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[组图]正多边形和圆

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正多边形和圆
学习要求：
　　了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆内接正多边形的方法，能熟练地进行正三角形、正方形、正六边形有关的计算，能利用正多边形的性质进行相关的证明.

内容分析：
1.正多边形的定义：
　　各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.

2.正多边形与圆的有关定理
　　把圆分成n(n≥3)等份：
　　(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；
　　(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形；
　　(3)任何正多边形都有一个外接圆与一个内切圆，这两个圆是同心圆.
　　注意：①依据正多边形与圆的有关定理(1)、(2)，只要能将一个圆分成n(n≥3)等份，就可以得到这个圆的内接正n边形及外切正n边形，等分圆周的方法是利用量角器等分360°的圆心角.而特殊的正多边形可以用尺规作图的方法得到.想一想，你能否利用直尺和圆规作已知圆的内接(或外切)正三角形、正方形、正六边形、正十二边形；
　　②如何证明任何一个正多边形A1A2A3……An-1An都有一个外接圆呢？
　　我们可过A1、A2、A3三点作一个⊙O，分别连结OA1、OA2、OA3，OA4，通过证明△OA1A2≌△OA3A4，得到OA4=OA3=OA2=OA1.
　　从而点A4在⊙O上，同理可证A5、A6……An-1、An其余各点也都在⊙O上，则可推出此正多边形有一个外接圆.
　　想一想，在此基础上如何证明⊙O的圆心O点也是其内切圆的圆心呢？

3.正多边形的其它性质
　　(1)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心，边数
　 　　为偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
　　(2)边数相同的正多边形相似.

4.正多边形的有关计算
　　正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角.
　　正n边形的有关计算公式
　　(1)每个中心角=，
　　(2)
　　(3)
　　注意：①同一个圆的内接正n边形和外切正n边形是相似形，相似比是圆的内接正n边形边心距与它的半径之比.这样，同一个正n边形的内切圆和外接圆的相似比
　　②常用辅助线：连半径，作边心距，由正多边形的半径、边心距和边长构成的直角三角形集中反映了正多边形各元素间的关系，是解计算问题的基本图形，并且正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形.

例题分析：
　　1. 判断题：试判断下列四个命题是否为真命题：
　　(1)各角相等的圆外切多边形是正多边形；
　　(2)各边相等的圆内接多边形是正多边形；
　　(3)各边相等的圆外切多边形是正多边形；
　　(4)各角相等的圆内接多边形是正多边形；
　　解答提示：由正多边形的定义及圆的有关性质可以断定(1)、(2)是真命题；(3)、(4)是假命题，例如菱形是各边相等的圆外切四边形，但它不是正多边形，又如矩形是各角相等的圆内接多边形，但它不是正多边形.

　　2. 若一个正三角形的周长与一个正六边形的周长相等，试求这个正三角形与这个正六边形的面积之比.
　　解：设正三角形的边长为a，正六边形的边长为b.
　　　　则6b=3a，即
　　　　∵正三角形的面积
　　　　正六边形的面积
　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　
　　答：这个正三角形与这个正六边形的面积比为2：3.

　　3. 已知：如图，正五边形ABCDE的对角线AC、BE相交于M.
　　　　　　求证：BE·BM=EM2.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　分析：应将共线的BE、BM、EM之间的数量关系的证明问题，转化为不共线的三条线段之间的关系，由于AB=AE=EM，可将结论改证为AB2=BM·BE，即证△ABM∽△BEA.
　　证明：由正五边形的性质，不难得出∠EAB=108°，∠AEB=∠ABE=∠MAB=36°
　　　　　从而∠EAM=∠EMA=72°，∠AMB=108°
　　　　　∴EM=EA=AB
　　　　　在△ABM和△BEA中
　　　　　
　　　　　∴△ABM∽△BEA
　　　　　
　　　　　而EM=AB ∴BE·BM=EM2
　　想一想：EM2=BE·BM这个结论说明了什么？
　　(提示：正五边形对角线的交点是对角线的黄金分割点.)

　　4．如图，等边△ABC内接于⊙O，P为弧BC上任意一点，求证：PA=PB+PC.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　证明：在AP上截取PE=PB，连结BE.
　　　　　∵△ABC是等边三角形
　　　　　∴AB=AC， ∠ABC=∠ACB=60°
　　　　　∴∠APB=∠ACB =60°
　　　　　∴△PEB是等边三角形
　　　　　∴BE=BP， ∠EBP=60°
　　　　　∴∠ABE+∠EBC=∠EBC+∠CBP=60°
　　　　　∴∠ABE=∠CBP
　　　　　∴△ABE≌△CBP
　　　　　∴AE=CP
　　　　　∴AP=AE+PE=CP+BP
　　【说明】1、此题是证明一条线段等于另两条线段的和，通常考虑“截长补短”，在这里我们用了“截长”的方法，同学们还可以考虑“补短”；
　　2、变式思考：
　　（1）脱去“圆”的外衣，将题目改为：△ABC是等边三角形，P为BC上另一侧任
　 　　　意一点，∠APC=60°， 求证：PA=PB+PC.
　　（2）将等边三角形改为正方形和正六边形，结论有怎样的变化？
　 　　　①如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为弧BC上任意一点，
　 　　　　PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？
　 　　　②如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，P为弧BC上任意一点，
　 　　　　PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？
　 　　　③若改为圆内接正边形呢？
　 　　　提示：①PA=PC+PB
　 　　　　　　②PA=PC+PB
　 　　　　　　③PA=PC+·PB

来源：中国哲士网

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