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二次根式化简和运算
本周内容:二次根式的化简和运算
本周重点、难点：二次根式的化简和运算。
本周重点、难点分析：
1. 最简二次根式
(1) 最简二次根式的概念
我们已经知道，根据二次根式的性质可以把二次根式化简，就是把一个二次根式化成最简单的形式．那么，什么是最简二次根式呢？
满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式．
(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
对应上面两个条件，最简二次根式可以这样理解：
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数中的每一个因式或因数都开不尽方．
 1．下列式子哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？
分析： 根据最简二次根式的条件来判断，不满足其一个条件的，都不是最简二次根式．
解：
因数； 被开方数含有能开得尽方的因数； 的被开方数不是整数；
 被开方数含有能开得尽方的因式； 被开方数不是整数．
（2）将二次根式化为最简二次根式的方法步骤
把一个二次根式化成最简二次根式，有以下两种情况：
(1)如果被开方数是分式或分数(包括小数)，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后再分母有理化化简．
(2)如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解质因数，然后把开得尽方的因式或因数开出来，从而将式子化简．
化二次根式为最简二次根式的步骤：
(1)把被开方数(式)分解质因数(式)，化为积的形式；(2)把根号内能开得尽方的因数(或式)移到根号外；(3)化去根号内的分母．若被开方数的因数中有带分数要化成假分数，小数化成分数．
2．把下列各式化成最简二次根式：
 ； 
 
 
分析： 根据化简二次根式的方法步骤，进行化简．
解法：
（3）分母有理化时有理化因式的选择
对于分母中含有根号的二次根式，把分母中的根号化去，叫做分母有理化．
根据分式的基本性质，把一个分式的分子、分母同乘以一个不等于零的整式，分式的值不变．因此化去分母中的根号的关键是选择一个适当的数(或代数式)，用这个数(或代数式)去乘分式的分子和分母，可以使分母不含根号．如
一般地，两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如，
常用有互为有理化因式有以下几种：
注：分母有理化的因式不是惟一的．
3．把下列各式分母有理化：
 
 
分析： 第(1)题分母是 ，先化简，再分母有理化；第(2)题分母 的有理化因式仍是；第(3)题分母 的有理化因式是 ；第(4)题分子x－y可以分解成 后，直接与分母约分，从而化去分母；第(5)题若直接分母有理化比较麻烦，根据本题特点，分子、分母分别分解因式，然后约分．
解：
点评： 分母有理化是化简二次根式的一种重要方法．分母有理化时,应结合题目的具体特点,选择适当的方法．如上面第(1)题若使分母、分子都乘以 ，虽然可以达到分母有理化的目的，但计算比较繁．所以，当分子、分母中二次根式可以化简时应选将其化简．再如第(4)、(5)两题分子或分母可以分解因式，并且分解后的因式能够约分的，最好不要直接分母有理化．
注： 形如 的式子，分母有理化时，不宜采用分子、分母都乘以 ，因为有可能等于零．此题也可以这样解：
2.二次根式的加减乘除混合运算
（1）二次根式的加减运算
二次根式的加减，首先要化简二次根式，化简之后，就类似整式的加减运算了．整式的加减实质就是去括号和合并同类项．二次根式的加减也是如此．合并同类二次根式与合并同类项类似．如：
4．计算：
分析： 先化简二次根式，再合并同类二次根式．
（2）二次根式的混合运算
二次根式的混合运算是本章学习的落脚点，是前面学过的二次根乘法、除法及加减法的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
(1)二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里
面的．
(2)对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用．
(3)在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往
往能事半功倍．
5．计算：
分析：这里可以把二次根式看成是一个“单项式”或者“多项式”利用整式乘法或除法法则进行运算．
解：
点评 第(1)、(2)、(3)题都与整式运算类似．第(4)题，因为除法不满足分配律，可先转化成分数形式，再分母有理化．
6．计算：
分析：这三道题都可以利用平方差公式或完全平方公式．
解：
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