一、基础知识和基本图形
1．确定圆的条件：
不在同一直线上的三个点确定一个圆．
2．圆的有关性质：
（1）垂径定理及推论：落实
，
，
构成的直角三角形．
（2）圆心角、圆周角、弧、弦及弦心距之间的关系：
3．直线与圆：
（1）直线与圆的位置关系：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则：
① 直线和圆相交
d ＜ r；② 直线和圆相切
d ＝ r；知交点，连半径，证垂直；不知交点，作垂直，证半径。③ 直线和圆相离
d ＞ r．（2）切线的性质定理及判定定理、切线长定理．（轴对称）
4．圆和圆的位置关系：
设圆的半径分别为R和r (R ＞ r ) 、圆心距为d，则：
两圆外离
d ＞ R＋r； 两圆外切d = R＋r；两圆相交
R–r ＜d＜R＋r； 两圆内切d = R–r；两圆内含
d ＜ R一r (同心圆 d = 0 )．5．有关圆的计算
（1）扇形弧长和扇形面积．
（2）三角形的内切圆．
（3）圆锥的侧面展开．
（4）有关阴影面积．（割补法）
二、例题
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径R＝2，sinB＝
，则弦AC的长为______________．
分析：如何利用好圆的半径，如何把角B放到一个直角三角形中去运用三角函数值，这就需要作直径，并构造直径所对的圆周角，这样就把角B转化到直角三角形中了。
解答：作直径AO，交圆O于D，连CD
利用勾股定理求得： AC=3
2．如图，
分别是
的切线，
为切点，
是⊙O的直径，已知
，
的度数为（ ）．A．
B．
C．
D．
分析：本题利用圆心角与圆周角的关系，以及切线长定理解决
解答：D
3．如图，梯形
中，
，
，
，
，以
为圆心在梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分）的面积是______________．
分析：要求扇形面积，关键是确定半径和圆心角
解答：过A作AE⊥BC于E，可求得∠B为60度，AE=
，所以最大扇形面积为4
。4．在
中，
，
．如果圆
的半径为，且经过点
，那么线段
的长等于______________．分析：此题应分类讨论，考虑圆心O在BC上和在BC下两种情况
解答：5或3
5．如图，已知：△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC=5，DC=3，AB=
，则⊙O的直径等于______________．
分析：先解三角形，求得∠B为45度，再构造直径AO
解答：作直径AO，交圆O于E，连CE
可求得∠E=∠B=45度，所以直径AE=
6．如图，已知大半圆⊙
与小半圆⊙
相内切于点B， 大半圆的弦MN切小半圆于点D，若MN∥AB，当MN＝4时，则此图中的阴影部分的面积是_____________．
分析：此题需用到垂径定理和整体带入
解答：连接
，过
作
⊥MN于E阴影面积为2
7．已知：如图，△OBC内接于圆，圆与直角坐标系的x、y轴交于B、A两点，若∠BOC＝45°，∠OBC＝75°，A点坐标为（0，2）．则点B点的坐标为___________； BC的长=__________．
解答：连AB、AC，可求得
B（
） ，BC=
8．如图，⊙O的半径为3cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB=OA，动点P从点A出发，以
cm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为_______s时，BP与⊙O相切．
解答：要考虑到两种情况，5或1
9．已知：点F在线段AB上，BF为⊙O的直径，点D在⊙O上，BC
AD于点C，BD 
平分
．（1）求证：AC 是⊙O的切线；
（2）若AD=
，AF=
，求CD的长．解答：（1）连OD，证明OD//BC
（2）利用方程和相似，求得CD=
10．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD．已知AD=BD=4，PC＝6，求CD的长．
解答：连AC，利用
∽
，求得CD=8 11．如图，点I是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．（1）求证：ID=BD；
（2）设△ABC的外接圆的半径为5，ID=6，
，
，当点A在优弧
上运动时，求
与
的函数关系式，并指出自变量
的取值范围． 
解答：
（1）提示：证∠IBD=∠BID
（2）
（6
）12．如图，点是半圆的半径
上的动点，作
于．点
是半圆上位于
左侧的点，连结
交线段于
，且
． （1）求证：
是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径为
，
，设
．①求
关于的函数关系式．②当
时，求的值．解答：
（1）连DO，证OD⊥DP；
（2）①连PO，
； ②
，提示：在三角形EBC中求13．二次函数
的图象与轴相交于点A、B两点（点A在点B的左边），与轴交于点C，点M是它的顶点．（1）求证：以A 为圆心，直径为5的圆与直线CM相离；
（2）将（1）中的⊙A的圆心在
轴上移动，平移多少个单位，使⊙A与直线CM相切．解答：
（1）
，（2）
个单位．
