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（初三数学教师培训课程开发）
东门中学 陆飞龙
一、教材解读
（一）设计说明
1.在本章设计中，充分体现了学生的已有经验的作用.例如，用旋转变换的方法探索圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系，然后用推理证明的方法；用翻折，旋转的方法探索圆的对称性；用轴对称变换的方法探索垂径定理及其推论，然后加以证明；用图形运动的方法研究直线与圆，圆与圆的位置关系等.
2.分类讨论的思想是贯穿于本章的一种重要数学思想.
3.在垂径定理及其推论的研究过程中，进一步体验“实验---归纳---猜测---证明”的方法.
4.在经历直线与圆，圆与圆的位置关系的动态变化过程中，体验运动变化思想和量变引起质变的观点.
5.关于部分内容课时安排的调整.
（二）教学目标
1.了解三角形外接圆，外心，圆内接三角形，多边形外接圆，圆的内接多边形的概念.
2.理解圆心角，弧，弦，弦心距的概念,理解圆的旋转不变性，通过操作、说理和证明，研究圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系，并能对其初步运用.
3.通过图形运动及推理证明，掌握垂径定理及垂径定理的推论，在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法.并能初步运用垂径定理及其推论解决有关数学问题.
4.掌握点与圆、直线与圆和圆与圆的位置关系及其性质、判定方法，体验运动变化、分类讨论的思想和量变引起质变的观点.
5.理解相交两圆的连心线和相切两圆连心线的性质定理.
6.掌握正多形的有关概念和基本性质，会 画正三、四、六边形. （三）课时安排
26.1 圆的确定 1课时
26.2 圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系 3课时
26.3 垂径定理 3课时
26.4 直线与圆的位置关系 1课时
26.5 圆与圆的位置关系 3课时
26.6 正多边形与圆 2课时
复习与小结 1课时
（四） 教学建议
1、 注重对概念本质的理解，准确把握概念
2、关注图形动态变化过程，尝试从定性到定量的研究方式
3、注重学生对于基础知识与基本技能的掌握，提高基本能力
4、注重对现代多媒体技术的运用，利用计算机的 画图功能和动态显示功能，帮助学生正确认识几何图形的特征，促进学生从形象思维到抽象思维的发展 （五）评价建议
1.教学评价应重在学生学习兴趣的发展和基本要求的落实.
2.关注学生思考方式的多样化，注重对学生观察，操作，推理证明等活动进行评价，包括学生在活动中的主动性，参与度，与同学合作交流意识，自主评价，思考与表达的条理性等.
3.对有关概念学习的评价应主要通过实例进行；对有关性质学习的评价应更多考查学生是否借助具体的思考方法去理解；对有关计算的评价，应着重考查学生是否懂得基本算理.
4.关注学生对数学思想方法和解决数学问题的策略，方法的领悟和掌握程度.本章中蕴含了分类讨论，类比，数形结合等数学思想以及从特殊到一般，从定性到定量分析、解决问题的方法，这些是本章教学的重要内容，是学生进一步学习数学的基础，要引导学生逐步认识，深入体会，举一反三，并采用适当的方式进行反馈.
5.要鼓励学生积极探究，勇于实践.如“阅读材料”中怎样用尺规作正五边形，要鼓励学生善于发现身边的数学问题.并用学到的数学知识努力解决这些问题，做到学以致用
二、 教学指南
26.1 圆的确定
26.2 圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系
26.3 垂径定理
26.4 直线与圆的位置关系
26.5 圆与圆的位置关系
26.6 正多边形与圆
26.1 圆的确定
教学目标
1.知道点与圆的三种位置关系，了解三角形外心、外接圆，圆的内接三角形以及多边形的外接圆，圆的内接多边形的概念.
2.理解点与圆的位置关系的判定方法，并能初步运用点与圆位置关系的判定方法解决有关数学问题.
教学说明与教学方法建议（6条）
1.以往在定义圆的内部，圆的外部时，只是给出文字描述，没有配相应的图形.本节课教材中采用图文并茂形式，有利于学生对概念的理解.
2.从定性到定量研究点与圆的位置关系的性质和判定.
3. “思考”既是告诉学生“在平面上，经过给定两点的圆有无数个”这样一个结论，又教给学生作经过平面内给定两个点的圆的方法.同时为接下来的“问题”研究作好准备.
4. “问题”研究时，学生可能不会想到三个点在同一直线上的情况，直接得出“在平面上，经过三点的圆只有一个”错误的结论，教师在教学时，应指导学生仔细分析问题，对问题进行讨论,关注分类讨论不重复，不遗漏的原则.让学生真正理解为什么定理中强调是“不在同一直线上的三个点”确定一个圆,把握定理的实质,而不是一味地灌输，死记硬背.对于学生犯的错误，教师要能包容，更要鼓励.
5.根据例题2，善于总结出不同类型的三角形外接圆圆心的位置特点
6.作四边形外接圆，本节课不作要求
26.2 圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系
教学目标
1.理解圆心角，弧，弦，弦心距等概念.
2.掌握同圆或等圆中圆心角，弧，弦，弦心距的性质定理及其推论.
3.能初步运用圆心角，弧，弦，弦心距的性质定理及其推论解决有关数学问题.
教学说明与教学方法建议（6条）
1.要把握准每个概念的含义，尤其是对概念文字描述的正确理解.如“弦心距是圆心到弦的距离，即圆心到弦的垂线段的长，而不是圆心到弦的垂线段.又如”等弧是指能够重合的两条弧，它包含形状相同、长度也相同两层含义，而不仅仅是长度相同.
2.为了便于研究讨论，“边款”中特别指出没有特别说明，本章中的圆心角通常是指大于0°小于180°的角.
3.本节课我们仍然用叠合法来证明圆心角，弧，弦，弦心距的性质定理.因为如果用弧长计算公式，只能推得两条弧长度相等，不能说明两条弧为什么能重合.
26.3 垂径定理
教学目标
1.通过利用圆的轴对称性，推理得到垂径定理.
2.通过推理证明垂径定理的推论，领悟分类讨论的数学思想.
3.能初步运用垂径定理及推论解决有关数学问题.
教学说明与教学方法建议（8条）
1. “思考” 中用推理的方法证明了垂径定理，而利用圆的轴对称性也可以说明，但教材中没有用文字叙述，教师可以根据学生实际，尝试用叠合法说明，这并不意味对叠合法证明的否定，而是尝试用推理方法让学生对垂径定理有进一步地理解.
2.垂径定理中的条件“圆的直径垂直于弦”，也可表述为“圆的半径垂直于弦”，或者“圆心到弦的垂线段”.只有这样，学生才能在实际问题背景下，灵活运用垂径定理解决数学问题，教师教学时一定要准确把握对概念的内涵及外延的理解.
3.例题1是对垂径定理的初步运用，学生可能还是习惯用等腰三角形“三线合一”来证明，教师可引导学生对不同的证明方法的比较，帮助学生理解新的定理在几何证明中所起的作用，它既是对以前证明方法的兼容，又是对现有证明过程的精简.
4.例题2 是运用垂径定理解决实际数学问题.本题以赵州石拱 桥为背景，教学时教师要指导学生如何将现实生活的数学问题抽象为数学模型，要关注这个转化的过程，渗透数学建模思想.同时，结合本例渗透“双纲”教育，激发学生爱国热情，例题中又有弓形，拱高两个概念的教学,教师教学时要注意“边款”中关于“弓形”与“拱形”两个概念的区别的说明，考虑到这个例题兼有上述诸多价值功能，因此还是从原来的教材中保留下来. 5. “问题1”，“问题2”都是用问题驱动方式得到垂径定理的推论，又使分类讨论的数学思想得以充分展现.
6.例题4是运用垂径定理推论作图———等分一条已知弧，教师可先让学生独立思考作图的方法.然后说出作图的依据，并作总结.通过此例，可让学生得出这样一个结论，平分联结两点的线段或圆弧或抛物线，只要作出联结这两点的线段的垂直平分线就可以了.结合这道例题，教师也可以要求学生找出这条弧所在圆的圆心位置，并说出作图的理由.
7. 例题5也是运用垂径定理的推论解决数学问题，本例结合勾股定理的运用来求线段的长，目的在于让学生领悟在解决有关圆中的线段计算问题中，构造直角三角形，运用勾股定理计算是一种十分行之有效的方法.
8. 例题7由于两平行弦间的距离大于圆的半径，因此这两条弦在圆的两侧，如果两平行弦间的距离小于圆的半径，那么这两条弦可能在圆心的两侧，也可能在圆心的同侧，教师在完成例题7教学后，请同学思考课后练习3.
26.4直线与圆的位置关
教学目标
1.理解直线与圆的三种位置关系.
2.掌握直线与圆的位置关系的性质与判定,并能初步运用它们解决有关数学问题.知道切线的判定定理，会过圆上一点 画圆的切线. 3.在经历探究直线与圆的位置关系的动态变化过程中，进一步领会分类讨论、化归的数学思想.体验事物运动变化中量变引起质变的观点，树立辨证唯物主义观点，同时，发展抽象，分析，推理概括的能力
教学说明与教学方法建议（3条）
1. “操作”是为了直观展现知识的发生过程，同时增强教学的直观性和趣味性.教师要引导学生将操作过程抽象为数学问题，强调将硬币的边缘看作一个圆.
2. “思考”是从定量角度研究直线与圆的位置关系.根据直线与圆的三种位置关系，推出相应的圆心到直线的距离与半径的大小关系(即直线和圆的位置关系的性质)；相反，根据圆心到直线的距离与半径的大小关系推出相应的直线与圆的位置关系(即直线与圆位置关系的判定).
3.例题2是直线与圆位置关系判定的初步运用，本例题用面积法求圆心到直线的距离，简单明了，教学时可以将本例题与课后练习3进行比较.
26.5圆与圆的位置关系
教学目标
1. 理解圆与圆的位置关系及其有关概念，并能初步运用这些知识解决有关问题.
2. 经历圆与圆的位置关系的探索过程，进一步领会建模、类比、分类、化归、数形结合等数学思想.体会事物之间相互联系和运动变化，量变引起质变等辩证唯物主义观点；同时发展分析，归纳，抽象，概括能力，以及推理，判断的能力.
3. 掌握圆与圆的位置关系的性质及判定.并能初步运用性质及判定解决有关数学问题.
4.掌握相关两圆的连心线性质及相切两圆连心线性质
教学说明与教学方法建议（9条）
1. “操作”中 纸上画的圆的半径为2.5厘米，应当说比硬币大，这也是为了研究更直观、形象的需要.教师在教学时要求学生在操作的同时，将硬币的边缘抽象为一个圆，然后观察在操作过程中硬币边缘与纸上 画的圆的公共点的个数.教师在听取学生的回答后，可以问学生“边款”中的问题，由于三角形的外接圆只有一个，所以两个不同的圆的公共点不可能有三个. 2.在教学中，教师可以由学生类比直线与圆的位置关系，自主找出两圆可能形成的各种位置关系.对各种位置关系进行分类，然后归纳各类位置关系的本质特征，最后由学生给出两圆相离，相切，相交的定义，教师根据学生的定义，加以适当校正，并给出规范定义.
3.教师可以让学生在两圆相离，相切，相交三个概念中找出关键词，说出分类的依据(根据公共点的个数).然后让学生继续观察和比较每一大类中的图形，进行再次分类.总之，在寻找两圆位置关系时，让学生动口，动手，动脑，进行观察，思考，猜想，亲身经历圆与圆的位置关系变化过程，以运动的观点，直观地揭示事物的本质，加深学生对知识的理解.
4.在与圆与圆五种位置关系相应的三量的数量关系的研究中，教师可采用“先易后难，突破关键”的教学策略.先让学生解决易于解决的“外离”，“外切”，“内切”，时的三量数量关系，再解决“内含”时的三量数量关系，最后突破相交时三量的数量关系
5.考虑到这部分内容教学时过于抽象，教师可适当借助多媒体教学手段辅助教学，以便于学生思考和理解.
6.当时，两圆内含，这时两圆为同心圆.也就是说同心圆是两圆内含的一种特殊位置.同心圆是圆心相同，大小不同的两个圆，因此不是同圆.
7.例题2是让学生知道“两两外切”的含义，另外学会用字母来表示线段的长，简化计算过程. 例题4是例题2的变式，旨在让学生学会根据已知条件作三个圆两两外切.
8.例题5是综合运用两圆位置关系性质及判定解决实际问题，本例实际问题的背景学生并不陌生，关键是教师如何指导学生将这个实际问题抽象为数学模型，并指出哪条线段长代表需要安装的隔音板的长.例题中图26-37是将实际问题抽象为数学问题的图，而图26-38是具体解这道例题添置辅助线的图.教师要注重对例题的分析，指导学生理解例题“分析”部分的意思，并注意“边款”中的提示.
9.教学时，学生只要能直观地认识到切点在连心线上就可以了，不必要求所有学生都能严格地说出理由.
26.6 正多边形与圆
教学目标
1. 知道正多边形以及正多边形中心，中心角，边心距等概念.
2.通过讨论正三角形，正方形，正六边形的基本性质，归纳正多边形的性质.
3.在正三角形，正方形，正六边形中运用基本性质进行简单的几何计算.
教学说明与教学方法建议（6条）
1. 本节课所指的正多边形边数是大于或等于3的正整数，要正确把握正多边形的定义，为了加深对概念的理解，可以适当举一些反例加以说明.
2. “问题1”是就正多边形的轴对称性进行讨论.教师教学时，可根据教材先对边数为3，5，7的正多边形以及边数为4，6，8的正多形的轴对称性分别进行讨论.
3. “试一试”是就“问题1”进行归纳，总结.既要归纳得到所有正多边形都是轴对称图形，又要得到正多边形对称轴条数(与边数相同)及分布特点.
4. “问题2”是就正多边形中心对称性进行讨论，教学时可类比“问题1”的讨论展开.可以先回顾中心对称图形的有关知识，以便学生理解边数是奇数的正多边形为什么不是中心对称图形.另外，教材在这部分内容中隐含了如何 画一个正多边形外接圆或内切圆的方法. 5. “想一想”是让学生知道任何一个正多边形都具有旋转对称性，每个正多边形至少旋转与原图形重合.正多边形都有外接圆,而多边形不一定有外接圆. 6.作四边形外接圆，本节课不作要求.
6.正多边形的半径是正多边形所特有的，因为正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径，实质上还是与圆的半径分不开的，因此两者是统一的.
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