|
二次函数综合题
学习目标：
①通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；
②会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；
③会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴，并能解决简单的实际问题；
④会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解；
⑤能解决二次函数与其它知识结合的有关问题.
其中⑤是考试必考的，是考查同学综合分析问题、解决问题的能力的内容，在中考中占有重要地位.外省市中考题中，选填题的较难题、解答题中的综合题也有不少以二次函数有关的知识为考查点，在北京这两年的课标卷中，也都出现了以二次函数为背景、结合其他知识的综合题，以考查综合能力.例如07年第24题：在平面直角坐标系 内，抛物线 经过 、 两点.(1)求此抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为B，将直线AB沿y轴向下平移两个单位得到直线 ，直线与抛物线的对称轴交于C点，求直线的解析式；(3)在(2)的条件下，求到直线OB、OC、BC距离相等的点的坐标.又如08年第24题：在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交A，B两(点A在点B的左侧)，与 轴交于点C，点B的坐标为(3，0)，将直线 沿轴向上平移3个单位长度后恰好经过B，C两点.(1)求直线BC及抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；(3)连结CD，求∠OCA与∠OCD两角和的度数.
这两个题都考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的性质(与轴交点纵坐标与“c”的关系、抛物线顶点坐标、对称轴等)、直线的平移等知识，07年的题还涉及三角形内角平分线及内角平分线交点坐标的确定等知识，08年涉及相似三角形、锐角三角函数等知识，同时考查对图形的直观感知和综合运用数学知识分析、解决问题的能力.不过可以看出，即便是代数几何综合题，也是从考查二次函数基本性质入手的，涉及的几何知识也是相对比较基础的，关键考查将复杂问题分解为简单(或者说基本)问题的能力，综合运用数学知识分析解决问题的能力，以及对图形的认识和整体感知的能力.
这一章中最主要的数学思想方法是数形结合、函数与方程思想.
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.特别注意数与形的转化是双向的.
所谓方程的思想，就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的的解题思路和策略，它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础.函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼，是从函数各部分内容的内在联系和整体角度来考虑问题、研究问题和解决问题.
函数与方程、不等式是通过函数值等于零、大于零或小于零而相互关联的，它们之间既有区别又有联系.函数与方程的思想，既是函数思想与方程思想的体现，也是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想.换句话说，函数与方程的思想是指在解决某些数学问题时，构造适当的函数与方程，把问题转化为研究辅助函数与辅助方程性质的思想.
例题分析：
 1．如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计).
(1)要使长方体盒子的底面积为 ，那么剪去的正方形的边长为多少?
(2)你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况?如果有，请你求出最大值和此时剪去的
正方形的边长；如果没有，请你说明理由；
(3)如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折
合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正
方形的边长；如果没有，请你说明理由.
解：(1)设正方形的边长为 ，则
即 .
解得 (不合题意，舍去)， .
∴ 剪去的正方形的边长为1cm.
(2)有侧面积最大的情况.
设正方形的边长为，盒子的侧面积为 ，
则与的函数关系式为：
 .
即.
改写为 .
∴ 当 时， .
即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，长方体盒子的侧面积最大为 .
(3)有侧面积最大的情况.
设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为 .
若按图1所示的方法剪折，则与的函数关系式为：
即 .
当 时， 
若按图2所示的方法剪折，则与的函数关系式为：
即 .
∴ 当 时， .
比较以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为 时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为 .
2.如图①，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,2)，点B的坐标为(3,1)，二次函数 的图象记为抛物线 .
(1)平移抛物线，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的一个抛物线的函数表达式(任写
一个即可).
(2)平移抛物线，使平移后的抛物线过A，B两点，记为抛物线 ，如图②，求抛物线的函数表达式.
(3)设抛物线的顶点为C，K为轴上一点.若 ，求点K的坐标.
(4)请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形.若存在，请判断
点P共有几个可能的位置(保留作图痕迹)；若不存在，请说明.
解：(1)有多种答案，符合条件即可，
例如 ， ，
或 ， ， .
(2)设抛物线的函数表达式为 ，
∵ 点A(1，2)，B(3，1)在抛物线上，
∴  解得
∴ 抛物线的函数表达式为 .
(3) ，
∴ C点的坐标为 .
过A，B，C三点分别作轴的垂线，垂足分别为D，E，F，
则AD=2， ，BE=1，DE=2， ， .
∴  .
 .
延长BA交轴于点G，设直线AB的函数表达式为 ，
∵ 点A(1，2)，B(3，1)在直线AB上，
∴  解得
∴ 直线AB的函数表达式为 .
∴ G点的坐标为 .
设K点坐标为(0， )，分两种情况：
若K点位于G点的上方，则 .连结 ， .
∵  ， ∴  ，
解得 .
∴  点的坐标为 .
若K点位于G点的下方，则 .同理可得，.
∴ K点的坐标为
(4)作图痕迹如图③所示.
由图③可知，点P共有4个可能的位置.
3.已知点A( )、B( )、C( )都在抛物线 上.
(1)求抛物线与轴的交点坐标；
(2)当 时，求△ABC的面积；
(3)是否存在含有 、 、，且与 无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存
在，说明理由.
解：(1)由 ，得 ， .
∴ 抛物线与轴的交点坐标为 、 .
(2)当时，得A(1,17)、B(2，44)、C(3，81)，分别过点A、B、C作轴的垂线，
垂足分别为D、E、F，则有
 (单位面积)
(3)如：
事实上，
∴
4.如图1，抛物线 经过A(-1，0)，C(3，2)两点，与轴交于点D，与轴交于另一点B.
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若直线 将四边形ABCD面积二等分，求 的值；
(3)如图2，过点E(1，-1)作EF⊥轴于点F，将△AEF绕平面内某点旋转180°后得△MNQ(点M，N，Q分别
与点A，E，F对应)，使点M，N在抛物线上，求点M，N的坐标.
解：(1)
(2)法一：由得B(4，0)、D(0，2).
∴ CD∥AB
∴ 
设直线 交AB、CD于点H、T，则 .
∵ 直线将四边形ABCD面积二等分，
∴ 
∴ 
∴  .
法二：过点C作CH⊥AB于点H，可求B(4，0)、D(0，2). ∴ CD∥AB
由抛物线对称性得四边形ABCD是等腰梯形.
∴  .设矩形ODCH的对称中心为P，则
∴ 过P点且与CD相交的任一条直线将等腰梯形ABCD面积二等分
当直线过点P时，，得.
(3)由题意知，四边形AEMN为平行四边形，∴ AN∥EM且AN=EM.
∵ E(1，-1)，A(-1，0) ∴设M(m，n)，则N(m-2，n+1)
∵ M、N在抛物线上，
∴  解得 故M(3，2) N(1，3).
法二：由题意知△AEF≌△MNQ.
MQ=AF=2，NQ=EF=1，∠MQN=∠AFE=90°
设 ， ，
∴ 
解得 故M(3，2) N(1，3).
5.一条抛物线 经过点(0，3)与(4，3).
(1)求这条抛物线的解析式，并写出它的顶点坐标；
(2)现有一半径为1、圆心P在抛物线上运动的动圆，当⊙P与坐标轴相切时，求圆心P的坐标；
(3)⊙P能与两坐标轴都相切吗？如果不能，试通过上下平移抛物线使⊙P与两坐标轴都
相切(要说明平移方法).
解：(1)∵ 抛物线过(0,3),(4,3)两点，
∴  得
∴ 抛物线的解析式是 ，顶点坐标为(2，-1).
(2)设点P的坐标为 ，
当⊙P与轴相切时，有 ，∴  .
由 ，得 ；
由 ，得 .
此时，点P的坐标为 ， .
当⊙P与轴相切时，有 ，∴  .
由 ，得 得 ；
由 ，得 ，解得
此时，点P的坐标为 ， ，.
综上所述，圆心P的坐标为：，，，，.
(3)由(2)知，不能.
设抛物线上下平移后的解析式为 ，
若⊙P能与两坐标都相切，则
即 ；或 ；或 ；或
取，代入，得
∴ 只需将向上平移1个单位，就可使⊙P与两坐标轴都相切.
 6.如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P与A、C不重合)，点E在射线BC上，且PE=PB.
(1)求证：①PE=PD；②PE⊥PD；
(2)设AP=，△PBE的面积为.
①求出关于的函数关系式，并写出的取值范围；
②当取何值时，得最大值，并求出这个最大值.
解：(1)证法一：
①∵ 四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴ BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°.
∵ PC=PC，
∴ △PBC≌△PDC(SAS).
∴ PB=PD, ∠PBC=∠PDC.
又∵ PB=PE，
∴ PE=PD.
②(i)当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时，
∵ PB=PE，
∴ ∠PBE=∠PEB，
∴ ∠PEB=∠PDC，
∴ ∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°
∴ ∠DPE=360°-(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°，
∴ PE⊥PD.
(ii)当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，
此时，PE⊥PD.
(iii)当点E在BC的延长线上时，如图.
∵ ∠PEC=∠PDC，∠1=∠2，
∴ ∠DPE=∠DCE=90°，
∴ PE⊥PD.
综合(i)(ii)(iii)，PE⊥PD.
(2)①过点P作PF⊥BC，垂足为F，则BF=FE.
∵ AP=，AC= ，
∴  ，
∴ 
∴ 
即
②
∵  ，
∴ 当 时， .
证法二：
(1)①过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F，如图所示.
 ∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ 四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，
△AGP和△PFC都是等腰直角三角形.
∴ GD=FC=FP，GP=AG=BF，
∠PGD=∠PFE=90°.
又∵ PB=PE，∴ BF=FE， ∴ GP=FE，
∴ △EFP≌△PGD(SAS) ∴ PE=PD.
②∴ ∠1=∠2.
∴ ∠1+∠3=∠2+∠3=90°.
∴ ∠DPE=90°.
∴ PE⊥PD.
(2)①∵ AP=，
∴  ， .
∴
即
② .
∵ ，
∴ 当时，.
|
