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[组图]分式方程

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 分式方程
【知识要求】
　　1．了解分式方程的概念；
　　2．会解可化为一元一次方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)；会对分式方程的解进行检验；
　　3．会运用分式方程解决简单的实际问题.

【知识点及典型例题】
1、分式方程定义：
　　分母里含有未知数的方程叫分式方程.
　　1、下列方程中哪个是关于x的分式方程？
　　(1)　 　　 (2)
　　(3)　　　　　(4)
　　解：根据定义，只有(4)是关于x的分式方程．

2、分式方程的解法
　　2、解下列方程：
　　(1)　　　(2)
　　[分析]如何能把分式方程转化为整式方程呢？利用方程的同解原理，方程两边同时乘以分式的最简公分母.
　　解：(1)去分母(方程两边同时乘以)，得
　　　　　
　　　　　
　　　　(2)
　　　　　 去分母(方程两边同时乘以)，得
　　　　　
　　　　　 发现：当x=1时，分母为0，无意义，为什么会这样？
　　　　　 原因：①方程两边同时乘了含未知数的整式；
　　　　　 　　　②当这个整式为0时，所得方程与原方程不同解.因为这时分式无意义.
　　　　　 因此，x=1不是原方程的解，我们把它称为增根.
　　　　　 解决办法：验根，即把所得的x的值代入最简公分母中，看其是否为0.若分母为0，
　　　　　 则它不是原方程的解；若分母不为0，则它是原方程的解.
　　【小结】解分式方程的步骤：(1)将分母因式分解，确定最简公分母；(2)去分母；(3)求解；(4)验根．

　　3、解下列分式方程：
　　(1)；　　　　　(2)；
　　(3)．
　　解：(1)去分母得，
　　　　　
　　　　　 经检验，x=-5是原方程的解．
　　【注意】检验时，除了验证最简公分母是否为0之外，还应把所得的解代入原方程，看方程两边的值是否相等，即检验自己的计算是否准确.
　　　　椭圆形标注: 单独的数字3别忘了乘以最简公分母(2)去分母得，
　　　　　
　　　　　 经检验，x=2不是原方程的解，
　　　　　 原方程无解．
　　　　(3)
　　　　　 去分母得，
　　　　　
　　　　　 经检验，x=1是原方程的解．

　　4、(1)已知方程无解，求m的值．
　　[分析]此分式方程无解，说明去分母后得到的x的值使得分式无意义，即最简公分母为0．
　　解：
　　　　去分母得，
　　　　
　　　　原方程无解，或
　　　　当时，；
　　　　当时，．
　　　　的值为8或20．
　　(2)关于x的方程的解是非负数，求a与b的关系．
　　[分析]先求出方程的解，再令．
　　解：去分母得，
　　　　
　　　　此分式方程的解是非负数，
　　　　．
　　【注】含字母系数的分式方程不要求检验.

　　5、如果，试求A、B的值．
　　解法1：(利用分式的加减法)
　　 　　　
　　 　　　　　　　　　　
　　 　　　
　　解法2：去分母得，
　　 　　　
　　 　　　

　　6、农机厂职工到距农机厂15千米的生产队劳动，一部分人骑自行车先走，40分钟后，其余人乘汽车出发，结果同时到达，已知汽车速度是自行车速度的3倍，求两车的速度.
　　解：设自行车的速度为x千米/时，
　　　　则汽车的速度为3x千米/时．
　　　　由题意得，
　　　　
　　　　经检验，x=15是原方程的解．
　　　　(千米/时)
　　　　答：自行车的速度为15千米/时，汽车的速度为45千米/时．
　　【小结】解应用题的一般步骤：审题、设未知数、列方程、解方程、检验、答题；其中最关键的步骤是找等量关系．

　　7、某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．
　　解：设原计划每小时修路x m，
　　　　则根据题意可得，
　　　　解得，
　　　　经检验，x=50是原方程的解．
　　　　答：原计划每小时修路50米．

　　8、轮船在顺水中航行20千米与在逆水中航行10千米所用时间相同，水流速度为2.5千米/小时，求轮船的静水速度.
　　解：设轮船的静水速度为x千米/时，
　　　　则轮船的顺水速度为(x+2.5)千米/时，逆水速度为(x-2.5)千米/时．
　　　　由题意得，
　　　　解得，
　　　　经检验，x=7.5是原方程的解．
　　　　答：轮船的静水速度为7.5千米/时．

　　9、20%的盐水10公斤，需加盐多少公斤才能配成40%的盐水？
　　[分析](1)在解决浓度问题时，注意把握哪些量变化？哪些量不变化？
　　　　　(2)浓度公式：浓度=．
　　解：设需加盐x公斤
　　　　由题意得，
　　　　解得，
　　　　经检验，是原方程的解．
　　　　答：需加盐公斤才能配成40%的盐水．

来源：中国哲士网

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