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梯 形
知识要点：
1．梯形的定义：
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
说明：（1）梯形是一种特殊的四边形；
（2）证明梯形时除了证明一组对边平行外，特别注意还要证明另一组对边不平行；
有时证明不平行比较困难，还可以证明平行的这一组对边不相等．
2．梯形常用的辅助线做法：
(1) 过一顶点作一腰的平行线，分解成一个平行四边形和一个三角形；
(2) 过一顶点作一条对角线的平行线，构造出平行四边形和一个面积与梯形相等的三角形；
 
(3) 过一腰中点作另一腰的平行线，构造出平行四边形和一对全等的三角形；
(4) 过一底边的端点作另一底边的垂线, 构造出一个矩形和两个直角三角形；特别对于等腰梯形，两
个直角三角形全等;
(5) 延长梯形的两腰使其交于一点, 构成两个形状相同的三角形；
(6) 连接一顶点和一腰的中点并延长与底边相交，构造一对全等的三角形， 将梯形作等积变换；
3．特殊的梯形
1）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．
性质：（1）等腰梯形的同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等．
（2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形．
（3）等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过两底中点的一条直线．
2）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．
例题分析
 1．已知：如图，四边形ABCD为矩形，四边形ABDE为等腰梯形， 。
求证：
证明：∵四边形ABCD为矩形，∴
∵四边形ABDE为等腰梯形，且 为其对角线，
∴ 。在 和 中， ，
又 ，∴
2．已知，如图，梯形ABCD中， ，延长AB到E，使 ，
求证：
证法一：由四边形ABCD是等腰梯形，∴
又 ，∴
∴∠ADC=∠CBE
在 与 中， ，
于是≌，故 。
证法二：如图，连结BD，由 可知四边形DCEB为平行四边形，
所以
又四边形ABCD为等腰梯形，于是 ，故
证法三：如图，作 于 于M。
在 与 中，
 ，
所以
又 ，故
又由 ，可得MF=BE
所以
所以F为AE的中点，CF为AE的垂直平分线，所以 
证法四：如图，连结BD。
由 知四边形BECD为平行四边形，所以 。
又四边形ABCD是等腰梯形，所以
又由 ，可知 。
所以∠1=∠2
所以∠1=∠3
所以AC=CE
说明：本题采用了几种常用的作辅助线的方法证得结论，目的是说明解与梯形有关的问题经常用这些作辅助线的方法。
3．如图，把边长为2cm的正方形剪成四个全等的直角三角形．请用这四个直角三角形拼 成符合下列要求的图形（全部用上，互不重叠且不留空隙），并把你的拼法画出来：
（1）不是正方形的菱形一个；
（2）不是正方形的矩形一个；
（3）梯形两个；
（4）不是矩形、菱形的平行四边形一个；
（5）不是梯形和平行四边形的凸四边形一个。
解： 
 4．如图，已知：四边形ABCD是等腰梯形，其中 ，若 ， ， .
求：梯形ABCD的面积.
解答：过点D、C作 于E， 于F.
则根据等腰梯形的轴对称性可知： .
∵ ，
∴四边形CDEF是矩形.
∴  .
∴
在 中，根据勾股定理有，
∴  .
5．如图，已知：在梯形ABCD中， ，AC、BD相交于点O. 
求证： .
证明：∵，
∴A、D两点到BC的距离相等.
即 中BC边上的高与 中BC边上的高相等.
∴  （等底等高）.
∴
∴ 
6．已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5cm．BC=7cm，AB=6cm
求另一腰CD的取值范围．
解：如图，过D点作DE∥AB，交BC于点E ．
∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴DE=AB=6，
 ．
在△DEC中，
∵ ，
∴4（cm）< DC < 8（cm）．
7．如图，已知：在等腰梯形ABCD中， ．
（1）若 ， ，梯形的高是4，求梯形的周长；
（2）若 ， ，梯形的高是 ，求梯形的周长 ；
（3）若 ，， ，求证： ．
解：（1）如图，过点A作 于点 ，
则在等腰梯形ABCD中， ．
在中， ．
所以，等腰梯形ABCD的周长是 ．
（2）类似（1）， ．
在中，
 ．
所以，等腰梯形ABCD的周长是 ．
 （3）如图，过点D作 ，交BC的延长线于点F，
即得平行四边形ACFD，
则 ，．
在等腰梯形ABCD中，．
而 ．
在 中，
．
所以∠BDF=90°，即BD⊥DF
又因为
所以
8．如图，在梯形ABCD中，对角线于点P．
求证： ．
证明：由，可知 ，
且 ．
所以，
 ．
解答问题：
（1）上述证明得到的性质可以叙述为：___________________．
 （2）已知：如图，等腰梯形ABCD中，，对角线于点P， ，
 ，利用上述的性质求梯形的面积．
解析：
（1）对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．
（2）先利用例7（3）的方法，求出 ；
再利用上述性质，求出 ．
9．已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E为DC中点，EF⊥AB于F点，AB=3cm，EF=5cm，
求梯形ABCD的面积．
解：如图，过E点作MN∥AB，分别交AD的延长线于M点，交BC于N点 ．
∵DE=EC，AD∥BC，
可以证明△DEM ≌△CNE，
四边形ABNM是平行四边形．
∵EF⊥AB，
∴S梯形ABCD=S□ABNM=AB×EF=3cm×5cm=15cm2．
10．已知：梯形ABCD中， AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面 积。
解：如图，作DE∥AC，交BC的延长线于E点。
∵AD∥BC
∴四边形ACED是平行四边形
∴BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5
DE=AC=4
在△DBE中，∵BD=3，DE=4，BE=5
∴∠BDE=90°
作DH⊥BC于H，则
11．已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，△ECD的面积为10，
求梯形ABCD的面积。
解：如图12，取DC的中点F，连结EF，
作DH⊥BC于H点。
∵AE=EB，DF=FC，AD∥BC，
 EF∥AD∥BC，DH⊥EF
∴EF×DH=20
12．有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形的面积两等分），试设计两种方案（平分方案画在备用图上），并给予合理的解释．
图（1） 图（2）
分析：思路（一） 连接梯形上、下底的中点．
思路（二） 在下底上截一边及另一腰为边的三角形，使它们面积为原梯形面积的一半．
思路（三） 取梯形一条对角线的中点，连接另外两个顶点所得的两个四边形．
解：设梯形上、下底分别为 、 ，高为．
方案一：如图（1），连接梯形的上、下底的中点E、F，则 ．
方案二：如图（2），延长BC至F，使 ，取 的中点E，连接AE，
则 ．
方案三：如图（3），连接AC，取AC的中点E，连接BE、ED，
则四边形ABED的面积等于梯形ABCD的面积的一半．分析可知，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，
故有四边形ABED的面积等于梯形ABCD的面积的一半．
  
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