中考总复习四：函数（二）
　　函数部分是初中数学中的重点，也是难点，复习时可以分成两个层次进行，一是利用手中的相关例题、习题，完成对数学思想的理解，知识的梳理，解题技巧的巩固；二是在一模后的专项复习阶段，提高解综合题的能力．
　　本讲主要针对二次函数的知识进行复习和提高．
一、复习要求
1．基本要求：
　　能结合实际问题情景了解二次函数的意义；会用描点法画二次函数的图象．

2．略高要求：
　　能通过对实际问题情景的分析确定二次函数的表达式；能从图象上认识二次函数的性质；会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．

3．较高要求：
　　能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识结合的有关问题．

二、考点分析
　　1．确定二次函数的解析式、对称轴、顶点、与轴交点坐标等；
　　2．二次函数的图象与字母系数的关系；
　　3．二次函数的最值、增减性；
　　4．二次函数与一元二次方程之间的关系；
　　5．二次函数的实际应用．

三、例题分析
　　1．二次函数（，a、b、c是常数）中，自变量与函数的对应值如下表：

					1		2		3
			1				1

　　（1）判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标．
　　（2）一元二次方程是常数的两个根的取值范围是下列选项中
　 　　　的哪一个_______________．
　 　　　① 　　　②
　 　　　③ 　　　④
　　思路点拨：本题给出九组y与x的对应值，虽然可以准确计算出二次函数的解析式，但是仔细观察九个点的特征（关于对称轴对称）和所求问题后发现，只要近似画出二次函数的图象，近似地找出抛物线与x轴的交点即可．
　　解：（1）开口方向向下，顶点坐标为（1，2）．
　　　　（2）正确的范围是③．

　　2．已知：抛物线的对称轴为，交x轴于点A、B（A在B的左侧）且，交y轴于点C．
　　（1）求此抛物线的函数解析式及其顶点M的坐标．
　　（2）求的面积．
　　（3）在此抛物线上求一点P，使得．
　　（4）在此抛物线上求一点P，使．
　　（5）在此抛物线上求一点P，使得△PBC是以BC为一直角边的直角三角形．
　　（6）在坐标轴上求一点P，使得△PBC是等腰三角形．
　　思路点拨：用对称性求抛物线的解析式是确定解析式的基本方法之一；以抛物线为背景的动点问题是其重要的应用．
　　解：（1）依题意，A（-1，0），B（3，0）．
　　　　　　 所以解析式为，顶点M（1，-4）．
　　　　（2）由（1）知，C（0，-3），
　　　　　　 所以，的面积=．
　　　　（3）由（2）知，或，
　　　　　　 解得；或或．
　　　　　　 所以，P点坐标为（，3）、（0，-3）或（2，-3）．
　　　　（4）由B（3，0）、C（0，-3），知BC的中垂线的解析式为．
　　　　　　 联立，得．
　　　　　　 所以P点坐标为（，）或（，）．
　　　　（5）依题意，只能，所以直线PC解析式为．
　　　　　　 联立，得，．
　　　　　　 所以P点坐标为（1，-4）．
　　　　（6）依题意，．
　　　　　　 若B为顶角的顶点，则P点坐标为（0，3）或（，0）．
　　　　　　 若C为顶角的顶点，则P点坐标为（-3，0）或（0，）．
　　　　　　 若P为顶角的顶点，则P点坐标为（0，0）．

　　3．如图，在中，，BC边上的高，P是BC边上任一点，交AC于点E，交AB于点F．
　　（1）设，将的面积用x表示；
　　（2）点P在BC边上的什么位置时，最大？
　　解：（1）依题意，有
　　　　　　 ，且，
　　　　　　 而．
　　　　　　 所以．
　　　　（2）当时，的面积最大=，此时P为BC中点．

　　4．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过定点的直线交x轴于点Q．
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　（1）求证：不论a取何值，抛物线与直线总有两个公共点；
　　（2）写出A、B两点的坐标_______________及点Q的坐标_______________（用含a的代数式表示）；并
　　　　 依据点Q的坐标的变化确定：当a满足_______________时，直线与抛物线在第一象限内有交点；
　　（3）设直线与抛物线在第一象限内的交点为P，是否存在这样的点P，使得？若存在，
　　　　 求出a的值；若不存在，说明理由．
　　（1）证明：令，化为．
　　　　　　 　则，
　　　　　　 　所以方程必有两个不相等的实根，即抛物线与直线总有两个公共点．
　　（2）A（-2，0），B（3，0），Q（2a，0）；a满足．
　　（3）若存在符合条件的点P（x，y），则要，
　　　　 即，
　　　　 解得（舍），．
　　　　 所以P（2，2）．

　　5．如图，抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中点的坐标为；直线与抛物线交于点，与轴交于点，且．
　　（1）用表示点的坐标；
　　（2）求实数的取值范围；
　　（3）请问的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值；若没有，请说明理由．
　　思路点拨：由于点E在直线上，故其横坐标为1，只需知道抛物线的解析式中b、c之间的数量关系即可；而b的取值范围显然和条件“”相关，于是可求的正切值进行求解；要想知道的面积是否有最大值，关键在于将的面积用含b的代数式表示出来，再根据函数的性质求其最值．
　　解：（1）抛物线过，
　　　　　　
　　　　　　 点在抛物线上，又在直线上
　　　　　　 ，
　　　　　　 点的坐标为．
　　　　（2）由（1）得，
　　　　　　 ，，
　　　　　　 ．
　　　　（3）的面积有最大值，
　　　　　　 的对称轴为，，
　　　　　　 点的坐标为，
　　　　 　　由（1）得，
　　　　 　　而
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　 ，
　　　　　　 的对称轴是，
　　　　　　 当时，取最大值，
　　　　 　　其最大值为．

　　6．如图，二次函数（m＜4）的图象与轴相交于点A、B两点．
　　（1）求A、B两点的坐标（可用含字母的代数式表示）；
　　（2）如果这个二次函数的图象与反比例函数的图象相交于点C，且∠BAC的正弦值为，求这个二次
　　　　 函数的解析式．
　　解：（1）解
　　　　 　　得， ，，
　　　　 　　∵m＜4，
　　　　 　　∴ A (-4，0)，B (-m ，0)．
　　　　（2）过点C作CD⊥x轴，垂足为D，
　　　　　　 ∵sin∠BAC==，
　　　　 　　∴tan∠BAC==，
　　　　 　　设CD=3k， 则AD=4k，
　　　　 　　∵ OA= 4，
　　　　 　　∴OD = 4k–4，
　　　　 　　∴ C (4k–4，3k) ．
　　　　 　　∵点C在反比例函数y=的图象上， ∴=3k ，
　　　　 　　解得，k₁= (不合题意，舍去)，k₂=． ∴C（2，）．
　　　　 　　∵点C在二次函数的图象上，
　　　　 　　∴， ∴m =1．
　　　　 　　∴ 二次函数的解析式为．