函数上任意一点
P作 轴的垂线PG，G为垂足，O为坐标原点，则△OGP面积S的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）
9．若分式 的值为0，则 的值为__________。
10．若关于 的一元二次方程 没有实数根，则k的取值范围是__________。
11．设等边△ABC的边长为a，将△ABC绕它的外心旋转60°，得到对应的 ，则A、 两点间距
离等于__________。
12．已知抛物线 与轴有且只有一个交点，则p=_______________，该抛物线的
对称轴方程是__________，顶点的坐标是__________。
三、解答题（菜6个小题，共30分）
13．计算： 。
14．(1)解方程： ，并计算两根之和。
(2)求证：无论 为任何实数，关于的方程 总有实数根。
15.(1)已知 ，求代数式 的值。
(2)解不等式组，并把解集在数轴上表示出来： 。
16．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，BE=CF，连结AE、BF相交于点G。现给出了四个结论：①AE=BF；②∠BAE=∠CBF；③BF⊥AE；④AG=FG。请在这些结论中，选择一个你认为正确的结论，并加以证明。
结论：_______________。
17．玩具厂生产一种玩具狗，每天最高产量为40只，每天生产的产品全部卖出。已知生产x只玩具狗的成本为R(元)，售价每只P(元)，且R、P与x的关系式分别为R=600+30x，P=170-2x。当日产量为多少时，每日获得的利润为1650元？
18．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，AE=1，求梯形ABCD的高。
四、解答题（6分）
19．为减少环境污染，自2008年6月1日起，全国的商品零售场所开始实行“塑料购物袋有偿使用制度”（以下简称“限塑令”）。某班同学于6月上旬的一天，在某超市门口采用问卷调查的方式，随机调查了“限塑令”实施前后，顾客在该超市用购物袋的情况，以下是根据100位顾客的100份有效答卷画出的统计图表的一部分：
“限塑令”实施后，塑料购物袋使用后的处理方式统计表
| 处理方式 |
直接丢弃 |
直接做垃圾袋 |
再次购物使用 |
其它 |
| 选该项的人数占总人数的百分比 |
5% |
35% |
49% |
11% | 请你根据以上信息解答下列问题：
(1)补全图1，“限塑令”实施前，如果每天约有2000人次到该超市购物。根据这100位顾客平均一次购
物使用塑料购物袋的平均数，估计这个超市每天需要为顾客提供多少个塑料购物袋？
(2)补全图2，并根据统计图和统计表说明，购物时怎样选用购物袋，塑料购物袋使用后怎样处理，能
对环境保护带来积极的的影响。
五、解答题（共2个小题，共12分)
20．设E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上滑动保持且∠EAF=45°，AP⊥EF于点P。
(1)求证：AP=AB；
(2)若AB=5，求△ECF的周长。
21．在平面直角坐标系 中，反比例函数的图象与 的图象关于x轴对称，又与直线 交于点A(m，3)，试确定的值。
六、解答题（2个小题，共12分）
22．如图1，点P是线段MN的中点，请你利用该图形画一对以点P为对称中心的全等三角形。
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
(1)如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB＞AC，点D是BC边中点，过D作射线交AB于E，交CA延长线于
F，请猜想∠F等于多少度时，BE=CF（直接写出结果，不必证明）。
(2)如图3，在△ABC中，如果∠BAC不是直角，而（1）中的其他条件不变，若BE=CF的结论仍然成立，
请写出△AEF必须满足的条件，并加以证明。
 23．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=12cm，BC=9cm，DC=13cm，点P是线段AB上一个动点，设BP为 ，△PCD的面积为 。
(1)求AD的长；
(2)求与之间的函数关系式，并求出当为何值时，有最大值？最大
值是多少？
(3)在线段AB上是否存在点P，使得△PCD是直角三角形？若存在，求出的
值；若不存在，请说明理由。
B卷（共20分）
1．在△ABC中，∠C=90°，AB=，BC= ，以点A为圆心，以
长为半径画圆，则下列说法中正确的是( )
A、点C在⊙A外 B、点C在⊙A上
C、点C在⊙A内 D、无法确定
2．一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据 ， ， ， ，…中得到巴尔末公式，从而打开
了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第n(n≥1)个数据是_______________。
3．在数学活动中，小明做了一个梯形纸板测得一底为10cm，高为12cm，两腰分别为15cm和20cm，求梯
形纸板的另一底长为_______________。
4．如图，小明将一块边长为 的正方形纸片折叠成领带形状，其中 ，B点落在CF边上
的处，则 的长为_______________。
5．用四块如图①所示的正方形瓷砖拼成一个新的正方形，使拼成的图案是一个轴对称图形。请你在图
②、图③、图④中各画一种拼法（要求三种接法各不相同，且其中至少有一个既是轴对称图形，又
是中心对称图形。
6．已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF，BE=EF，∠BEF=90°，按图放置，使点F在BC上，取DF的中点G，连结EG，CG。试探究EG，CG的位置关系与数量关系并证明.
参考答案
A卷
一、选择题
1．D 2．D 3．A 4．D 5．A 6．A 7．D 8．B
二、填空题
9．0 10．
11． 或
提示：两种情况，如图，分别求
12． ， ，
三、解答题
13．
14．(1)解： ， ，
△ 
∴  ，
(2)证明：(1)当 ，即 时，原方程化为 ，方程有实根
(2)当 ，即 时，△=
∴ 方程必有两个实根。
综上所述，无论为何实数，方程总有实数根。
15．(1)解：∵ ∴ 
∴ 
(2)解：由 得 ∴ 
由 ，得 ， ，∴ 
解集表示在数轴上为
16．结论：①②③
证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABE=∠C=90°
又∵ BE=CF
∴ △ABE≌△BCF(SAS)
∴ AE=BF ∠BAE=∠CBF
∴ ∠FBC+∠BEG=∠BAE+∠BEG=90°
∴ ∠BGE=90°
∴ BF⊥AE
17．解：依题意：
∴  
∵  不合题意，∴ 舍去 ∴ 
答：当日产量为25只时，每日获得的利润为1650。
18．解：作DF⊥BC于F，在梯形ABCD中，
∵ AD∥BC AB=DC
∴ ∠ABC=∠C=60°
∠1=∠3
∵ AB=AD
∴∠2=∠1=∠3= =30°
又∵ AE⊥BD
∴ AB=2AE=2
∴ DC=AB=2
在Rt△DCF中，∠FDC=90°-∠C=30°
∴ 
∴ 
即梯形ABCD的高为 。
四、解答题
19．(1) ，
3×2000=6000（个） ∴ 估计这个超市每天需提供6000个塑料袋
(2)由图表可知，购物时选用自备袋，使用后留着塑料袋再次购物时使用，能对环保带来积极的影
响。
五、解答题
20．
(1)证明：延长CB到 ，使 
在正方形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠D=90°
∴ 
∴ 
∴  ，
∴
又∵ 
∴
∴ 
而
∴ AB=AP
(2)解：
21．解：∵ 双曲线与关于轴对称
∴ 
又∵ 点A(m，3)在双曲线 上
∴ 
∴ 
∴ A(-1，3)在直线上
∴ 
∴ 
六、解答题
22．
(1)猜想∠F=45°时，BE=CF
(2)当△AEF为等腰三角形(AE=AF)时，结论BE=CF仍成立
证明：延长FD至，使 ，连接
又∵  ∠3=∠4
∴
∴  ，
∵ AE=AF
∴ ∠F=∠1=∠2
∴ 
∴ 
23．(1)作DE⊥BC于E，则四边形ABED为矩形
∴ DE=AB=12
AD=BE
在Rt△DEC中，
∴ AD=BC-EC=4
(2)
∴ 
∵ 随的增大而减小
∴ 当 时，
(3)分两种情况
①若∠DPC=90°，为直角三角形，只需∠1+∠2=90°
即 ∠1=∠3
只需△ADP∽△BPC
只需
即
解得 ，此时AP=BP
∴ 存在AB中点P，使△PCD为直角三角形。
②∠PDC=90°，则有
解得
综上，当 或 时，△PDC为直角三角形.
B卷
1．C、
2．
3． 或 或
4．
5．
6．EG⊥CG且EG=CG
证明：连接BD，则∠DBC=45°
又∵ BE=EF ∠BEF=90°
∴ ∠EBF=45°=∠DBC
∴ D、E、B共线
∴ ∠DEF=90°
∵ DG=FG
∴ 
同理
∴ EG=CG
∵ EG=GD
∴ ∠3=∠5
∴ ∠1=2∠3
同理 ∠2=2∠4
∴ ∠EGC=2(∠3+∠4)=90°
∴ EG⊥CG
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