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[组图]中考总复习四:函数(二)

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 中考总复习四:函数(二)
  函数部分是初中数学中的重点,也是难点,复习时可以分成两个层次进行,一是利用手中的相关例题、习题,完成对数学思想的理解,知识的梳理,解题技巧的巩固;二是在一模后的专项复习阶段,提高解综合题的能力.
  本讲主要针对二次函数的知识进行复习和提高.
一、复习要求
1.基本要求:
  能结合实际问题情景了解二次函数的意义;会用描点法二次函数的图象.

2.略高要求:
  能通过对实际问题情景的分析确定二次函数的表达式;能从图象上认识二次函数的性质;会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴;会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.

3.较高要求:
  能用二次函数解决简单的实际问题;能解决二次函数与其他知识结合的有关问题.

二、考点分析
  1.确定二次函数的解析式、对称轴、顶点、与轴交点坐标等;
  2.二次函数的图象与字母系数的关系;
  3.二次函数的最值、增减性;
  4.二次函数与一元二次方程之间的关系;
  5.二次函数的实际应用.

三、例题分析
  1.二次函数,a、b、c是常数)中,自变量与函数的对应值如下表:
1 2 3
1 1
  (1)判断二次函数图象的开口方向,并写出它的顶点坐标.
  (2)一元二次方程是常数的两个根的取值范围是下列选项中
     的哪一个_______________.
     ①    ②
     ③    ④
  思路点拨:本题给出九组y与x的对应值,虽然可以准确计算出二次函数的解析式,但是仔细观察九个点的特征(关于对称轴对称)和所求问题后发现,只要近似出二次函数的图象,近似地找出抛物线与x轴的交点即可.
  解:(1)开口方向向下,顶点坐标为(1,2).
    (2)正确的范围是③.

  2.已知:抛物线的对称轴为,交x轴于点A、B(A在B的左侧)且,交y轴于点C.
  (1)求此抛物线的函数解析式及其顶点M的坐标.
  (2)求的面积.
  (3)在此抛物线上求一点P,使得
  (4)在此抛物线上求一点P,使
  (5)在此抛物线上求一点P,使得△PBC是以BC为一直角边的直角三角形.
  (6)在坐标轴上求一点P,使得△PBC是等腰三角形.
  思路点拨:用对称性求抛物线的解析式是确定解析式的基本方法之一;以抛物线为背景的动点问题是其重要的应用.
  解:(1)依题意,A(-1,0),B(3,0).
       所以解析式为,顶点M(1,-4).
    (2)由(1)知,C(0,-3),
       所以,的面积=
    (3)由(2)知,
       解得;或
       所以,P点坐标为(,3)、(0,-3)或(2,-3).
    (4)由B(3,0)、C(0,-3),知BC的中垂线的解析式为
       联立,得
       所以P点坐标为()或().
    (5)依题意,只能,所以直线PC解析式为
       联立,得
       所以P点坐标为(1,-4).
    (6)依题意,
       若B为顶角的顶点,则P点坐标为(0,3)或(,0).
       若C为顶角的顶点,则P点坐标为(-3,0)或(0,).
       若P为顶角的顶点,则P点坐标为(0,0).

  3.如图,在中,,BC边上的高,P是BC边上任一点,交AC于点E,交AB于点F.
  (1)设,将的面积用x表示;
  (2)点P在BC边上的什么位置时,最大?
  解:(1)依题意,有
       ,且
       而
       所以
    (2)当时,的面积最大=,此时P为BC中点.

  4.如图,已知抛物线与x轴交于A、B两点,过定点的直线交x轴于点Q.
                 
  (1)求证:不论a取何值,抛物线与直线总有两个公共点;
  (2)写出A、B两点的坐标_______________及点Q的坐标_______________(用含a的代数式表示);并
     依据点Q的坐标的变化确定:当a满足_______________时,直线与抛物线在第一象限内有交点;
  (3)设直线与抛物线在第一象限内的交点为P,是否存在这样的点P,使得?若存在,
     求出a的值;若不存在,说明理由.
  (1)证明:令,化为
        则
        所以方程必有两个不相等的实根,即抛物线与直线总有两个公共点.
  (2)A(-2,0),B(3,0),Q(2a,0);a满足
  (3)若存在符合条件的点P(x,y),则要
     即
     解得(舍),
     所以P(2,2).

  5.如图,抛物线的图象与轴交于两点,与轴交于点,其中点的坐标为;直线与抛物线交于点,与轴交于点,且
  (1)用表示点的坐标;
  (2)求实数的取值范围;
  (3)请问的面积是否有最大值?若有,求出这个最大值;若没有,请说明理由.
  思路点拨:由于点E在直线上,故其横坐标为1,只需知道抛物线的解析式中b、c之间的数量关系即可;而b的取值范围显然和条件“”相关,于是可求的正切值进行求解;要想知道的面积是否有最大值,关键在于将的面积用含b的代数式表示出来,再根据函数的性质求其最值.
  解:(1)抛物线
      
       在抛物线上,又在直线
      
       的坐标为
    (2)由(1)得
      
      
    (3)的面积有最大值,
       的对称轴为
       的坐标为
       由(1)得
       而
          
          
          
       的对称轴是
       时,取最大值,
       其最大值为

  6.如图,二次函数(m<4)的图象与轴相交于点A、B两点.
  (1)求A、B两点的坐标(可用含字母的代数式表示);
  (2)如果这个二次函数的图象与反比例函数的图象相交于点C,且∠BAC的正弦值为,求这个二次
     函数的解析式.
  解:(1)解
       得,
       ∵m<4,
       ∴ A (-4,0),B (-m ,0).
    (2)过点C作CD⊥x轴,垂足为D,
       ∵sin∠BAC==
       ∴tan∠BAC==
       设CD=3k, 则AD=4k,
       ∵ OA= 4,
       ∴OD = 4k–4,
       ∴ C (4k–4,3k) .
       ∵点C在反比例函数y=的图象上, ∴=3k ,
       解得,k1= (不合题意,舍去),k2=. ∴C(2,).
       ∵点C在二次函数的图象上,
       ∴, ∴m =1.
       ∴ 二次函数的解析式为

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