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[组图]矩形的性质与判定

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矩形的性质与判定
【知识要点】
1、矩形定义：
　　有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫长方形）。

2、矩形的特有性质：
　　（1）矩形的四个角都是直角。
　　（2）矩形的对角线相等。
　　小结：
　　●矩形的性质：（从边、角、对角线三个方面总结出矩形的性质）
　　（1）对边平行且相等；
　　（2）每个角都是直角；
　　（3）对角线相等且互相平分。
　　●矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。

3、矩形的判定方法
　　（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
　　（2）有三个角都是直角的四边形是矩形。
　　（3）对角线相等的平行四边形是矩形。(也可以表述成“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”)。

4、直角三角形的性质：
　　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
　　逆定理：如果一个三角形的一条边上的中线等于它的一半，那么这个三角形是直角三角形，且这条边所对的角为直角。
　　已知：在△ABC中，点D为BC中点，且AD=BD=DC
　　求证：△ABC为直角三角形。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　证明：∵ AD=BD，AD=CD
　　　　　∴ ∠1=∠B，∠2=∠C
　　　　　∵ ∠1+∠2+∠B+∠C=180°
　　　　　∴ ∠1+∠2=90°
　　　　　即 ∠BAC=90°
　　　　　∴ △ABC为直角三角形

【典型例题】
●矩形的性质
　　1、如图，矩形ABCD中，∠AOD=120°，，则下列结论：①∠2=30°；②AB=3cm；③AC=6cm；④；⑤△AOB是等边三角形，其中正确的有________。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　分析：∵ 在矩形ABCD中，OB=OC，∠BOC=∠AOD=120°
　　　　　∴ ∠1=∠2=30°
　　　　　∵ 在Rt△ABC中，∠2=30°，
　　　　　∴ AB=3cm，AC=6cm
　　　　　∴
　　　　　∵ ∠BOC=120°，
　　　　　∴ ∠AOB=60°
　　　　　又∵ OA=OB
　　　　　∴ △AOB为等边三角形
　　　　　∴ ①②③④⑤都是正确的。

　　2、如图，在矩形ABCD中，EF⊥CE，EF=CE，若DE=2，矩形的周长为16，求AE的长．
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　解：∵ 在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
　　　　∴ ∠2+∠3=90°
　　　　∵ EF⊥CE
　　　　∴ ∠1+∠2=90°
　　　　∴ ∠1=∠3
　　　　∵ 在△AEF和△DCE中
　　　　
　　　　∴ △AEF≌△DCE（AAS）
　　　　∴ AE=CD
　　　　设 AE=x
　　　　则 CD=x，AD=x+2
　　　　∵ 矩形的周长为16
　　　　∴ 2(AD+CD)=16
　　　　即 2(x+2+x)=16
　　　　∴ x=3
　　　　∴ AE的长为3
　　[小结]善于利用方程思想解决几何问题。

●矩形的判定
　　3、己知：如图，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．
　　（1）求证：△ADE≌△CBF；
　　（2）若BE=DE，则四边形ADBG是什么特殊四边形？并证明你的结论
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　解：（1）∵ 四边形ABCD是平行四边形
　　 　　　　∴ ∠DAE=∠C，AD=BC，AB=CD
　　 　　　　∵ E、F分别是AB、CD的中点
　　 　　　　∴ ，
　　 　　　　∴ AE=CF
　　 　　　　∴ △ADE≌△CBF（SAS）
　　　　（2）四边形ADBG是矩形，证明如下：
　　 　　　　法1．∵ ABCD中，AD∥BC
　　 　　　　　　 ∴ AD∥BG
　　 　　　　　　 ∵ AG∥DB
　　 　　　　　　 ∴ 四边形ADBG是平行四边形
　　 　　　　　　 ∵ BE=AE=DE
　　 　　　　　　 ∴ ∠ADB=90°
　　 　　　　　　 ∴ ADBG是矩形。
　　 　　　　法2．连结EG
　　 　　　　　　 同上可知四边形ADBG是平行四边形
　　 　　　　　　 ∵ E为AB中点
　　 　　　　　　 ∴ E为DG中点
　　 　　　　　　 ∴
　　 　　　　　　 ∵ ，且BE=DE
　　 　　　　　　 ∴ AB=DG
　　 　　　　　　 ∴ ADBG是矩形。
　　[小结]判定一个四边形是矩形的方法：
　　①先判定这个四边形是平行四边形
　　②证明其中有一个角是直角，或对角线相等。

　　4、如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
　　（1）求证：OE=OF；
　　（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　解：（1）∵ CE平分∠BCA
　　 　　　　∴ ∠1=∠2
　　 　　　　∵ MN∥BC
　　 　　　　∴ ∠1=∠3
　　 　　　　∴ ∠2=∠3
　　 　　　　∴ OE=OC
　　 　　　　同理可得 OF=OC
　　 　　　　∴ OE=OF
　　　　（2）当点O为AC中点时，四边形AECF是矩形。
　　 　　　　证明如下：∵ O为AC中点，
　　 　　　　　　　　　∴ OA=OC
　　 　　　　　　　　　由（1）知，OE=OF=OC
　　 　　　　　　　　　∴ OA=OC=OE=OF
　　 　　　　　　　　　∴ 四边形AECF为矩形。

●折叠问题
　　5、如图，已知矩形ABCD，E为AD上一点，F为CD上一点，若将矩形沿BE折叠，则A点恰与F点重合，且△DEF是等腰三角形，若DE=1，求矩形ABCD的面积．
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　解：∵ △DEF是等腰三角形，DE=1
　　　　∴ DF=1，EF=，∠EFD=45°
　　　　∵ 将矩形沿BE折叠，则A点恰与F点重合
　　　　∴ AE=EF=，∠EFB=∠A=90°
　　　　∴ 在Rt△BCF中，∠BFC=45°
　　　　∵ BC=AD=AE+DE=1+
　　　　∴ AB=CD=DF+CF=2+
　　　　∴
　　[小结]解决折叠问题，应关注折叠前后的对应边相等，对应角也相等。同时善于利用勾股定理解决问题。

　　6、如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上，设F、H分别是B、D落在AC上的两点，E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点．
　　（1）求证：四边形AECG是平行四边形．
　　（2）若AB=4cm，BC=3cm，求线段EF的长．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　解：（1）由题意得，，
　　　　　　 ∵ 在矩形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD
　　　　　　 ∴ ∠DAC=∠BCA，
　　　　　　 ∴ ∠1=∠2，
　　　　　　 ∴ AG∥CE
　　　　　　 又∵ CG∥AE
　　　　　　 ∴ 四边形AECG是平行四边形
　　　　（2）∵ Rt△ABC中，AB=4cm，BC=3cm
　　　　　　 ∴ AC=5cm
　　　　　　 ∵ CF=BC=3cm
　　　　　　 ∴ AF=2cm
　　　　　　 设EF=xcm
　　　　　　 ∴ BE=EF= xcm
　　　　　　 ∴
　　　　　　 ∵ 在Rt△AEF中，
　　　　　　 ∴
　　　　　　 ∴ ∴


●直角三角形的性质
　　7、如图，已知BD、CE是△ABC的两条高，M、N分别是BC、DE的中点，
　　求证：（1）EM=DM；（2）MN⊥DE．
　　证明：（1）由已知得，∠BDC=90°
　　　　　　　 ∵ 在Rt△BCD中，M为BC的中点
　　　　　　　 ∴
　　　　　　　 同理可得，
　　　　　　　 ∴ EM=DM
　　　　　（2）∵ 在△DEM中，EM=DM，
　　　　　　　 N为DE的中点
　　　　　　　 ∴ MN⊥DE
　　[小结]利用直角三角形中斜边中线等于斜边的一半这个性质可以证明两条线段相等。

【折叠问题练习】
　　1．（07山东）如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF。若CD=6，则AF=（ ）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　A． 　　　B． 　　　C． 　　　D．8

　　2．（07哈尔滨）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=8cm，把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，若，则AD的长为（ ）．
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　A．4cm 　　　B．5cm
　　C．6cm 　　　D．7cm

　　3．如图，矩形纸片ABCD，AB=2，点E在BC上，且AE=EC．若将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上，则AC的长是__________．
　　 　　　　　　　　　　　　　　

　　4．（07黑龙江）如图，矩形纸片ABCD，AB=8，BC=12，点M在BC边上，且CM=4，将矩形纸片折叠使点D落在点M处，折痕为EF，则AE的长为__________．
　　　　　　　　　　　　　　　　

　　5．（05宁波）在矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE= ________。
　　　　　　　　　　　　　　　　　

参考答案：
　　1. A ；2.C ；3.4 ； 4. 2 ；5. 。

来源：中国哲士网

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